ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 1
£
О |
ь |
|
|
|
Р и с . 12. И м п у л ь с н а я р е а к ц и я ф и л ь т р а . |
трация реализуется путем свертки входных (т. е. подлежащих филь трации) данных с соответствующим образом рассчитанной весовой функцией. Таким образом, формула свертки (1.34) является матема тической моделью цифрового фильтра. Весовая функция свертки при выполнении цифровой фильтрации имеет вполне определенный физи ческий смысл импульсной реакции фильтра. В самом деле, если на вход некоторого физического фильтра в момент времени Т0 подать единичный импульс (рис. 12), то на выходе фильтра возникнет элек трическое напряжение, затухающее по экспоненциальному закону, обусловленному передаточной характеристикой фильтра (график этого напряжения показан на рис. 12 пунктиром). Переходя к дис кретным отсчетам этого напряжения, получим временную последова тельность, состоящую из элементов у0, уt , у2. . . Эта последователь ность и будет представлять собой дискретное выражение импульсной реакции фильтра.
Выше было показано, что при выполнении дискретной свертки, задавая в качестве входной функции единичную последовательность 6^, мы получаем выходную функцию у(, равную весовой функции свертки. Таким образом, весовая функция свертки, реализующей цифровую фильтрацию, является дискретной моделью импульсной реакции соответствующего аналогового фильтра. Существенно, что аналоговый фильтр, а следовательно, и его дискретная модель обла
дают последействием |
— даже после прекращения действия |
входного |
|
импульса, в моменты |
времени Т и Т2. |
. . на выходе фильтра будет |
|
сохраняться остаточное напряжение, |
изменяющееся во |
времени |
|
по определенному закону.
Рассмотрим прохождение через фильтр, обладающий импульсной реакцией kt, не одиночного импульса, а некоторой входной последо вательности xt (рис. 13). В каждый момент времени на выходе филь тра будут возникать величины yt, определяемые: 1) величиной вход ной функции, подаваемой на вход фильтра в данный момент времени;
2) ранее поданными на вход фильтра значениями функции xt, по скольку фильтр обладает последействием и растягивает каждый вход ной импульс в волновой пакет, продолжающий выделяться на выходе фильтра и после прекращения действия данного входного импульса;
3)коэффициентами весовой функции фильтрации.
Вначальный момент времени Т0 на вход фильтра подается им пульс х0; мгновенной реакцией фильтра будет возникновение на е ю
выходе величины к0х0. В следующий .момент времени Т 4 на вход ЗР
Р и с . |
13. Ф у н к ц и я |
на выходе фильтра |
к а к с у м м а р е а к ц и й |
на |
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь |
||
|
е д и н и ч н ы х |
и м п у л ь с о в — |
отсчетов |
в х о д н о й |
ф у н к ц и и . |
||
а — |
в х о д н а я ф у н к ц и я |
ж ( 0 , |
б — отклики фильтра на |
к а ж д ы й отсчет |
в х о д н о й ф у н к ц и и ; в — |
||
|
|
|
в ы х о д н а я |
ф у н к ц и я |
y(t). |
|
|
фильтра поступит новый импульс Хи в результате реакции фильтра на выходе возникнет величина к^с^ однако поскольку реакция филь
тра |
на ранее поданный импульс еще продолжается, то к величине |
|||||||
k0xt |
на выходе будет |
добавляться величина kiX0, |
представляющая |
|||||
собой |
продолжение реакции фильтра |
на ранее |
поданный |
импульс |
||||
х0. |
В |
следующий момент |
времени Т2, |
помимо |
мгновенной |
реакции |
||
на |
поданный импульс |
х2, |
на выходе |
фильтра |
будет продолжаться |
|||
реакция на ранее поданные импульсы хг и а 0 и т. д.
Как видно из изложенного, существует прямая связь между мате матической операцией свертки и физическим явлением возникнове ния импульсной реакции фильтра. Эта связь подчеркивает логически единую основу фильтраций, совершаемых как с помощью физических фильтров на аналоговых обрабатывающих машинах, так и с помощью цифровых фильтров на ЭВМ. Как известно, в области частот физиче ские фильтры характеризуются своей передаточной функцией — комплексной частотной характеристикой. Каждое значение передаточ ной функции для заданной частоты представляет собой, как правило, комплексную величину вида С (со) е- 1 ? ( ш > .
Дла цифровых фильтров передаточной функцией является дис кретный комплексный спектр весовой функции фильтра. Каждая составляющая комплексного спектра представляет собой комплекс ную величину вида Си е~г < Р и > . Подобно тому, как в физических филь трах выходная функция является результатом взаимодействия гар моник входной функции с гармониками передаточной функции филь тра, так и в цифровых фильтрах выходная последовательность является результатом взаимодействия комплексных спектров вход ной последовательности с оператором фильтрации. Чтобы найти амплитудный спектр выходной функции необходимо перемножить ординаты амплитудных спектров входного сигнала и весовой функ ции, относящиеся к равным частотам. Полученное произведение будет представлять собой ординату амплитудного спектра выходной (от фильтрованной) функции. Ординаты фазовых спектров входного сиг нала и весовой функции следует сложить. Полученная сумма будет
37
ординатой фазового спектра выходной функции. Например, если амплитудный спектр входной функции описывается частотной после
довательностью А0, А±, |
А2, . . - 4 - 1 , а амплитудный |
спектр |
весовой |
функции — частотной |
последовательностью В0, Bt, |
В2, . |
. ., B^iy |
то амплитудный спектр выходной функции, получаемой в результате
свертки |
входного |
сигнала |
At |
с весовой функцией Bt, |
будет |
описы |
||
ваться |
последовательностью |
С0 — А0В0; |
Сj = A tB4; |
С2 |
— |
А2В2 |
||
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
фазовый |
спектр |
входной функции |
описывается |
частотной |
|||
последовательностью <р0, ф ь ср2 . . . ., Фп _1, а фазовый спектр весовой функции — частотной последовательностью i])0 , ^ и ty2, . . ., ф„_1, то фазовый спектр выходной функции будет описываться последо вательностью ф0 + г|)0, ф! + 1» Фг + 'Фг, • • Фл-1 + 4>n-i-
Таким образом, физические и цифровые фильтры имеют следу ющие общие особенности.
\. Физические и цифровые фильтры характеризуются своей им пульсной реакцией, которая для цифрового фильтра представляет собой временную последовательность, выражаемую весовой функ цией фильтра.
?. Физические и цифровые фильтры характеризуются своей пере даточной функцией, которая для цифрового фильтра описывается дискретной частотной последовательностью, составленной в общем случае из комплексных элементов и равной дискретному комплекс ному спектру весовой функции фильтра.
3. Спектр выходной функции, получаемой в результате фильтра ции (как аналоговой, так и дискретной), может содержать только те частоты, которые присутствуют и в спектре входной функции, и
вспектре оператора.
4.При фильтрации аналоговых и цифровых сигналов происходит увеличение длительности выходных сигналов (по сравнению с вход
ными). Исключением является идеальный обратный фильтр.
5. Для установления нормального режима фильтрации требуется некоторое время вхождения в заданный режим; у физических филь тров это время определяется зарядкой емкостных элементов схемы, у цифровых — совмещением всех элементов оператора с элементами фильтруемой последовательности.
Вместе с тем у физических и цифровых фильтров имеются и весьма существенные различия.
1. В отличие от физических цифровые фильтры всегда имеют дискретную весовую функцию и ограниченный величиной Q = +
частотный диапазон.
2. В зависимости от нашего пожелания цифровые фильтры могут иметь «собственный процесс», характеризующийся не только послед ствием, но и опережением во времени по отношению к моменту подачи сигнала на вход фильтра. У физических фильтров такого опережения быть не может. Иначе говоря, если на вход физического фильтра в момент времени t — О подается единичный импульс, то на выходе
38
фильтра собственный процесс по явится на времени t ^ О, не ра нее. У цифрового же фильтра при подаче на его вход единичного импульса (1.37) в момент t = О можно получить ненулевые от счеты выходной функции — соб ственного процесса — в моменты времени t •< 0. Такие отсчеты появляются в том случае, если весовая функция цифрового филь тра имеет ненулевые отсчеты на времени t < ; 0. Если у физических фильтров реализовать такую им пульсную реакцию принципи ально невозможно, то для цифро вых фильтров 1 это не представ ляет ни малейшего затруднения. В самом деле, начало отсчета, т. е. точка t = 0, может быть располо жено произвольно в любом месте
тТЬ О _LUJ
|
тПт |
О |
|
Р и с . 14. |
П р о и з в о л ь н о е |
р а с п о л о ж е |
|
н и е в е с о в о й |
ф у н к ц и и |
ц и ф р о в о г о |
|
ф и л ь т р а |
о т н о с и т е л ь н о н а ч а л а от |
||
|
|
счета . |
|
весовой функции цифрового фильтра: у первой ординаты весовой функции, у последней, даже до первой и после последней (рис. 14). Эта особенность цифровых фильтров является их важным преимуще ством по сравнению с физическими фильтрами, работающими в ре жиме реального времени.
Для удобства описания процессов цифровой фильтрации каждый фильтр, обладающий определенными амплитудным и фазовым спек трами, может рассматриваться как совокупность некоторых элемен
тарных |
фильтров. |
|
|
Если |
оператор |
фильтрации |
описывается последовательностью |
kt = к, |
0, 0, . . ., |
то к (z) = к. |
Тогда последовательность, описыва |
ющая выходную функцию, будет состоять из элементов, представля ющих собой произведение соответствующих элементов входной после довательности х на константу к: yt — kxt.
Фильтр, описываемый таким оператором, может быть уподоблен усилителю с постоянным коэффициентом усиления к, не зависящим от частоты входного сигнала и не создающим фазовых сдвигов гармони
ческих составляющих усиливаемого сигнала |
(т. е. «идеальному» |
уси |
|
лителю). |
|
|
|
Если |
оператор фильтрации описывается последовательностью |
||
kt = 0, к, |
0, 0, . . ., то его z-преобразование |
будет равно к (z) = |
kz'1. |
Такой фильтр также может быть уподоблен «идеальному» усилителю,
но с добавлением звена |
временной задержки, задерживающего все |
1 И с к л ю ч е н и е м я в л я ю т с я |
ц и ф р о в ы е фильтры, р а б о т а ю щ и е в р е ж и м е реаль |
н о г о в р е м е н и , н а п р и м е р о с у щ е с т в л я ю щ и е ц и ф р о в у ю ф и л ь т р а ц и ю в п р о ц е с с е р е г и с т р а ц и и .
39
