Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 2
ОТ В И Е Т А К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И С Т И Ч Е С К О Й Н Е ЗА В И С И М О С ТИ 23
Найти меру множества точек t, таких, что из п чисел r1(t), r2(t), . . . , r n (t) ровно I равны+ 1 . Мы можем решить эту задачу (не прибегая к обычной ком бинаторике) способом, с которым мы еще много раз встретимся при различных обстоятельствах впоследствии:
Прежде всего заметим следующее: условие, состоя щее в том, что среди r1(t), . . ., rn (t) ровно I равны 1, эквивалентно условию
^ (t) + г 2 (0 +■ • • • + rn (t) = 2Z — п. |
(5.2) |
|||
Далее отметим, что для целого т |
|
|||
2я |
1, |
т —О, |
(5.3) |
|
|
||||
5Г$< |
dx = О, |
т ф О, |
||
|
||||
и, следовательно, функция |
|
|
||
2я |
|
(5.4) |
||
<p(f)= J -Д ete[r!(0+-+rn (0-(2i-n)]da. |
||||
2я |
j |
|
|
|
|
о |
|
|
равна 1, если удовлетворяется (5.2), и равна 0 в про
тивном случае. |
i |
||
Таким |
образом, |
||
И- (П (*) + • • • + rn (t) = 21- |
п} = ^ Ф (Z) dt = |
||
1 |
JL |
2л |
|
|
^ eix tri (0+—+гп (()-(2г_пИ dx dt = |
||
0 |
2я |
о |
N |
1 |
1 |
||
(j |
г (2!—n) х ^ J ei*[ri(0 +-+>n<*>]dt^ dx |
o |
Q |
24 |
ГЛА ВА I |
(последний шаг—изменение порядка интегрирования— обыкновенно оправдывается обращением к теореме Фубинн. В нашем случае обоснование этого шага три виально, так как сумма г, ( < ) + • • • + ru (t) представляет собой ступенчатую функцию).
Вспомним теперь равенство (3.1); с его помощью
при с1 = с2 = . .. = c)t = х получим
М М 0 + . . . -\- rn (t) = 21 - п} =
(5.5)
о
Наконец, мы оставим в качестве упражнения доказа тельство того, что
V{r1( t ) + . . . + r n (t) = 2 l - n } = ± ( nl ') . (5.6)
6. Независимость и «независимость». Понятие неза висимости, хотя и является центральным по важности в теории вероятностей, не есть чисто математическое понятие. Правило умножения вероятностей независи мых событий представляет собой попытку формализовать это понятие и на этой основе построить некоторое исчисление. При этом возникает склонность рассматри вать события, которые кажутся не связанными, как независимые друг от друга. Так, физик, рассматривая события, происходящие в двух удаленных друг от дру га пробах газа, будет считать их независимыми (как даожет быть иначе, если одна проба взята, скажем
ОТ В И Е Т Л К П О Н Я Т И Ю СТА ТИ СТИ ЧЕС КО Й Н Е ЗА В И С И М О С Т И 25
в Бисмарке, Северная Дакота, а другая—в Вашингто не, округ Колумбия?) и радостно обратится к правилу умножения вероятностей.
К сожалению, действуятаким образом, он может (непреднамеренно и непроизвольно) создать впечатле
ние, |
что сказанное им — строгое логическое заключе |
ние . |
|
В действительности то, о чем говорилось, является определением независимости, объединяемым с убежде нием (основанным, несомненно, на наблюдениях н опы те), что это определение применимо в некоторых слу чаях.
■ Существует, таким образом, независимость в рас плывчатом интуитивном понимании, и «независимость» в том узком, но точно определенном смысле, что при менимо правило умножения вероятностей.
Длительное время основным мотивом н движущей си лой развития теории вероятностей были неопределен ные интуитивные представления.
И в то время, как создавался впечатляющий фор мализм, математики (за очень немногим исключением) оставались в стороне, так как не очень ясно понимали, к каким объектам формализм применим1).
!) Предположим, что книга по дифференциальным уравне ниям написана исключительно в терминах масс, сил, ускорений и попадает в руки кого-нибудь, кто никогда не слышал о ме ханике. Богатое чисто математическое содержание такой кни ги могло бы быть в значительной степени потеряно для этого гипотетического читателя.
26 ГЛА ВА
Затем в 1909 г. Э. Борель заметил, что двоичные цифры eh (t) [или, что эквивалентно, функции Радемахера rh (t)] являются «независимыми» [см. (4.1)].
Наконец, появились точно определенные объекты, к которым теория вероятностей для независимых со бытий могла быть применена без опасности обращения с монетами, событиями, бросаниями и экспериментами.
Появление классического мемуара Бореля «Sur les probabilites denombrables et leurs applications arithmetiques» отметило начало современной теории вероят ностей, и в следующей главе мы будем обсуждать некоторые из направлений, по которым эта теория раз вивается.
ЗАДАЧИ
1. Записать троичное разложение t, 0 < г < 1 , в виде
%(*) |
| |
ЛПО , Лз(<) , |
3 |
+ |
За И Зз +■■■ |
(каждое % может принимать значения 0, 1 и 2) и доказать, что величины ц независимы.
2. Доказать, что
X |
СО |
1 -(- 2 cos----- |
-п |
3 |
|
sin X |
|
3ft |
и обобщить это соотношение.
ОТ В ИЕТА К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И СТ И ЧЕС КО Й Н Е ЗА В И С И М О С ТИ 27
3. Показать, что если *i ■< Л2 < • • • < ^s> то
1
\Гл1 (<) 0 ,2 (О . . . rk s ( t ) d t = 0 .
О
4. |
Пусть |
число |
2п |
(четное, |
положительное) записано |
||||
в двоичной системе: |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 n = 2 ni + 2n4 - . . . + 2nfe, |
1 < « ! < « 2< |
... O f t . |
|||||||
Зададим функции шп (t) |
(функции |
Уолша — Качмаша) следую |
|||||||
щим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о>0(г)= 1, |
|
|
|
|
» > |
1. |
|
|
|
wH(t) = |
rn i (t) |
. . . rnh(t), |
|||||
Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
^ |
wm (t)wn (t)dt = |
bm, |
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
если / (г) — интегрируема |
и |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( t ) w n {t)dt = Q, |
п = 0, |
1, 2, . |
|
||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
то / ( 0 = 0 почти всюду;
1 1 2"
dt ds — 1.
00 fc= 0
5.Используя формулу
со
1 — cos zx
иЧН X' dx,
28 |
ГЛА ВА 1 |
доказать сначала, что
1 |
71 |
|
Г |
I VI |
,,, |
\ \ ^ r |
k (t) |
а затем, что
|
СО |
|
1/ Yn |
|
|
|
|
dt = - |
I f * 1 — c o sn a; |
1 |
r> |
|
& > - |
J |
|
|
|
|
1/ Уп |
1 П
'•ft (0 dt > A Y n ,
О1
где
- |
1 |
(* i - e - v y * |
dj/.. |
|
t |
J- |
|
||
|
|
-1 |
|
|
Замечание, неравенство Шварца вместе с |
||||
задачи 3 при s-=2 дает |
|
|
|
|
1 |
П |
|
|
|
^ 12 |
rk ( о dt < |
/ и . |
||
О |
1 |
|
|
|
— СОS n X ,
~^ — d x '
результатом
Глава 2
БОРЕЛЬ и ПОСЛЕ НЕГО
1.«Законы больших чисел». Все вы имеете пред
ставление о том, что если играть |
в безобидную игру, |
то в конце концов маловероятно, |
чтобы вы разбога |
тели. «Закон средпих позаботится |
об этом» —вот что |
разумно подсказывается в этой и подобпых ситуациях. Что же это за «закон средних»? Является ли он чем-то вроде физического закона или это есть чисто математическое утверждение? Большей частью все же верно последнее, хотя этот закон и хорошо согласует ся с экспериментальными данными. Давайте забудем об экспериментальной стороне проблемы и сконцен трируем внимание на математических вопросах. Пред
положим, что я |
бросаю симметричную монету, |
выиг |
|
рывая доллар каждый |
раз, когда появляется II |
и про |
|
игрывая доллар |
всякий |
раз при выпадении Т. |
Что я |
могу сказать о своем выигрыше |
после п |
бросаний? |
|
Используя наш словарь и. |
4 гл. |
1, мы можем пред |
|
ставить этот выигрыш так: |
|
|
|
ri(*) + r2 (0 + |
• • • + |
г„(0- |
(1-1) |
Очевиден интерес игрока к следующему вопросу: каковы его шансы на то, что после п бросаний мо
30 |
ГЛ А В А 2 |
неты его выигрыш превзойдет заданное число Ап. Согласно нашему словарю, это эквивалентно задаче определения меры множества точек t, для которых
|
ri (0 + гг(0 + • • • + гп (0 |
> |
|
|
(1 -2) |
Если |
действительно маловероятно |
то, |
что |
я |
разбога |
тею |
в этой игре, то при Ап «достаточно |
большом» |
|||
мера |
множества, определенного (1.2), |
будет |
«мала». |
(По тем же соображениям будет неправдоподобен проигрыш больший, чем Ап.) Мы придадим всем этим выводам необходимую точность, доказав следующую теорему:
При любом |
е > 0 |
|
П т р |
{| /\ ( £ ) + . . . + rn (t) | > еп} = 0, |
(1.3) |
Очевидный подход может быть основан на формуле (5.6) гл. 1. Действительно, мы имеем
Ц { | М 0 + - - . + г п ( 01>вп} =
= 2 И о ( 0 + . . . + > - „ ( < ) = 2/-гс} =
| 21—п | > |
еп |
|
|
|
| 2 / - п | > |
еп |
|
|
|
и все сводится |
к доказательству того, что |
при любом |
||
е > 0 |
|
|
|
|
|
Пт |
2 |
К “)=°- |
(1.4) |
|
п -ю о |
|
||
|
|
21—п | > £ |
|
|