Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 360

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

так что плотность магнитной энергии представится выражением

™Ы = Щ^

(СИ),

и>ж = ±цН*

(СГС).

Таким образом, для любой системы токов магнитная энергия мо­ жет быть представлена интегралом по объему, занятому полем:

, = | ° J n № d t

(СИ),

Wu = ±^H*dr

(СГС).

Рассмотрим магнитную энергию двух токов. Ее выражение распа­ дается естественным образом на три интеграла, если напряженность результирующего поля Н представить как сумму напряженностей обоих токов: Н=Н\-\-Нъ. Смысл каждого из интегралов, входящих в выражение магнитной энергии

W = ^ J iiHldx + ц 0 J у,НхН2 dx + to J ц Я І Л ,

довольно очевиден. Первый и последний интегралы дают магнитные энергии первого и второго токов. Что же касается второго интеграла, то его можно назвать энергией взаимодействия двух токов. Действи­

тельно, этот интеграл

может иметь разные значения при одинаковых

величинах напряженностей полей Н± и Н2.

Представим себе, что

меняется

взаимное

положение двух токов,

тогда

векторы полей

Hi

и # 2 ,

вообще говоря, повернутся друг к другу

и значение энер­

гии

взаимодействия

изменится.

 

 

 

 

Первый и третий интегралы можно,

конечно, представить через

силу тока и индуктивность как V2 L i / 2 i

и V 2

L 2 / 2 2 . Что же касается

среднего интеграла, то ясно, что его величина должна быть пропор­ циональной произведению сил токов. Значит,

\\iH1H2dx=MI1I2

Коэффициент пропорциональности М носит название коэффициента взаимной индукции. Так же как и индуктивность, М зависит от гео­ метрии системы и распределения в ней магнитных тел.

Из этого вычисления ясно, что с изменением магнитной энергии системы токов связаны не только работа сторонних сил и выделение джоулева тепла, но и работа поля, затрачиваемая при перемещении проводников под действием амперовой силы. Закон сохранения энер­ гии требует поэтому выполнения такого равенства:

dWu= — A — (Q — P)dt.

Здесь А — механическая работа. Т.аким образом, утверждается, что магнитная энергия затрачивается в общем случае на работу

перемещения проводников и на превышение выделения джоулева тепла над работой сторонних сил.

Приведенные в этом параграфе соотношения не учитывают лишь одного явления — магнитного гистерезиса. Поскольку этот вопрос носит специальный характер, мы не будем на нем останавливаться.

П р и м е р . Энергия, запасенная в магнитном поле катушки (пример т

стр. 378), будет

 

 

L / 2

1 9-10 —3-О I 2

Wu = bL^1*

' " 2

=0,95.10-« Д ж -

Плотность энергии

 

 

^м=Моіі^=4д- ю - М .

=0,63 Дж/м3 .

Разумеется, тот же результат можно получить, поделив полную энергию магнит­ ного поля на объем катушки: wa=WJSl.

§ 117. Электрические колебания

Фундаментальное значение для электродинамики имеют про­ цессы превращения электрической энергии в магнитную и обратно. В качестве простейшей системы, в которой имеют место подобные

превращения,

мы

можем рассмотреть

заряженный

электричеством

 

 

конденсатор, обкладки которого в некото­

 

 

рый момент присоединяются к концам ка­

 

 

тушки (рис. 129). При разрядке конденсато­

 

 

ра через катушку

течет электрический ток

 

 

и около нее создается магнитное поле. В

ё

 

каждое мгновение в этой системе существу­

 

ют тесно связанные между собой электриче­

 

 

Рис.

129.

ское поле конденсатора

и магнитное

поле

катушки. Энергия

этого

контура

склады­

 

 

вается в каждый

момент времени из электрической

энергии

поля,

сосредоточенного

в основном между

обкладками

конденсатора,

и

магнитной энергии, сосредоточенной

главным

образом внутри

ка­

тушки. Как известно, в такого рода

контуре

возникают

электри­

ческие колебания. Необходимость электрических колебаний в по­ добной системе сейчас будет нами показана.

Оставим сначала без внимания потерю энергии на джоулево тепло. Тогда закон сохранения энергии требует выполнения равен-

ства

W T ? + T Z ' / 2 ~ c o n s t -

Сумма

электрической и

магнитной энергии в каждое мгновение

одна и

та же, и, значит,

производная по времени от написанного

выражения должна равняться нулю:

dW__QdQ.T

Ш _ п

dt

С dt*

dt

Так как сила тока должна равняться убыли заряда с пластины кон­ денсатора,

1 ~ dt '

 

то уравнение упрощается и получает

вид

с ^ b d t

и-

Подобная связь между зарядом на пластинах конденсатора и силой тока, являющейся производной от заряда по времени, может быть удовлетворена лишь при колебаниях заряда и тока по гармониче­ скому закону.

Это станет ясным, если мы сопоставим уравнения механического

колебания (стр. 75) с

найденным:

 

 

г

dQ

 

dx.

I =

± W

v

= d f

r dl

1 _

dv

,

Аналогия имеет место между зарядом и током, с одной стороны, и смещением от положения равновесия и скоростью движения, — с другой. Что же касается параметров системы, то индуктивность играет роль массы, а обратная емкость — роль жесткости системы.

Беря начало отсчета времени в тот момент, когда конденсатор заряжен полностью, положим, что

Q = Q0 cos at.

Тогда

/= — Q 0 cosinco £ .

Подставляя в дифференциальное уравнение, получим ,

—LQ0a2 cos Ы — — Q 0 cos Ы

или после сокращения

1

CO: V LC

Таким образом, каков бы ни был начальный заряд на обкладках конденсатора, в нем происходят гармонические колебания с соб­ ственной частотой с о 0 = 1 / | / Х С Частота электрических колебаний тем больше, чем меньше емкость и индуктивность цепи.

Что же происходит в реальной цепи тока, где нельзя пренебречь потерями на джоулево тепло? Очевидно, в этом случае полная энер­ гия системы будет убывать в согласии с равенством

dW= — PRdt,

т. е.

Продифференцировав еще раз по времени и используя соотношение между зарядом и током, мы приходим к уравнению вида

И здесь необходимо проследить аналогию между соответствующими электрическими и механическими величинами. Сопоставляя послед­ нее уравнение с уравнением механических колебаний с трением (стр. 79), мы отметим аналогию между электрическим сопротивле­ нием R и коэффициентом а, характеризующим механическое со­ противление.

Решения подобных линейных дифференциальных уравнений рас­ сматриваются в курсах высшей математики. Мы ограничимся тем, что приведем окончательную формулу, справедливость которой, впрочем, нетрудно проверить подстановкой в уравнение

/ = 10е~$* cos at.

Частота колебаний

a =

V<=&.

Таким образом, процесс определяется двумя характеристиками: собственной частотой свободных незатухающих колебаний со0 = = \/VbC И коэффициентом затухания $=R/(2L). Мы видим, вопервых, что малое затухание достигается уменьшением сопротивле­ ния по отношению к индуктивности (разумеется, такой ситуации трудно добиться; скажем, увеличивая число витков катушки, мы увеличим одновременно обе величины; правда, L будет расти бы­ стрее). Во-вторых, мы можем отметить, что при условии

со* < рЛ Т . е. 4L < CR\

колебания становятся невозможными. Разрядка конденсатора в та­ ких условиях приводит к апериодическому процессу, аналогичному возвращению маятника, отклоненного в вязкой среде, в положение равновесия.

П р и м е р . Пусть имеется конденсатор переменной емкости с максимальной емкостью С=500 пФ. Вычислим индуктивности катушек, необходимых для кон­ тура радиоприемника, работающего в диапазонах 1500 м и 15 м.

1. Частота электрических колебаний, соответствующая л1 =1500 м, л>і=

=2 - 10 5 Гц=200 кГц. Так как со = 2яу, = - Д = , то Ц=

]—- = 1,2- 1 0 - 3 Г =

Смотрите также файлы