Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 254

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

х, у,

z

или так называемым радиусом-вектором

г, проведенным из

начала

отсчета в данную точку *) (рис. 2).

 

 

 

 

Результат исследования движения в пространстве может быть,

таким

образом, задан грубо — в виде таблицы значений

г (каждое

значение — тройка

чисел!) для времен

tlt

t2 и т. д., или точно —

в виде непрерывной

функции

r=f(t)

(по сути

дела

в

виде

трех

функций, например

x=f1(t),

y=fs(t),

z=f3(t)

или

r=<(i(t),

а —

= ф 2 ( 0 , Р = Ф з ( 0 и т. д.).

 

 

 

 

 

 

 

Векторное уравнение r=f(l)

или, что то же, три ему равноцен­

ных

скалярных уравнения

называются

уравнениями

 

движения.

Рис. 2.

Рис. 3.

 

 

Средняя скорость. Рассмотрим участок траектории

А В.

Пусть

в момент времени t движущаяся точка находилась в А,

а в момент

времени И-А* — в В (рис. 3). Проведем

радиусы-векторы г А

и г в .

Нам известно, что за время А^ точка перешла из А в В.

Естественно

поэтому

назвать

вектор А В вектором

перемещения

точки.

Векторы складываются

по правилу

параллелограмма. Рассма­

тривая

рис. 3, видим, что

 

 

 

 

 

rB=

rA + АВ,

или АВ=

гв—гА

= Аг,

 

т. е. вектор перемещения точки есть векторная разность радиусоввекторов. Знание вектора перемещения Аг за время А^ определяет криволинейное движение с точностью тем большей, чем меньше Аг.

Среднюю скорость на участке АВ принято характеризовать отно­ шением

это, следовательно, такая скорость, с какой тело прошло бы уча­ сток АВ равномерно и прямолинейно за то же время At.

*) Радиус-вектор г задается своей величиной, равной г— У"x2-f {/2 +z3 , и уг­ лами с осями координат: cos a=x/r, cos $=у/г и cos y=z/r. Таким образом, знание радиуса-вектора г требует задания трех чисел: либо х, у, г, либо г, а, р\ либо г,а, у и т. д. (два угла определяют третий, так как cos2a-)-cosa P+cos2 у= 1).

Итак, движение на участке АВ можно охарактеризовать направ-

•

лением вектора АВ = Аг и величиной скорости у с р . Вместо этого вводится вектор

 

 

^CP

~

At ~At

'

 

 

 

равный по длине средней скорости и имеющий направление

вектора

перемещения. Теперь можно сказать, что движение тела на

участке

АВ определяется

средней векторной

скоростью.

 

 

Истинная скорость.

Если

уменьшать

интервал

времени At,

то точка В будет приближаться к А.

В конце концов эти точки

сольются, причем

направление

А В

превратится в

касательную

линию к траектории в

слившихся в одну

точках.

 

 

Можно утверждать, что отношение ABjAt при уменьшении At стремится к пределу. Вектор г»и с т , имеющий направление касатель­ ной к траектории точки в данный момент движения и численно рав­ ный пределу отношения AB/At при At->0, называется истинной век­ торной скоростью движения точки:

г » и с т = предел ~ при At

0.

Иначе говоря, истинная скорость есть производная вектора г по времени:

dr

Еще раз подчеркнем, что для описания движения мы не обяза­ тельно нуждаемся в векторах. Вместо того чтобы пользоваться по­ нятием векторной скорости, можно говорить о численном значении

скорости

*) и указывать

направление движения. Однако в этом

случае те же самые правила

и те же самые опытные факты должны

формулироваться более длинными, более громоздкими фразами. Язык векторов соответствует физическому опыту, кроме того, он сжат и выразителен. Естественно, надо употребить некоторые уси­ лия, чтобы к нему привыкнуть.

Так как проекциями вектора г на оси

координат являются

коор­

динаты его конца х, у, г, то

проекции

векторной скорости

будут

равны

 

 

 

 

dx

_dy

 

dz

 

V x ~ d i '

Vy~dt'

V z

~ d i '

 

Векторное ускорение. Продолжая рассмотрение криволинейного движения, построим в виде стрелок истинные скорости движения тела при прохождении через точки А я В траектории. Если бы мы не ввели в рассмотрение векторную скорость, то должны были бы

*) Прямые скобки | 1 означают, что учитывается лишь численное значение (модуль) векторной величины, стоящей в скобках.

сказать так: скорость в В иная, чем в А, кроме того, изменилось направление движения. Пользуясь векторной скоростью, мы ска­ жем короче: в точке В иная векторная скорость, чем в Л .

Векторная скорость может меняться по величине и по направ­ лению.

Если участок А В прямолинейный, то векторы vA и 1)в на­ правлены одинаково. Величина изменения скорости найдется

арифметическим

вычитанием

длины

вектора

1)А

из длины

век­

тора

vB.

 

 

участок А В; векторы

vA и

Рассмотрим

теперь криволинейный

vB отличаются

как по величине, так и по направлению. Для

того

чтобы

определить, насколько

возросла

величина

скорости,

надо,

по-прежнему, вычесть длину

вектора

<оА

из

vB:

 

 

A\v\=\vB\-\vA\.

Однако это число не характеризует, конечно, полностью тех измене­ ний, которые произошли в движении.

X

Рис. 4.

Вычтем теперь вектор vA из вектора vB в соответствии с прави­ лами операции над векторами. На рис. 4 показан вектор

Av=vB—vA.

Вектор vB— сумма Av-\-vA— есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вектор Av назовем векторным приращением скорости. Длина этого вектора в случае криволинейного движения не равна

Д \v \ =\vB

I—\vA

|. Из рисунка очевидно, что величина

векторного

приращения | Av

| больше разности величин векторных

скоростей

Д |г» [• Для

того чтобы узнать векторную скорость в точке В, надо

по правилу параллелограмма сложить вектор скорости 1)А с при­

ращением

Av.

 

 

Теперь

мы

можем следующим образом

определить величину

ускорения

для

криволинейного движения.

Вектор, равный отно­

шению векторного приращения скорости ко времени, в течение ко­

торого это приращение произошло, называется средним

векторным

ускорением:

 

 

 

 

 

Av

 

а = р

~

д7 *

 

При уменьшении промежутка времени Д/ это отношение

стремится

к пределу. Вектор

 

 

 

а и с т = предел

~

при Д^ —*-0

 

называется истинным векторным ускорением тела в данный момент движения. Иначе говоря, векторное ускорение равно производной от векторной скорости:

 

dv

 

dux

<к>у_

_ <hz_

a* ~ ~df ' аУ~~

dt ' а*~

dt '

Векторное ускорение определяет однозначно характер измене­ ния скорости тела.

Вообще говоря, вектор ускорения может образовывать любой угол с траекторией движения. Этот угол определяет характер уско­ рения и кривизну траектории следующим образом. Через интере­ сующую нас точку траектории проведем окружность, имеющую с траекторией общую касательную в этой точке и на данном участке кривой с наибольшей точностью приближающуюся к ней. Эта ок­ ружность называется касательной *), а ее радиус р называется радиусомкривизныв данной точке. Вектор ускорения всегда направ­ лен внутрь этой окружности. Если движение ускоренное, то вектор а образует острый угол с траекторией (т. е. с касательной к траек­ тории в данной точке). Если движение замедленное, то этот угол будет тупым. Наконец, если скорость по величине не меняется, то векторное ускорение направлено по нормали к траектории.

Эти положения можно строго доказать; мы удовлетворимся их геометрической иллюстрацией, приведенной на рис. 5.

*) Касательная окружность и вычисление радиуса кривизны подробно изу­ чаются в курсах дифференциальной геометрии.

Соответственно со сказанным принято раскладывать вектор ускорения на две составляющие (рис. 6):

a=at + an.

Так как векторный треугольник прямоугольный, то a=Va1 + al.

Вектор ot , направленный вдоль

траектории,

характеризует

изменение скорости по величине; он

называется

 

тангенциальным

ускорением.

Нетрудно

доказать,

что

 

тангенциальное

 

ускорение

 

 

at — предел

Д М

 

 

 

 

At

 

при

At

—>0,

т. е.

at

= djvj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

где А] г» I — приращение скорости

по

величине.

 

 

 

 

 

 

Вектор

ап

направлен по нор­

мали к траектории; он характе­

ризует

изменение

 

скорости

по

направлению и называется

нор­

мальным

ускорением.

 

Нормаль­

ное

 

ускорение

ап

связано

про­

стой

формулой

с

 

величиной

Рис. 5.

Рис. 6.

скорости v и радиусом кривизны р в данной точке, а именно,

а„ — —.

" Р

Из этой формулы, которая выводится в курсах теоретической меха­ ники на основании геометрических соображений, следует, что дви­ жение с неизменным нормальным ускорением (ап и v — постоянные величины) есть движение по окружности. В этом случае р есть посто­ янная величина для всех точек траектории, равная радиусу окруж­ ности.

Смотрите также файлы