Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

| л / И 7

Таким образом, корреляционная функция указывает на степень связи между центрированными (т. е. полученными после вычитания среднего значения) отсчетами процесса в моменты времени £у- и th Если изменение математического ожидания или дисперсии про­ цесса с течением времени t на некотором интервале от tx до tn можно охарактеризовать последовательностями значений X (£t), X (t2),- • ., X (tn), (рис. 18), то для характеристики степени связи между значе­ ниями процесса на этом интервале требуется построить матрицу

вида

Такая матрица называется корреляционной матрицей случайного

Раздел теории случайных функций, оперирующий только с мо­ ментами первых двух порядков, носит название корреляционной тео­ рии случайных функций. Значения этих моментов определяются тем,

45

Стационарные случайные функции

Важнейшим свойством любой случайной функции Xt является зависимость или независимость ее статистических характеристик X (t), D [X (t)], В (tj, tt) от начала отсчета времени. Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если ее мате­ матическое ожидание и дисперсия постоянны во времени, а корреля­ ционная функция зависит только от разности т = tj — tt моментов времени tj и tt:

X (t) = X = const,

Если первое или третье из этих условий не соблюдается (второе является, в сущности, частным случаем третьего: D [X] = В (0)), то случайный процесс является нестационарным. Примеры нестационар­ ного и стационарного случайных процессов даны на рис. 18.

Сейсмические трассы по своей природе нестационарны: амплитуда записи убывает со временем t регистрации в силу геометрического расхождения, потерь на поглощение, отражение и т. п.; форма импульсов отдельных сейсмических волн также меняется со време­ нем t. Однако подавляющее большинство алгоритмов обработки сей­ смических трасс построено на предположении о том, что эти трассы — стационарные процессы. Поэтому обычно в самом начале обработки

Важнейшим преимуществом стационарных процессов перед неста­ ционарными является простота определения статистических характе­ ристик по одной, отдельно взятой, реализации процесса. Для полу­ чения статистической характеристики всегда приходится выполнять усреднение тех или других величин: самих отсчетов функции для оценки среднего значения; квадратов центрированных отсчетов для оценки дисперсии и т. п. Если у нестационарных функций в общем случае необходимо усреднение этих величин по ансамблю реализа­ ций функции, то у стационарных в силу постоянства их статистиче­ ских свойств во времени возможно усреднение этих величин по вре­ мени. Стационарные случайные функции, у которых усреднение по ансамблю эквивалентно усреднению по времени для любой реализа­ ции, называются эргодическими.

46

Обращаясь к матричному представлению сейсмической записи (1.48), мы видим, что для эргодических стационарных функций усред­ нение по столбцам заменяется усреднением по строкам. Формулы для вычисления статистических характеристик принимают вид

Если в формуле свертки (1.34) считать, что весовая функция kt свертки равна сворачиваемому процессу xt, то формулы (1.34) и (1.52') будут очень похожи. Обе формулы представляют собой суммы парных произведений соответствующих отсчетов двух функций Вместе с тем останется существенное различие: в формуле (1.52') не происходит характерного для (1.34) «переворачивания» одной из функций, входя­ щих в правую часть выражения

47

тонно) по модулю, стремясь у реальных процессов к нулю при доста­ точно больших т. Величина т, начиная с которой огибающая корреля­

симы друг от друга, имел бесконечную протяженность по t, то его нормированная корреляционная функция была бы равна нулю везде, кроме т = 0; иначе говоря, его корреляционная функция выража­ лась бы единичным импульсом (1.34"). Процесс с такой корреляцион­

т. е. ординаты корреляционной функции по модулю никогда не пре­ вышают дисперсии случайной величины. Это соотношение является основанием для использования нормированной корреляционной функции.

48

3. Корреляционные матрицы стационарных процессов в силу свойства (1.55) являются диагональными, т. е. имеют вид

Корреляционные функции некоторых случайных процессов, чаще всего встречающихся на практике, изображены на рис. 20.

Функция взаимной корреляции

До сих пор мы говорили об одной отдельно взятой случайной функции. Рассмотрим теперь систему двух случайных функций X (t) и У (t). В рамках корреляционной теории для системы случай­ ных функций, так же как и для одной функции, ограничиваются рас­ смотрением первых двух моментов этих функций. Первый и второй моменты каждой случайной функции в отдельности рассмотрены выше, и остается рассмотреть второй смешанный момент ординат функций X (t) и У (t), взятых в различные моменты времени tj и th определяемый для вещественных X (t) и У (t) равенством

rXY(t}, h)^М {[Xit^-xit^WY(t^-yiti)]}; (1.57)

и называемый функцией взаимной корреляции.

Для стационарной в широком смысле системы функций (когда

и функция автокорреляции, функция взаимной корреляции отли­ чается от свертки тем, что ни одна из последовательностей Xt и Yt при вычислениях взаимной корреляции не «переворачивается»; ин­ дексы отсчетов xt и yt возрастают в одном и том же направлении.

Используем для вычисления функции взаимной корреляции те же последовательности Xt — х0, хи х2 и Yt — у0, ух, у2, которыми мы оперировали, рассматривая пример свертки.