Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I

2Т IT

{п-1)Т

Р и с . 15. Э к в и в а л е н т н а я с х е м а а н с а м б л я э л е м е н т а р н ы х ф и л ь т р о в .

гармонические составляющие входной функции на один шаг, равный интервалу временного квантования сейсмической за­ писи, и не вносящего искажений в задерживаемые гармоники (подобно «идеальной» линии задержки). z-преобразование весовой функции, представлен­ ной последовательностью kt = = 0, 0, к, О . . ., будет равно kz~2. Это показывает, что данный оператор осуществляет задержку входной функции на

два шага и т. д.

Обычно цифровые фильтры описываются не столь простыми после­ довательностями, как было показано, а обладают амплитудно-частот­ ными и фазово-частотными характеристиками, представляющими собой сложные функции частоты. Но такой сложный фильтр можно представить в виде ансамбля параллельно соединенных элементар­ ных фильтров, каждый из которых имеет постоянный коэффициент усиления и создает постоянную для данного фильтра задержку ix. Подобный ансамбль элементарных фильтров показан на рис. 15. Каждый элементарный фильтр, входящий в ансамбль, характери­ зуется своим постоянным коэффициентом усиления Кр не зависящим от частоты проходящего через фильтр сигнала. Каждый из элементар­ ных фильтров имеет в своем составе «идеальную» линию задержки, которая задерживает пропускаемый через фильтр сигнал на один, два три или п шагов (причем каждый шаг задержки равен интервалу вре­ менного квантования). Поскольку выходы всех фильтров суммиру­ ются, z-преобразование весовой функции оператора, описывающего действие всего ансамбля фильтров, будет равно

k(z) = k0 + k1 + k2 + .

+ kn_x.

(1.46)

Следовательно, ансамбль элементарных фильтров заменяет собой

фильтр, весовая функция которого имеет вид k0,

fcj, /с2> • • •» ^n-i-

О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я Т Е О Р И И С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В

Статистические характеристики

случайных

процессов

Во многих алгоритмах обработки, в частности в алгоритмах одно- и многоканальной фильтрации, сейсмические записи рассматри­ ваются как случайные процессы: перед проведением сейсморазведоч­ ных работ заранее никогда не известно, какая именно величина сей­ смического сигнала будет зарегистрирована в данной точке профиля на данном времени. Поэтому для удобства читателя представляется целесообразным условиться об обозначениях и дать краткую сводку

40


формул теории случайных функций, используемых в дальнейшем. Вывод этих формул, а также содержание основных понятий теории вероятности читатель может возобновить в памяти, обратившись, например, к [9].

Обозначим случайные величины большими буквами X, Y, Z, возможные значения этих величин — соответствующими малыми бук­ вами х, у, z. Очевидно, что отсчеты цифровых сейсмических записей, , полученных в результате квантования входных сигналов по времени и по уровню, являются прерывными, или дискретными случайными величинами в том смысле, что они могут принимать не любые, а только определенные значения в пределах используемой разрядной сетки, например (в двоичном коде) 00... 001, 00. . . 010, 00. . . 011 и т. д. Однако в данном случае мы отвлечемся от этого факта и будем считать, что отсчеты сейсмограмм, а также некоторые другие величины, которые мы будем в дальнейшем рассматривать как случайные, являются непрерывными, т. е. могут принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Такой подход является общепринятым.

Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Интегральный закон распределения или функция распределения F (х), есть вероятность того, что рассматриваемая непрерывная случайная величина имеет значение, меньшее х. Плот­ ностью распределения вероятности (или просто плотностью распре­

деления)

/ (х) называется

производная dF

(x)/dx

соответствующей

функции

распределения

F (х). Условимся,

что

записи вида / (х),

f (у), / (z) обозначают не одну и ту же функциональную

зависимость,

в которой произведена замена аргументов, а плотности

распределения

величин X, Y, Z, которые могут быть совершенно

различными у

этих величин.

 

 

 

 

Для многих случайных величин распределение подчиняется нор­ мальному закону (так называемое Гауссово распределение). В этом случае кривая плотности вероятностей имеет характерную колоколь­ ную форму (рис. 16, а) и описывается формулой

 

 

 

(1.47)

где

D — дисперсия случайной

величины.

 

 

а

б

Р и с .

16.

Закон ы распре ­

от

делени я

случайны х вели ­

 

 

 

чин .

 

а — н о р м а л ь н ы й з а к о н р а с п р е ­

 

д е л е н и я ; б — р а в н о м е р н а я п л о т ­

 

 

ность

р а с п р е д е л е н и я .

I I I I I I I I I I I I I I I

 

 

 

41


Если случайная величина принимает значения от я до х + Ах (Ах -»- 0) с одинаковой вероятностью для некоторого диапазона зна­

чений xi <lx

< ж 2 , то говорят,

что величина X

имеет равномерное

распределение

в интервале от ху

до х2 (рис. 16,

б).

Совокупность двух случайных величин X и

Y характеризуется

их двумерной функцией распределения F (х, у), представляющей со­

бой вероятность совместного выполнения двух

неравенств X <Сх

и Y <Су. Двумерная плотность распределения вероятности / (х, у) величин X и Y определяется как вторая смешанная частная произ­ водная от F (х, у) по х и у:

d^F

(х, у)

дх

ду

Случайная величина Y называется независимой от случайной вели­

чины X, если закон распределения величины Y не зависит от того,

какое значение приняла величина X.

Двумерная плотность распреде­

ления независимых случайных величин равна произведению плотно­ стей распределения каждой из этих величин: / (х, у) — f (х) f (у). Эти определения легко распространяются на совокупность несколь­ ких случайных величин.

Случайной функцией или случайным процессом X (t) будем назы­ вать такую функцию, значение которой при любом t является слу­ чайной величиной. Аргумент t, который будем условно называть «временем» и считать величиной неслучайной, может принимать либо любые значения в заданном интервале, либо только определенные дискретные значения. Рассмотрим вначале первый случай, считая одновременно, что случайная функция X (t) является непрерывной функцией своего аргумента, т. е. за малые промежутки времени орди­ ната процесса может получить заметное приращение только с малой вероятностью.

Конкретная функциональная зависимость х (t), получаемая в ре­ зультате независимого наблюдения функции X (t), называется реали­ зацией этой функции. Если возможно повторение наблюдений, то может быть получено множество реализаций функции X (t). Это мно­ жество иногда называют ансамблем реализаций.

Совокупность значений Х 4 = X (fj), Х 2

= X (t2). . . случайного

процесса X (t) в моменты времени t = tt, t2,.

. . можно рассматривать

как систему отдельных случайных величин и характеризовать ее соответствующим многомерным законом распределения. Так как это весьма громоздко, в большинстве практических случаев используют

не сами многомерные законы, а

моменты

первого

и второго

по­

рядков.

 

 

 

 

 

Моменты первого порядка — это математические

ожидания

слу­

чайных величин М(Х1),

М(Х2),.

., или математическое ожидание

М [X

(t)] случайной функции X (t) в момент времени t. По определе-

 

оо

 

 

 

 

 

н и ю М

[X ( * ) ] = - ооj х (t)

pt (х) dx,

где pt (х)

плотность распределе-

42


ния величины X в момент времени it. Оценкой 1 математического ожи­ дания является среднее значение случайной функции на данном

времени t. Пусть имеется т реализаций

случайной

функции, т. е.

т сейсмических трасс х и xz,

х3,

. . ., хп,

причем каждая содержит п

отсчетов. В матричной форме им соответствует запись вида

Х

x\2i

Х13

• • • хи

• • • Х1п

 

sy

/V»

/у*

/у*

 

Л 215

ЛШ

л23

• % • Л 21

• • •

 

ХтЪ

xm2i

Хп

. . . хт1

. . . хтп.

(1.48)

Для

момента времени

t =

 

iAt

среднее

значение

функции х

опре­

деляется

путем

осреднения

элементов

i-ro столбца

матрицы

(1.48):

 

 

 

 

Xi

 

-

 

%

 

 

 

( 1

 

4 9 )

 

 

 

 

^

 

=

^т

2

 

-

 

 

 

-

 

При

 

п ~+ оо

х -> М

[X (t)]

[9]. Для

последовательностей

xt

 

=

— x 0 , X

i

, . . . , представляющих

сейсмические записи, величина^

равна нулю. Из моментов второго порядка обычно используются цен­

тральные

моменты — дисперсия D [X

(t)] — М {[X

(t) — х

(t)]2}

процесса в момент времени t и корреляционная функция Bx{tj,

tt) =

= М {[X

(tj) — х (tj)] [X (tt) — x (У]},

или корреляционный

мо­

мент двух случайных величин Х;- = X

и Xt = X

(ti).

 

Оценкой dt дисперсии D случайной функции является величина,

определяемая но формуле

 

 

 

 

т

 

 

 

 

d i = 4 - 2 ( a ; " ~ ^ ) ' -

 

( 1 - 5 0 )

В том случае, если среднее значение функции равно нулю, фор­

мула для определения дисперсии приобретает упрощенный вид

 

т

 

 

 

 

^ = 4 2 ^ -

 

 

( 1 - 5 1 )

На понятии о корреляционной функции следует остановиться

подробнее.

 

 

 

 

Корреляционная

функция

 

 

Понятие о корреляционной функции, или функции

автокорреля­

ции, играет важнейшую роль в теории случайных процессов. Чтобы уяснить ее смысл, рассмотрим две последовательности

 

Х Л = 3, - 1 , 4, - 2 , 2, - 5 , - 3 , 1, 5, - 4 ,

 

 

ХВ

= 5, 4, 3, 2, 1, - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , - 5 ,

 

1

В ы р а ж е н и е

«оценка

величины

у п о т р е б л я е т с я

в том смысле, что

в е л и ­

ч и н у

U мы н е з н а е м

и п о

тем и л и

и н ы м п р и ч и н а м н е

м о ж е м и з м е р и т ь

точно .

Мы п о л у ч а е м в р е з у л ь т а т е

и з м е р е н и й л и ш ь п р и б л и ж е н н о е з н а ч е н и е величины U,

которое н а з ы в а е т с я

о ц е н к о й величины

U.

 

 

43


полученные в результате проведения двух опытов, и попытаемся определить их общ­ ность и различия.

 

 

 

 

Среднее значение обеих

последовательно­

 

 

 

 

стей равно нулю.

Дисперсия

обеих

после­

 

 

 

 

довательностей также одинакова и равна 11.

 

 

 

 

Закон

распределения

для обеих

последова­

 

 

 

 

тельностей равномерный. Казалось бы, что

 

 

 

 

совпадение таких

 

трех важнейших

статисти­

 

 

 

 

ческих показателей свидетельствует об общ­

 

 

 

 

ности

результатов

обоих

опытов.

Однако

 

 

 

 

графики

обеих последовательностей,

 

пока­

 

 

 

 

занные

на

рис. 17 в виде функций непрерыв­

 

 

 

 

ного аргумента,

убедительно

говорят об их

 

 

 

 

различном характере. Функция Ха быстро

 

 

 

 

меняется с аргументом

t: второй отсчет функ­

 

 

 

 

ции, равый 1 , резко

отличается от первого

Р и с .

17.

Г р а ф и к и

ф у н к ­

(+3),

третий

(+4)

— от

второго

 

(1),

четвертый

— от

третьего и

т. д. Между со­

ц и й

ХА

(t)

 

седними отсчетами этой функции явное

сход­

 

 

 

 

 

 

 

 

ство отсутствует. Иной характер имеет

функция Хв.

Она

медленно

меняется

с аргументом

Р.

второй

отсчет

(+4) мало отличается

от первого (+5), третий (+3)

— от

второго (+4) и т. д. Иначе говоря, между соседними отсчетами

этой

функции существует значительное сходство. Более того, такое сходство существует и между отсчетами, взятыми через один.

Посмотрим, как отражаются эти особенности на поведении функ­ ции корреляции. Оценкой Ь/ 7 корреляционной функции в общем слу­

чае

является величина

 

 

 

 

 

 

 

(1.52)

При

Xj =

Xi =

й-1

 

 

0

 

 

 

 

 

bil z =

l ^ ' ^ X k i X k l -

(1.52е)

 

 

 

 

k=i

 

Пусть

для

матрицы (1.48)

соблюдается условие

Xj = xt = 0.

Для того чтобы вычислить значение функции корреляции, например,

для / = 2 и I = 4, надо для каждой данной к-й

строки матрицы обра­

зовать произведение xkzxki

и затем осреднить

эти произведения для

всех строк, т. е. по всем к.

Если значения xk2

и xki для всех к явля­

ются сходными, во всяком случае имеют одинаковый знак, то их произведения будут положительными величинами. Среднее значение будет также положительно и отлично от нуля. Если же хк2 и xki не связаны между собой, то часть произведений xk2xki будет положи­ тельными величинами, а другая часть — отрицательными. Среднее значение произведений, очевидно, будет близко к нулю.

44