Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

иное как изменение импульса всех молекул, происходящее за одну

секунду: — ^ — г — g — 1 ~ • • • или, вынося постоянный член за скобки,

Пусть в газе содержится п молекул, тогда можно ввести в рас­ смотрение средний квадрат скорости молекулы, который определя­ ется формулой

V> = ±{v\ + v\+ ...).

Выражение для силы давления запишется теперь кратко:

mnv1

F = - R '

Давление газа мы получим, разделив выражение силы на площадь сферы 4я/?3 . Получим

Заменяя AnR3 на 3V, получим следующую интересную формулу:

pv=-jnmv\ или рV = у п ( - у -

Итак, давление газа пропорционально числу молекул газа и среднему значению кинетической энергии поступательного движе­ ния молекулы Газа.

К важнейшему выводу мы приходим, сравнивая полученное уравнение с уравнением газового состояния. Сопоставление правых

т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движения моле­ кул зависит только от абсолютной температуры и притом прямо про­ порциональна ей.

Проделанный вывод показывает, что газы, подчиняющиеся закону газового состояния, являются идеальными в том смысле, что при­ ближаются к идеальной модели собрания частиц, взаимодействие которых не существенно. Далее, этот вывод показывает, что введен­ ное эмпирическим путем понятие абсолютной температуры как вели­ чины, пропорциональной давлению разреженного газа, имеет простой молекулярно-кинетический смысл. Абсолютная темпера­ тура пропорциональна кинетической энергии поступательного дви­

Универсальной является также величина

Она называется постоянной Больцмана. Тогда

Если представить квадрат скорости и2 через сумму квадратов состав­ ляющих, у2 =р2 .+у^-т-и|, то, очевидно, на любую составляющую придется в среднем энергия

Эту величину называют энергией, приходящейся на одну степень

(выражающихся друг через друга) является относительно сложной задачей, требующей проведения тонких измерений.

Проделанный вывод дает в наше распоряжение полезные фор­ мулы, позволяющие вычислять средние скорости молекул и число

где М — молекулярный вес. Корень квадратный из среднего ква­ драта скорости называют средней квадратичной скоростью. Она равна

т. е. прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса. Легко найдем, что при комнатной температуре молекулы кис­ лорода имеют скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При темпера­ туре жидкого гелия те же молекулы имели бы соответственно ско­ рости 40 м/с и 160 м/с, при температуре поверхности Солнца 6000°— скорости 2160 м/с и 8640 м/с. Правда, мы привели нереальные при­ меры: при температуре жидкого гелия водород и кислород затвер­ деют и поступательного движения молекул не будет, а при темпера­ туре поверхности Солнца молекулы распадутся на атомы.

Для числа молекул в единице объема получим следующее простое выражение:

Отсюда следует закон Авогадро: при одинаковых давлениях и температурах все газы содержат одно и то же число молекул в еди­

Свойства одноатомных газов определяются кинетической энер­ гией поступательного движения молекул. Внутренняя энергия ато­ ли не сказывается на термодинамике газа. Очевидно, учет внутрен­ ней энергии атома может стать нужным лишь в тех случаях, когда газ находится при очень высокой температуре и когда столкнове­ ния атомов могут привести к их возбуждению и ионизации. Об этих процессах в свое время у нас будет подробная речь.

Таким образом, весьма широкую применимость будет иметь фор­ мула внутренней энергии одноатомного газа

где N — число молекул. Воспользовавшись формулами предыду­ щего параграфа, получим для 1 моля идеального одноатомного газа выражение

U = \ r T .

Отсюда для теплоємкостей 1 моля одноатомного газа получим по формулам, приведенным в § 60:

и соответственно постоянство теплоємкостей одноатомного газа имеют место в довольно широком интервале внешних условий.

У многоатомных газов такая простая картина если и имеет место, то в значительно более узком интервале температур. Причина за­ ключается в том, что энергия многоатомной молекулы складывается из энергии поступательного движения, энергии вращения и энер­ гии колебания частей молекулы (т. е. атомов, из которых она по­ строена) друг по отношению к другу. Подсчет средней энергии, при­ ходящейся на молекулу, становится довольно сложным. Оказыва­ ется, что энергия молекулы уже не будет линейно зависеть от тем­ пературы и соответственно теплоемкость газа уже не будет постоян­ ной, не зависящей от Т величиной. Все же обычно удается найти

Опыт показывает, что в участке температур, где теплоемкость оста­ ется неизменной, эти формулы хорошо выполняются. Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа при комнатной температуре 300 К будет 1500 кал = 6250 Д ж .

Типичный ход кривой теплоемкости в широком интервале темпе­ ратур иллюстрируется рис. 84.

§ 7 1 . Статистическое распределение

Существует множество событий, которые нельзя предугадать. Мы называем их случайными. Рост юноши, явившегося на воинский призыв; число прохожих, пересекающих определенный перекресток в определенные часы; число выигрышных билетов в тираже займа, пришедшихся на облигации каждой рядовой сотни номеров,— все это примеры случайных событий. Наблюдая множество однотипных событий, например измеряя рост большого числа молодых людей, подсчитывая число прохожих за минуту в течение многих дней или анализируя число выигрышных билетов для многих тиражей займа, мы можем отчет о подобных наблюдениях оформить в виде так назы­ ваемых кривых распределения. Если речь идет о росте человека,

человека точно заданного роста (например, 171,34 см) практически равна нулю. Поэтому имеет смысл говорить лишь о числе призывни­ ков, рост которых лежит в некотором интервале.

Если речь идет об анализе выигрышных таблиц, то кривая рас­ пределения может быть построена на основании данных о числе рядо­

и т. д.), то полученная кривая и есть кривая распределения. Пример такой кривой показан на рис. 85. Кривая проведена через средние точки верхних оснований прямоугольников. Каждый