Так как электронные пучки ие проникают в вещество сколько-нибудь значи тельно, то электронография является удобным способом исследования структуры поверхностей. Электронография позволяет изучать и расположение атомов в крис таллах, правда лишь в тех случаях, если структура несложная.
Нас интересует не столько применение электронографии, сколь ко сам факт дифракции электронов. Возвращаясь к нему, поставим самый важный вопрос: какова длина волны электронного пучка? На этот вопрос отвечает опыт. Меняя ускоряющее напряжение U, мы изменяем длину волны, при этом Я оказывается обратно пропор циональным V U, а именно
если Я выражать в A, a U — в вольтах.
Еще в 1924 г., до открытия дифракции электронов, Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу: он предположил, что двойствен ное поведение электромагнитного поля, проявляющего себя не толь ко в виде волны с частотой v и длиной Я, но и в виде частиц, фотонов
o r . , |
hv h |
с энергией b=hv |
и импульсом р = — = у , следует распростра |
нить и на частицы вещества. Опыты по дифракции электронов под твердили это предположение. Формулу длины волны электронов
Я = А = ±
рmv
с помощью соотношения mv2/2=eU, откуда v=V2eU/т, |
мы сразу |
же приводим к виду |
|
|
|
» const* |
, л |
h |
|
Я = — , |
где const* = • |
Ylem |
|
VV |
|
|
Подстановка значений е, т и h в системе СГС с одновременным пере водом значения U в вольты дает для константы приведенное выше значение. Этим бесспорно доказывается справедливость гипотезы де Бройля.
Длины электронных волн |
для разных |
значений |
ускоряющих потенциалов, |
рассчитанные по приведенной |
формуле: |
|
|
(/(В) |
1 |
100 |
1000 |
ЦА) |
12,25 - |
1,22 |
0,39 |
Поскольку дифракция на кристалле возможна тогда, когда длина волны по по рядку равна периоду кристаллической решетки (—1 А.), видно, что дифрагировать на кристалле могут электроны, обладающие энергиями порядка сотен электронвольт.
§ 180. Основные идеи квантовой механики
Итак, пучок электронов может вести себя как волны с длиной Я=Уг/р. Является ли это поведение типичным для совокупности боль шого числа электронов или волновые свойства присущи отдельному электрону? Д л я ответа на этот вопрос можно сравнить электроно-
граммы, полученные с сильным и слабым пучком электронов. В од ном таком опыте пучок был настолько слаб, что средний промежуток времени между двумя последующими прохождениями электрона через дифрагирующую систему был в 30 ООО раз больше времени, затрачиваемого электроном на путь от нити накала до'фотопластин ки. Тем не менее дифракционная картина ничуть не отличалась от другой электронограммы, полученной с пучком в 107 раз более силь ным. Подобные опыты показывают, что волновая природа присуща каждому отдельному электрону. Таким образом, то, что было ска зано на стр. 388 — 390 о фотоне, справедливо и для электрона. Элек трон не ведет себя подобно пуле и горошинке. Поведение электрона не может быть описано с помощью уравнений механики Ньютона. Изучение поведения микрочастиц составляет предмет так называе мой квантовой механики.
Двойственное поведение электрона не является особенностью именно этой частицы. Волновое поведение характерно для любой микрочастицы. Может наблюдаться, например, дифракция нейтро нов. Наблюдалась дифракция атомов гелия, молекул водорода. Как мы увидим ниже, волновые свойства отходят на задний план по мере того как масса частицы растет. Но об этом позже. Обозначим
амплитуду волны, сопоставленной с микрочастицей |
массы т, че |
рез г|). Эта амплитуда, как, впрочем, амплитуда волны |
любой приро |
ды, есть функция координат. Функция -ф(х, у, г) («пси-функция»)
должна удовлетворять волновому |
уравнению (см. стр. 307) |
4 ^ + ^ |
= 0. |
Подставим в это уравнение длину волны микрочастицы X— =hl(tnv), выразив Скорость частицы .через ее энергию. Если частица движется в поле с потенциальной энергией U и обладает полной энергией <£, то
Подставляя в волновое уравнение, получим:
Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основ ным законом квантовой механики. Проведенная подстановка в вол новое уравнение ни в какой мере не является выводом основного закона квантовой механики. Ее надо рассматривать только как ил люстрацию догадки, приведшей к открытию этого уравнения.
Так же, как и основной закон движения Ньютона, уравнение Шредингера является законом природы, охватывающим, как мы увидим далее, обширный круг явлений *).
*) Мы упростили картину, так как не рассматривали зависимость г|) от вре мени. Полное уравнение Шредингера учитывает эту зависимость.
Это дифференциальное уравнение позволяет в принципе найти амплитуду волны ip(.v, у, г), сопоставляемой с микрочастицей во всех точках рассматриваемого пространства.
Как же проверить справедливость уравнения Шредингера? Это можно сделать при помощи основного утверждения теории: интен сивность ip-волны в каждой точке пространства, т. е. значение гр2, есть плотность вероятности *) нахождения электрона в этом месте пространства. Что же касается амплитуды ^'-волны, то она (анало гично векторам напряженности электромагнитной волны) на опыте не измеряется.
Описание частицы гр-функцией не является каким-то неполным, несовершенным способом описания ее движения. Было бы невер ным думать, что только в силу особенностей квантовой механики мы находим лишь вероятности "ф2(лг, у , г) пребывания частицы в данной точке пространства и что возможна другая, лучшая теория, при помощи которой можно будет находить траекторию частицы и ука зывать достоверно, где она находится. Достоверное описание дви жения частицы, определение ее траектории, невозможно по той при чине, что микрочастица ведет себя совсем не так, как большое тело. Микрочастица не есть частица в классическом смысле этого слова.
Мы еще раз повторим описание эксперимента с двумя щелями, который был использован при обсуждении двойственного поведения фотона.
Пусть пучок электронов падает на экран с двумя щелями. Про изойдет дифракция. Остановим свое внимание на одной точке эк рана, скажем, той, где интерференция уничтожила волны. Если от крыть лишь одну щель, то в эту точку будут приходить электроны. Если открыты обе щели, то в эту точку электроны не придут. Не возможно объяснить этот факт коллективными действиями элект ронов.
Если настаивать на том, что электрон ведет себя как класси ческая частица, то придется согласиться с тем, что электрон, про ходящий через одну щель, «знает», открыта или закрыта вторая щель, и в зависимости от этого меняет свое поведение. Разумеется, мы должны сделать вывод, что электрон не является классической ча стицей. Каждый электрон обладает волновыми свойствами, и поня тие траектории к электрону не применимо в полной мере. Поэтому вопрос о том, через какую щель прошел электрон в том опыте, когда обе щели были открыты одновременно, лишен содержания. Такой вопрос законен только для «обычной» частицы, но не для микро частицы.
Значит ли это, что становятся бессмысленными любые суждения о скорости микрочастиц и их координатах? На этот вопрос дает ответ так называемый принцип неопределенности, установленный немец ким физиком Гейзенбергом.
*) То есть вероятность нахождения частицы в малом объеме, поделенная на величину этого объема.
§ 181. Принцип неопределенности
Этот принцип указывает, в каких пределах можно пользоваться классическим описанием микрочастицы.
Применимость понятия траектории. Положим, что мы хотим определить координату микрочастицы в некоторой точке х и нам это удается сделать с точностью Ах. Чтобы «увидеть» частицу, нуж но применить «микроскоп», работающий при помощи света доста точно короткой длины волны, так как чем меньше к, тем больше разрешающая способность. В принципе мы можем сделать Ах как угодно малым, для этого придется лишь брать длину волны к по
короче, чтобы Ах было того же порядка, что и длина волны: Ахтк. |
Однако короткая |
длина волны означает большой импульс р — |
=Іі/к у фотона. Этот |
импульс будет передан «рассматриваемой в |
микроскоп» частице. Частица получит «щелчок» и изменит свой им пульс'на величину Ар порядка пік. Уменьшая к, мы будем умень шать неопределенность в координате Ах, но зато будет возрастать неопределенность в наших знаниях Ар. Исключая к из двух соот ношений Axwk и Apxhlk, получим уравнение
Ах-Ар ж п,
выражающее принцип неопределенности. Принцип указывает, что описание траектории микрочастицы имеет физический смысл лишь в том случае, если оно произведено с неопределенностями в значениях координат и импульса вдоль одного и того же направления, удов летворяющими неравенству
Ах- Ар > к.
Это замечательное соотношение устанавливает границы примени мости языка классической физики по отношению к микрочастице.
Подставляя вместо импульса р произведение mv (что справед ливо для скоростей, не очень близких к скорости света), мы получим условие
Ах-Aw > —,
связывающее неопределенности в координате и скорости вдоль оси х. Правая часть соотношения будет иметь совсем разные порядки величин в зависимости от того, пойдет ли у нас речь об электроне, атоме, молекуле или теннисном мяче.
Для электрона
— ^ 7 см2 /с
и, значит, неопределенности в координате и скорости связаны соот ношением
А Х - Д У > 7 .
Электрон находится внутри атома (размер 10~8 см). Можно ли описать движение электрона в атоме, как если бы электрон был
