Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

энергию молекулы кислородного газа при комнатной температуре, т.е. 10"1 3 эрг. Беря значения а = 1 0 0 А, /л=5,4 - 10~ 2 3 г, ( £ = 1 0 - 1 3 э р г , найдем, на каком квантовом уровне будет находиться микроча­ стица. Вычисление дает п=1000. Отсюда следуют два вывода. Вопервых, кривая гр2 будет иметь столь огромное число чередующихся максимумов и минимумов, что мы не сильно погрешим против ис­ тины, если скажем: вероятность пребывания частицы одинакова для всех точек ящика. Во-вторых, мы видим, что соседние уровни энергии будут очень близки.

Обе особенности, следующие из основного уравнения квантовой механики, стираются: распределение вероятностей для частицы становится практически неотличимым от огибающей кривой, энер­ гетические уровни сближаются настолько, что дискретность энер­ гии становится практически незаметной. Результаты квантовой механики начинают совпадать с результатами механики больших частиц. Это происходит всегда, когда энергия частицы соответст­ вует большому квантовому числу. Мы пришли к важному принципу квантовой механики: при больших квантовых числах результаты квантовой механики совпадают с механикой «обычных» частиц. Это значит, что при больших п понятие траектории частицы и дру­ гие особенности, свойственные обычной частице, применимы и к микрочастице.

§ 183. Что дает решение уравнения Шредингера

Мы уделили относительно много места движению частицы в по­ тенциальном ящике. На этом простейшем примере было легко по­ казать основные черты квантовомеханического метода рассмотре­ ния задач. Если электрон (или другая частица) может совершать движения в ограниченном объеме, то характерные особенности решения уравнения Шредингера сохраняются, какую бы форму ни имела в этой области потенциальная кривая. Во всех случаях по­ тенциальную яму можно пересечь некоторым количеством гори­ зонтальных прямых — возможных энергетических уровней. В прин­ ципе уравнение Шредингера позволяет вычислить эти значения энергии, если только задана форма потенциальной ямы. Самый низкий уровень дает нулевую энергию частицы для данной потен­ циальной ямы.

Для каждого энергетического уровня номера п квантовая меха­

время измерения частица успеет многократно побывать во всех точках пространства, то гр2(л:, у, z) можно рассматривать как плот­ ность «облака частицы». Электронное облако, окружающее атомное ядро, есть нечто вроде фотографии атома, снятой с длительной эк­ спозицией. \р-функция является амплитудой волны, сопоставляе­ мой частице. В примере электрона, находящегося в потенциальном

Ах-Аржп. Неопределенность в импульсе однозначно связана с неопределенностью в кинетической энергии, так как /С=р2 /(2/п). Если только Д/С есть величина порядка U—$, где^ 1 — энергия ча­ стицы, a U — высота барьера, то частица, находящаяся слева от барьера (см. рисунок), имеет неопределенность в координате

Если ширина барьера d меньше Ах, частица может быть обнару­ жена по другую сторону барьера. Частица как бы проходит по тун­ нелю, проложенному сквозь барьер на уровне полной энергии^.

Итак, условие туннельного перехода заключается в том, что

dV2tn(U—<§) < h, т. е. ^V2tn{U — S) < 1.

Как нетрудно видеть из примеров, явление имеет значение только для микрочастиц.

zlHV2m (U-e) d

Є

Туннельный эффект является строгим следствием уравнения Шредингера. Решение этого уравнения показывает, что т|)-функция имеет отличные от нуля значения и в тех точках пространства, где 1!><§. Значит, с некоторой вероятностью, тем меньшей, чем больше U—<§, электрон может быть найден и в тех областях пространства, где на языке «обычных» частиц он обладал бы отрицательной кине­ тической энергией.

Г Л А В А 28

СТРОЕНИЕ АТОМА

§ 185. Энергетические уровни атома водорода

Один электрон, «вращающийся» в поле ядра. Казалось бы, простая задача. Однако даже для этого простейшего атома решение уравнения Шредингера очень громоздко, и мы не имеем возможно­ сти его проделать. Что же касается результатов этого расчета, то мы их обсудим довольно детально.