Файл: Методическое пособие по выполнению курсовой работы 2016 года.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассмотрим математическое ожидание другого сомножителя в (90):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos( ct1 с ) cos( ct2

с ) =

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cos (t

 

t

)

1

 

 

cos (t

t

 

) 2

 

=

(90а)

 

 

2

 

 

2

с

 

2

 

 

c

 

1

 

 

2

 

 

 

с

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos (t

 

t

)

1

 

cos[ (t

t

 

 

) 2 ] =

(90б)

 

2

 

2

 

2

 

 

 

c

 

1

 

 

2

 

 

 

с

1

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

cos (t

 

t )

1

cos[ (t t

 

) 2 ] .

(90в)

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

с

 

 

1

 

 

2

 

с

1

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этой цепочке преобразований первое равенство (90а) получено в ре-

зультате использования формулы cos соs = 12 cos( ) + cos( ) .

Второе равенство (90б) получено на основании известного положения теории вероятностей – математическое ожидание суммы случайных слагаемых всегда равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Третье равенство (90в) получено на основании правила: математиче-

ское ожидание детерминированной величины 12 cos с (t2 t1) равно самой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

детерминированной величине. Второе слагаемое

1

cos (t

t

 

) 2

 

 

 

2

с

 

2

с 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в сумме равенства (90в) является математическим ожиданием случайной величины 12 cos с (t1 t2 ) 2 с , так как в аргумент косинуса входит слу-

чайная фаза 2 с . Аналогично (88) получим: cos с (t1 t2 ) 2 с = 0. Итак, равенство (90) принимает следующий вид:

B

(t ,t

 

) B

t , t

 

 

1

cos

t

 

t

 

1

B

(t

 

t

) cos (t

 

t ) . (91)

 

 

 

 

 

 

 

Iфcos

1

2

Iф

1

2

2

 

с

 

 

2

1

2

Iф

 

2

1

с

2

1

Вводя обозначение (t2

t1) , равенство (91) представим в виде

 

 

 

 

 

B

( )

1

B

( ) cos .

 

 

(92)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iф cos

 

2

I ф

 

 

 

с

 

 

 

 

 

Таким образом, на выходе перемножителя получаем случайный процесс Iф (t)cos( сt с ) (66). Математическое ожидание этого процесса со-

гласно (89) равно нулю, т. е. постоянно, и его корреляционная функция BIфcos (t1,t2 ) , учитывая (91), зависит от разности времен (t2 t1) . Следо-

вательно, случайный процесс на выходе перемножителя является стационарным.

70

Корреляционная функция BIф ( ) случайного процесса Iф (t) опреде-

ляется формулой (71). Подставляя (71) в (92), окончательно получаем

BIф cos ( )

1

 

 

 

In2

 

 

x( ) cos с .

(93)

2

1, 27

2

 

 

 

 

 

На рис. 32 представлен график функции BIф cos ( ) , где x( )

– импульс

Найквиста (при коэффициенте ската 1).

 

 

 

 

 

 

B

(τ)

1

B

( ) cosω τ

 

 

 

 

 

IФcos

2

IФ

c

 

 

 

 

 

 

1

 

 

I 2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

2 1,272

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

2T

 

 

0

2TS

S

TS

 

 

 

TS

 

 

 

Рис. 32. Корреляционная функция BIф cos ( )

случайного процесса Iф (t) cos( сt с )

Спектральную плотность мощности случайного сигнала на выходе перемножителя определим на основании теоремы Винера – Хинчина. Преобразуя функцию BIф cos ( ) по Фурье, с учетом (93) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

GIф cos ( ) BIф cos ( ) e i d

 

In2

 

 

 

x( ) cos с e i d ,

2

1,27

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

учитывая, что cos

ei с e i с

 

, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

i( )

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

i( )

 

2

 

x( ) e

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x( ) e

 

 

 

 

In

 

 

 

 

 

 

с

 

d

 

 

 

In

 

 

с

d

4

1,272

 

 

 

 

4

1,272

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

In2

S

x

( ) S

x

( ) ,

 

(94)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1, 272

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71

где графики функций Sx ( с ) и Sx ( с ) получаются в результате сдвига графика функции Sx ( ) (43) на рис. 19, б соответственно вправо и влево на величину с .

Напомним, что функция Sx ( ) импульса Найквиста x(t) при значении

коэффициента ската 1 и

f

 

 

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

 

 

при

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sx ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

при

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно показать, что имеет место равенство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BQ

 

sin ( ) BI

ф

cos ( ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(95)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GI

ф

cos ( ) GQ

 

sin ( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(96)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

GI cos( ) GQ

 

sin( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

I

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

 

Ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1,272

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

C

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

C

T

 

 

 

 

C

T

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

C

T

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

Рис. 33. Спектральные плотности мощности

GI

ф

cos ( ) и

GQ sin ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

случайных процессов Iф (t) cos( сt с )

и Qф (t) cos( сt с )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на выходе перемножителей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.6.2.4. Корреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса s(t) на выходе модулятора (сумматора)

Согласно структурной схеме системы связи (рис. 1) на выходе модулятора (сумматора) получаем сигнал s(t) квадратурной модуляции КАМ-16 или КФМ-4, ссылаясь на выражение (82) в разд. 4.6.2.2:

s(t) = Iф (t) cos( сt с ) Qф (t) sin( сt с ) .

72

В соответствии с изложенным в разд. 4.6.2.2 математическое ожидание s(t) 0 , тогда можно утверждать, что s(t) является центрированным случайным процессом, поэтому его корреляционная функция будет следующей:

 

 

 

 

 

 

Bs (t1,t2 ) s(t1) s(t2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iф (t1) cos сt1 с Qф (t1)sin сt1 с

 

 

 

 

 

 

 

cos сt2 с Qф (t2 )sin сt2 с

 

 

 

 

 

Iф (t2 )

 

Имея в виду известные свойства математического ожидания, можно

написать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iф (t1) cos сt1 с Iф (t2 )cos сt2 с

 

 

 

 

 

cos сt1 с Qф (t2 )sin сt2

 

 

 

 

 

Iф (t1)

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qф (t1) sin сt1 с Iф (t2 )cos сt2

с

 

 

 

 

sin сt1 с Qф (t2 )sin сt2

 

 

 

 

 

 

 

Qф (t1)

с

Iф (t1) Qф (t2 ) cos сt1 с cos( сt2 с ) Iф (t1) Qф (t2 )

cos( сt1 с ) sin( сt2 с ) Qф (t1) Iф (t2 ) sin( сt1 с ) cos( сt2 с )

Qф (t1) Qф (t2 ) sin( сt1 с ) sin( сt2 с ) .

После преобразований получим

B

 

 

t

 

t

 

 

 

1

cos t

 

t

 

B

 

 

 

t

 

t

 

1

sin (t

 

 

t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iф

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

с

2

 

1

 

Iф , Qф

 

 

2

 

 

1

 

 

2

 

с

 

2

 

 

1

B

 

 

 

 

t

 

t

 

 

1

sin( t

 

t

B

 

t

 

t

 

1

cos

t

 

 

t .

 

,Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

ф

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

с

 

2

 

1

Qф

 

 

 

2

 

1

 

 

2

 

 

с

2

 

 

 

1

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь Iф (t) и Qф (t)

являются независимыми случайными процессами,

поэтому взаимные корреляционные функции равны нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

t2 t1 B

 

t2 t1 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iф , Qф

 

 

 

 

 

Qф , Iф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B (t ,t

 

 

)

1

B

 

 

 

(t

 

 

 

t ) cos (t

 

t )

 

1

B

 

(t

 

t ) cos (t

 

t ).

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

2

s 1

 

 

 

 

2

I

ф

 

 

 

1

 

 

 

с

1

 

2

 

 

Q

 

 

 

 

1

 

 

с

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cогласно (73)

 

имеем

BQ

(t2 t1) = BI

 

(t2

t1)

. В результате получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bs (t1,t2 ) Bs (t2 t1) BI ф (t2

t1)cos с (t2 t1) . Вводя обозначение

(t2 t1) ,

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bs ( ) BIф ( ) cos c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(97)

73

Используя (71), окончательно получим

 

 

 

1

 

 

B ( ) I 2

 

x( ) cos ,

(98)

 

 

1,272

s

n

 

c

 

где x( ) – импульс Найквиста, определяемый (42) при 1 (рис. 19, б);

In2 – определяется формулой (68) для КАМ-16 или для КФМ-4. График функции Bs ( ) приведен на рис. 34.

In2 Bs(τ) BIФ( ) cosωcτ

1,272

τ

2TS

TS

0

TS

2TS

 

Рис. 34. График корреляционной функции Bs ( )

Спектральная плотность мощности Gs(ω) случайного сигнала s(t) в соответствии с теоремой Винера – Хинчина определяется через преобразование Фурье корреляционной функции Bs(τ). Используя (98), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Gs ( )

BIф cos ( ) e i d In2

 

 

x( ) cos c e i d

 

1,27

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

In2

S

x

( ) S

x

( ) ,

(99)

 

 

 

 

 

2

 

1, 272

 

 

 

 

 

c

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где согласно (59) получим аналитические выражения для функции Sx ( c )

и Sx ( c )

 

T

1 cos

 

 

T

 

 

при

 

 

 

 

2

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

Sx c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 2 c 2 , при c 2 ;

T T T

c 2T ;

T

1 cos

 

 

T

 

 

 

2

 

 

c

2

 

 

 

 

Sx c

 

 

 

 

 

 

0

 

при c

2

c

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

при

 

 

2

 

2

.

 

 

 

 

 

 

c

 

T

c

T

 

 

 

 

 

 

 

74

Смотрите также файлы