Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 2
108 ГЛАВА 4
где л (п) |
обозначает количество простых чисел, не пре^ |
||
восходящих п; аналогично |
|
||
П |
|
2 |
|
2 v2(m)< |
|
||
m=i |
pj^n |
P < Q ^n |
|
|
< |
n 2 7 + n ( 2 j ) * - |
(4.10) |
Известно, |
что |
p$:n |
|
|
|
||
|
2 7 |
= 1°glogn + e„, |
(4.11) |
|
p ^ n |
|
|
где еп ограничено, и потому
п
2 v2 (т) < п (log log n)2 + 2п log log nen +
771=1
+ ne\ + n log log n + nen
и
71
2 v {m )> n log log n + nen — n (n). m=l
Наконец, с помощью (4.6) получаем
71 |
|
|
|
|
|
2 (v (m) — log log rif < |
ие2 + |
|
|
||
m=1 |
+ и log log n + nen + 2 log log пл (n) |
||||
|
|||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
Kn < J _ , |
«n |
, |
en |
, 2 л (”) |
1 |
П ^ gl |
gn log log n 'gn log log n |
n |
g% |
||
ttPOCTblE ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
Ц)9 |
Так как еп ограничено, я (п) < п и gn —>со, то отсюда следует, что
П т — = 0. |
(4.12) |
п -> оо ^ |
|
Ввиду того что величина log log т меняется очень медленно, полученный результат (4.12) влечет за собой следующее:
Если 1п обозначает количество целых чисел т, 1 < т о < п , для которых имеет место или
v (т) < |
log log т — gmV log log m |
(4.13) |
или |
|
|
v (m) > |
log log m-\-gmY log log m , |
|
TO |
|
|
|
lim — = 0. |
(4.14) |
|
n —к о n |
|
Доказательство предоставляется читателю (см. задачу 1 в конце этого раздела). Утверждение (4.14) было впер вые доказано Харди и Рамануджаном в 1917 г. Именно они сформулировали его очень образно, в такой форме: почти каждое целое т имеет приближенно log log т простых делителей. Доказательство, приведенное выше, предложено П. Турином, и оно гораздо проще перво начального доказательства Харди —Рамануджана. Как читатель может заметить, прием Турина является прямым аналогом доказательства слабого закона боль ших чисел, которое мы дали в п. 1 гл. 2. Это еще
110 |
ГЛАВА 4 |
один пример, когда идеи, заимствованные из одной области, приводят к плодотворным применениям в другой.
ЗАДАЧИ |
|
|
|
1. |
Доказать (4.14). Указание: |
пусть 0 < а < 1 ; |
рассмотреть |
лишь |
целые числа из отрезка |
па <Ст -^п и показать, что |
|
в этих |
пределах каждое целое т, удовлетворяющее |
||
|
| v (то) — log log от | > |
gm У log log то, |
|
удовлетворяет также неравенству |
|
||
|
| v (m) — log log n | > |
hn Y log log n |
|
при соответствующе выбранном hn -> оэ. |
|
||
2. Доказать (4.12) для ш (то). |
|
|
|
5. |
Нормальный закон в теории чисел. |
То обстоя |
|
тельство, что v(m), число простых делителей т, равно сумме
Ivj Qp H |
(5-1) |
независимых функций, подсказывает нам, |
что распре |
деление величин v (т) может быть дано нормальным законом. Это действительно имеет место, и в 1939 г. Эрдёш и Кац доказали следующую теорему.
Пусть |
К п (©!, со2) — количество целых чисел |
т, |
|
1 < т < п , |
для |
которых |
|
log log п + |
С0ХY log log п < |
|
|
|
< |
v(m) < loglogH + 0)2V/ log log n. |
(5.2) |
п р о с т ы е ч и с л а «и г р а ю т в а з а р т н у ю и г р у » ш
Тогда |
|
Кп(®1' Ш2) |
(5.3) |
|
|
|
Q1 |
Ввиду того, что величина log logп изменяется медленно (см. задачу 1 в конце п. 4), результат (5.3) эквива лентен утверждению
D (log log п + CDj Y log log n < V (n) < log log n +
+ ®2 V l°g l°g п) = —4=^ \ е~уУ2 dy. |
(5.4) |
у 2л J |
|
Теперь известно несколько различных доказательств этого результата (наилучшим, по моему мнению, яв ляется недавнее доказательство, принадлежащее Реньи и Турану), но ни одно из них, к сожалению, из-за недостаточной краткости и элементарности не может быть воспроизведено здесь. Поэтому мы будем доволь ствоваться эвристическими аргументами, основанными на следующей классической теореме Ландау.
Если Я/г (п) обозначает количество целых чисел, не превосходящих числа п, которое имеет ровно к простых делителей, то
(loglogrc)''"1. (5.5)
112 |
ГЛАВА |
4 |
к > |
При к — 1 это известный |
закон простых чисел: при |
1 (5.5) может быть выведено из закона простых |
||
чисел с помощью совершенно элементарных соображе ний.
Имеем
Кп (й)1 > ®г) = |
._____ |
2 |
|
|
|
_____ я*(тг), |
|
|
lo g lo g n + to i T^log l0 g n < f t < l 0g lo g K -f(02 E lo g lo g n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5.6) |
и, следовательно, можно |
предполагать, |
что |
|||||
K-n (Wj, |
со2)*1 |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
^ |
(log log w)h_1 |
|
|
|
|
^ lo g n ^ J |
( к — 1)! |
||
loglogn-\-(& x V lo g lo g n < h < \o g lo g n + o )2 V lo g lo g n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5.7) |
Если м ы |
вспомним задачу 2 |
(п. |
3 гл. |
3) |
и положим |
||
|
я = log log и |
|
|
|
|
(5.8) |
|
то получим |
|
|
<02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К п ( щ , |
(Да) |
1 |
С |
e - y 2/2 d y |
|
|
|
П |
|
/ 2 я |
О |
|
|
|
|
|
|
|
«1 |
|
|
|
или (5.3).
К несчастью, трудно сделать строгими эти весьма привлекательные доводы, так как необходимы равно мерные оценки остаточного члена в теореме Ландау (5.5), а их нелегко получить. Интересно то, что пер-
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» И З
воначальное доказательство Харди и Рамануджана теоремы п. 4 существенно опиралось на (5.5), хотя они нуждались лишь в оценках, а не в точном асим птотическом результате. Теория, развитая в гл. 3, подсказывает метод доказательства (5.3). Пусть К п (со) обозначает количество целых т, 1 < ж < п , для кото рых
v (т) < log log п -j- со У log log п.
Положим
|
|
= |
|
|
(5-9) |
Ясно, что сг(1 (со) является функцией |
распределения и |
||||
что выполняется |
|
|
|
||
|
п |
|
00 |
|
|
wTog^ogп |
2 |
(v (m) - log b g nf = ^ |
a2dan(a )- |
(5- 10) |
|
|
m = l |
—oo |
|
|
|
Если мы используем точную оценку |
|
|
|||
2 |
7 = log logrc + <? + en, |
en —> 0, |
(5.11) |
||
p^n |
|
|
|
|
|
то в силу аргументов и. 4 |
|
|
|
||
|
00 |
|
СО |
|
|
П т |
{ |
о 2 dan(со) = 1 = |
—L= С y2e~v2/z dy. |
(5.12) |
|
n->co J |
|
у 2Л J |
|
|
|
Мы и м е е м (п о чт и т р и в и а л ь н о !)
1 ___
1ог п m—1
8 М. К ац
