Файл: Афонин А.А. Частицы, поля, кванты.pdf

возможность находиться еще в одном состоянии, которое обозначим цифрой 7. В результате сумма вероятностей перечисленных выше переходов 2— 1, 2—2, 2—3 и т. д. уже не будет равна единице, так как игральная кость будет иногда переходить теперь из состояния 2 в со­ стояние 7. Чтобы снова получить единицу, нужно до­ бавить еще вероятность нового перехода. Если же такого добавления не делать, то условие унитарности будет на­ рушено. Другими словами, можно сказать, что система состояний 1.... 6 стала теперь физически неполной. Та­ ким образом, физическая полнота состояний и выполне­ ние условия унитарности — это просто разные способы для выражения одного и того же.

В приведенном примере полнота состояний устанавли­ вается тривиально. В теории элементарных частиц число возможных состояний часто бывает очень большим, и это приводит к трудностям. На практике, как правило, огра­ ничиваются некоторым конечным числом состояний, и считают их при определенных условиях полной системой. Это приближение будет тем более точным, чем меньше неучет остальных возможных состояний нарушает усло­ вие унитарности. Положение, однако, усугубляется тем, что на данном этапе развития теории не существует мето­ дов оценки вклада в условие унитарности отброшенных состояний. Вместо них используются разного рода полустрогие и совсем не строгие физические соображения.

Здесь ситуация аналогична той, которая существует в теории возмущений в квантовой теории поля, где огра­ ничиваются несколькими первыми членами ряда теории возмущений. Вклад остальных членов ряда неизвестен и мы не знаем даже, конечен он или нет.

Итак, условие унитарности — первая основная посыл­ ка теоретических исследований, которые будут затронуты в данном разделе.

118

Вторая гипотеза имеет чисто математический харак­ тер, и чтобы понять ее, мы совершим очень краткий экс­ курс в математику.

Одним из самых основных понятий в математике яв­ ляется понятие о величине. Любая величина может быть измерена, то есть сравнена с другой величиной того же рода, выбранной за эталон (единица измерения). Такой единицей измерения длины является метр, массы — грамм, времени — секунда и так далее.

Результатом измерения является число, выражающее

.собой отношение измеряемой величины к соответствую­ щей единице измерения.

Из повседневного опыта мы знаем, что различные ве­ личины, как правило, не остаются неизменными и неза­ висимыми друг от друга, а меняются по определенным законам. Таким изменениям величин отвечают изменения измеряющих их чисел.

Числа можно7 складывать, вычитать, умножать, де­ лить, возводить в степень, извлекать корни. Всегда ли эти операции над числами приведут к результату, кото* рый можно назвать числом? Ведь число мы определили как результат измерения (отношение однородных вели­ чин), а при этом можно обойтись одними положительны­ ми числами. Но операция вычитания может уже приво­ дить к отрицательным числам, даже если применять ее только к положительным. Иначе говоря, совокупность положительных чисел является неполной относительно операции вычитания.

Если же расширить понятие числа, включив сюда от­ рицательные числа, то получим множество действитель­ ных чисел*, которое уже будет в этом отношении полным. Все действительные числа могут быть расположены на числовой оси. Сначала произвольно выбирается положе­ ние нуля, а затем в некотором масштабе (также произ­

119

вольно) откладываются числа: положительные, вправо; отрицательные — влево. Каждой точке оси будет соот­ ветствовать действительное число.

Кроме действительных чисел существуют еще ком­ плексные. Каждое комплексное число складывается из двух частей: действительной и мнимой. Действительная часть—это просто некоторое действительное число. Мни­ мая — произведение действительного числа на мнимую единицу.

Что такое мнимая единица?

Мы видели, что требование полноты совокупности чисел относительно операции вычитания привело к до­ бавлению отрицательных чисел. Потребуем теперь полно­ ту относительно всех операций над числами. Это озна­ чает, что необходимо так обобщить понятие числа, чтобы результат применения любой операции к любому числу также был бы числом.

В частности, например, квадратный корень из отри­ цательного числа должен быть числом. Но не существу­ ет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным. Следовательно, необходимо новое расширение совокупности чисел. Квадратный корень из отрицательного числа был назван мнимым числом. Каж­ дое мнимое число может быть представлено как произ­ ведение действительного числа на квадратный корень из

минус единицы (>/~—1), который обозначается латинской буквой «¡». Это и есть мнимая единица.

Объединение действительных и мнимых чисел в еди­ ную совокупность приводит к множеству комплексных чисел, которое является полным относительно всех опе­ раций над числами.

Комплексные числа, так же как и действительные, имеют ясную геометрическую интерпретацию. Все дейст­ вительные числа располагаются на числовой оси так, что

120

каждой ее точке отвечает определенное действи­ тельное число. Поэтому на числовой оси можно расположить только дей­ ствительные (или реаль­ ные) части комплексных чисел, но не мнимые.

Для мнимых чисел вво­ дится вторая числовая ось, перпендикулярная первой. Таким образом, оказывается, что действи­ тельная часть комплекс­ ных чисел откладывается

на одной числовой оси — оси абсцисс, а мнимая — на другой — оси ординат (см. рис. 4).

Поэтому каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости и наоборот, каждой точке плоскости — определенное комплексное число. Как вид­ но из рис. 4, комплексное число г = х-Ыу может быть од­ нозначно задано не только с помощью действительной (х) и мнимой (у) частей. Для этого достаточно задать расстояние от начала координат до точки (это расстоя­ ние называется модулем комплексного числа и обозна­ чается р) и угол а (фаза комплексного числа) между осью ОХ и направлением на точку ъ. Плоскость ХОУ на­ зывается плоскостью комплексного переменного ъ или просто комплексной плоскостью г.

Когда говорят о величине комплексного числа, то имеют в виду величину его модуля. Комплексное число будет тем больше, чем дальше от начала координат на­ ходится изображающая его точка. Фаза дает направле­ ние этого удаления.

121

Введение комплексных чисел не только позволяет упростить изучение многих математических проблем, но и приводит, как правило, к выявлению совершенно новых сторон этих проблем, меняя часто даже саму их поста­ новку. У нас здесь нет возможности сколько-нибудь по­ дробно проследить революционное влияние открытия ком­ плексных чисел в различных разделах математики. Это бы слишком далеко увело нас в сторону от основной на­ шей задачи — рассказать о проблемах сегодняшней фи­ зики.

Мы лишь кратко коснемся того, что дали комплекс­ ные числа в теории функций. Ведь именно ради этого вопроса и была предпринята экскурсия в математику.

Но предварительно выясним смысл понятия «функ­ ция».

На практике мы часто сталкиваемся с ситуацией, ког­ да одни величины зависят от других. Скорость корабля зависит от скорости вращения гребного винта, сила электрического тока — от разности потенциалов, длина волны де Бройля для электрона — от скорости, амплиту­ да рассеяния элементарных частиц — от энергии их столкновения и так далее.

С чисто математической точки зрения, когда физиче­ ская природа величин несущественна, это означает, что каждому допустимому численному значению одной вели­ чины по определенному закону ставится в соответствие численное значение другой величины. При этом принято говорить, что одна величина является функцией другой. Так, скорость корабля — функция скорости вращения гребного винта, сила тока — функция разности потенциа­ лов и так далее.

Независимая величина (скорость вращения гребного винта, разность потенциалов, скорость электрона, энер­ гия элементарных частиц) называется аргументом. Если

122

величина ъ является некоторой функцией от и, то это обозначается ъ (и) и л и г = Н(и). Причем вместо буквы

Гможет служить, конечно, любая другая. Одна величина может быть функцией нескольких величин.

Очень часто задачи из разных областей науки по су- • ществу сводятся к отысканию тех или иных функций, то есть вида зависимостей одних величин от других. Мы го­ ворим часто (а не всегда), поскольку существуют и дру­ гие, более сложные зависимости. Например, скорость корабля зависит от формы его корпуса, сила взаимодей­ ствия заряженных тел — от распределений зарядов внут­ ри этих тел. Такого рода зависимости не могут быть вы­ ражены функцией, так как форма и распределение заря­ дов не выражается полностью одним числом. В даль­ нейшем нас будут интересовать лишь наиболее простые зависимости величин, то есть такие, которые выражают­ ся функциями.

Понятие функции можно распространить и на комп­ лексные числа. Для этого надо допустить, что зависимые величины могут принимать и комплексные значения. Со­ гласно геометрической интерпретации комплексных чи­ сел, последнее означает, что аргумент и функция могут располагаться не только на действительной оси, а и во всей комплексной плоскости.

Для наглядности можно представить себе две отдель­ ные плоскости. Одна из них является комплексной для независимой величины (аргумента), другая—для зависи­ мой (функции). Определенному положению изображаю­ щей точки на плоскости аргумента будет соответствовать определенная точка плоскости функции. Закон соответ­ ствия определяется видом функции. При этом зависи­ мость между действительными величинами будет лишь частным случаем зависимости комплексных величин, когда изображающие точки могут находиться только на действительных осях (осях абсцисс).

123

Если значение аргумента непрерывно перемещается по своей комплексной плоскости, то значение функции также может меняться непрерывно.

Однако это не всегда так. На комплексной плоскости аргумента могут встретиться точки, которым будут соот­ ветствовать бесконечно большие значения модуля функ­ ции. Попросту говоря, зависимая величина становится бесконечно большой. Такие точки плоскости аргумента называются полюсами данной функции.

В комплексной плоскости аргумента существуют еще так называемые точки ветвления. Они характеризуются тем, что если точка аргумента непрерывно обходит во­ круг одной из них, то функция меняется непрерывно. Тем не менее, когда мы совершим полный оборот на плоскости аргумента, значение функции не будет равно исходному.

Полюса и точки ветвления называются особыми точ­ ками функции. Существуют и другие особые точки, но о них мы говорить не будем.

Особые точки названы так не потому, что они пред­ ставляют собой что-то редкое, необычное. Напротив, можно сказать, что любая функция обязательно их име­ ет. В противном случае она сводится к постоянному чис­ лу. Более того, если известны особые точки функции, то известна и сама функция.

Поэтому любая физическая теория, изучающая зави­ симости некоторых величин, может в принципе строить­ ся как теория для определения особых точек соответст­ вующих функций.

В данном случае нас интересуют амплитуды перехо­ дов элементарных частиц из одних состояний в другие. Амплитуды являются комплексными величинами и из­ меняются в зависимости от энергии, импульса, угла рас­ сеяния. Последние непосредственно измеряются на экс-

124

леримёнтё И поэтому являются действительными. Но чтобы применить все, что было сказано выше, необходи­ мо распространить зависимость и на комплексные значе­ ния энергии, импульса и угла рассеяния.

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать вто­ рую основную гипотезу: «Амплитуда вероятностей имеет только те особые точки, которые следуют из условия уни­ тарности» .

■ Следовательно, соотношение унитарности позволяет определить особые точки амплитуд переходов, а аппа­ рат теории функций комплексных переменных дает воз­ можность получить по ним сами амплитуды, знание ко­ торых позволяет ответить на все вопросы о поведении элементарных частиц. Этим, по существу, и исчерпыва­ ется содержание настоящей главы. Конечно, мы не рас­ сказали еще о многих сторонах данного направления те­ оретических исследований, но и сказанного вполне до­ статочно, чтобы понять его характер и основные идеи.

Многие вопросы, не рассмотренные нами, еще более специальны, и следовательно, еще далее увели бы нас в глубь абстракций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Велика и разнообразна «страна физика»! Есть в ней свои горы и равнины, леса и пустыни, моря и океаны. Всевозможные маршруты могут "быть выбраны для путе­ шествий по этой стране.

Одни маршруты целиком посвящены изучению отно­ сительно небольших ее областей. Они дают возможность детально ознакомиться со всем, что встречается по пути.

Другие охватывают значительно большие расстояний и, если мы не собираемся отводить им очень много вре­

125