ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 1
Для т = |
О |
|
|
|
|
|
|
У1 Vi |
Уз |
|
|
|
|
Для т = |
1 |
|
|
|
|
|
|
ОС |
|
^"2 |
*^"3 |
|
|
|
|
|
Ух |
Уг |
Уз |
|
|
Bi — х2у1 |
-\- х3у2. |
||||
Для т = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
х3 |
|
|
|
|
|
Ух |
У2 |
Уз |
|
|
В2 |
= |
хгух. |
|
|
|
Одинаковое направление |
возрастания |
индексов отсчетов xt и yt |
||||
при вычислении функции взаимной корреляции приводит к тому, что эта функция, в отличие от операции свертки, не коммутативна:
(О |
_ |
(О |
|
Вместо свойства коммутативности выполняется |
соотношение |
||
rXY{x)=rYX{-x), |
|
(1.60) |
|
где
ryx (T ) = V |
2 y i i •1-х- |
Функция взаимной корреляции, |
в отличие от функции автокорре |
ляции, в общем случае не симметрична относительно ординаты т = 0, и ее максимум в общем случае может быть расположен произволь ным образом относительно этой ординаты.
По аналогии с автокорреляционной функцией часто рассматри
вается безразмерная нормированная функция взаимной |
корреляции |
Г Х У ( х ) = ^ И Ё = . |
(1.61) |
уъх(0)ьу(о)
Эта функция является удобной мерой сходства между процессами Xt и Yt; чем больше это сходство, тем ближе максимальное значение
50
TXY |
(т ) к |
единице. Если |
сходство |
абсолютное, т. е. Xt |
= Yt, то |
||||||
rXY |
(г ) = |
bx (т); если |
же процессы |
Xt |
и |
Yt |
независимы, |
т. е. орди |
|||
наты Xt |
никак не связаны с ординатами |
Yt, |
то гХу |
(т ) = |
0. |
||||||
|
Поскольку сходство между |
функциями |
Xt ф Yt |
всегда меньше, |
|||||||
чем сходство между функциями |
Xt |
= |
Yt, справедливы соотношения |
||||||||
|
|
|
гхг (т) *2 Vbx(0)bY(0), |
|
|
(1.62) |
|||||
|
|
rxY(r)^~[bx(0)-rbY(0)]. |
|
|
|
|
(1.63> |
||||
|
|
Воздействие |
линейных |
операторов |
|
|
|||||
|
|
на |
случайные функции |
|
|
|
|||||
Рассмотрим, как изменяются статистические характеристики случайных функций в результате воздействия на них линейных опе раторов. Пусть
Yt=L[Xt).
Тогда |
|
|
|
||
|
|
|
|
Yt~LX~ |
(1.64)' |
|
|
|
bY(x) |
= L{L[bx(x)]}. |
(1.65) |
|
Так, например, если L означает оператор дифференцирования - ~ |
||||
и |
У (t) = ~ [X |
(t)] есть производная от стационарного |
процесса |
||
X |
(*), то |
|
|
|
|
|
|
|
6r(T) = - ^ - f e ( T ) ] . |
(1.66) |
|
|
Функция взаимной корреляции процессов У (t) и X (?) в этом слу |
||||
чае |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
г*у(т) = - ^ Ы т ) . |
(1-67) |
|
|
В |
результате |
воздействия |
линейною оператора на нормальную |
|
случайную функцию (т. е. такую функцию, ординаты которой харак теризуются нормальным законом распределения) получается также
нормальная |
функция. Если Xt не |
нормальна, то в общем случае |
Yt = L [Xt] |
не будет иметь тот же |
закон распределения, что и Xt. |
Спектральные статистические характеристики случайных процессов
Согласно теореме Хинчина [9], всякая корреляционная функция стационарного процесса связана парой преобразований Фурье с не которой функцией В (со) — спектральной плотностью функции Ъ (т), называемой также спектром мощности случайного процесса, или его статистическим спектром. В силу четности корреляционных функ ций вещественных процессов их функция В (со) также является
4* |
51 |
четной, и связь между Ь (т) и В (со) выражается косинус-преобразо ваниями Фурье:
B ( C D ) = JL jоо 6(T )cos mdx, |
|
(1.68) |
о |
|
|
оо |
|
|
Ъ {%)=--• 2 \ £(CO)COSCOTCUO. |
(1.69) |
|
о |
|
|
Следует отметить, что часто употребляются |
и иные коэффициенты |
|
|
|
9 |
перед правой частью (1.68) и (1.G9), например |
1 и |
— и вместо 1/яи |
2 соответственно. На это следует обращать внимание при использова нии разных литературных источников.
Каждой реализации х (t) случайного процесса X (t), существу ющей в интервале времени от 0 до Т, может быть поставлен в соответ
ствие ее |
комплексный |
спектр |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
X((o)=z-±-^x(t)e-tatdt, |
(1.70) |
|
|
|
|
о |
|
|
который |
также является случайной функцией. |
|
|||
X |
Математическое ожидание М {[ X |
(со) | 2 } квадрата модуля функции |
|||
(со), оценку которого можно получить путем осреднения величины |
|||||
\Х |
(со)2 j по множеству |
реализаций, |
связано с В (со) |
соотношением |
|
|
|
|
J3(©) = - i - M |
{|Х(со)|2 }. |
(1.71) |
Функция В (со), как и М {\ X (со) | 2 } , неслучайна. Таким образом, спектральная плотность корреляционной функции В (со) случайного процесса характеризует амплитудный спектр процесса, но не несет никакой информации о фазовом его спектре. Это является важным свойством спектральных статистических характеристик. Аналогичным свойством обладает и функция автокорреляции.
Это свойство, в частности, выражается в том, что одной и той же функции автокорреляции соответствует множество исходных функ ций, различающихся фазовым спектром. Заданной автокорреляцион ной функции Ъ (т) одиночного сейсмического импульса можно поста вить в соответствие как минимально-фазовый, так и максимальнофазовый импульсы, а также импульсы промежуточного вида. Авто корреляционные функции сейсмических трасс, представленных мно жеством импульсов, не меняются от трассы к трассе, если эти трассы различаются только временами вступления и (или) фазовым спектром импульсов, а амплитудный спектр импульсов остается неизменным.
Невозможность сохранения фазовых спектров случайных процес сов при переходе от самих процессов к их статистическим характери стикам — спектрам мощности или автокорреляционным функ циям — заложена в самой сущности этих статистических характе-
52
ристик. Если бы фазовые соотношения, характерные для каждой конкретной реализации, сохранялись, то получаемая характери стика однозначно описывала бы именно данную реализацию случай ного процесса и, следовательно, сама была бы случайна, т. е. не являлась бы статистической характеристикой, которая должна ото бражать не отдельные конкретные реализации, а те общие особен ности, которые свойственны всем возможным реализациям рассматри ваемого случайного процесса.
Несколько иначе обстоит дело, когда рассматриваются взаимные связи двух случайных процессов. Если такие процессы подобны друг другу, но между ними существуют неслучайные фазовые соотноше ния, то эти соотношения отображаются в поведении как функции взаимной корреляции, так и взаимного статистического спектра. Проиллюстрируем это простым примером.
Пусть имеются два случайных процесса — V (t) и |
W |
(t), |
причем |
W (£) равен, с точностью до малой величины, процессу |
V |
(t), |
сдвину |
тому во времени на некоторую величину а: |
|
|
|
W(t)***V(t — а). |
|
|
|
Процессами V (t) и W (t) могут быть, например, волновые поля одного и того же источника, регистрируемые в соседних точках про филя, т. е. две сейсмические трассы. Нетрудно показать, что функция взаимной корреляции r v w (т) таких процессов приближенно равна функции автокорелляции bv (т) ^ bw (т) каждого из этих процессов, смещенной во времени т на величину а:
rvw (т) |
bv |
(т — а) ^ |
bw |
(т — а). |
При а = О |
|
|
|
|
rvw |
(т) |
bv (т) |
bw |
(т). |
Таким образом, хотя ни авто-, ни взаимнокорреляционные функ ции случайных процессов не отображают фазовые характеристики каждого из процессов в отдельности, неслучайные фазовые соотно шения между двумя случайными процессами находят свое выражение в поведении функции взаимной корреляции этих процессов.
