Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

ниченных во времени сейсмических записей требуется выбирать

если известно, что исходная непрерывная функция х (t) не содержала (с обусловленной степенью точности) частот более высоких, чем сог р = = Q = к/'At. Выше было показано, что побочные периоды периоди­ ческого спектра Ха обусловлены высокочастотным заполнением, кото­ рое в принципе может быть у дискретной функции. Но если нам зара­ нее известно, что этого высокочастотного заполнения у исходной функ­ ции х (t) нет, следовательно, все побочные периоды функции Х№ при обратном преобразовании Фурье следует отбросить и выполнять сум­ мирование только в пределах от —л/At до +я/Д £ , что и показано

вформулах (1.16) и (1.16').

5.Для пары дискретных преобразований Фурье (1.15) и (1.16), так же как и для непрерывных (1.13) и (1.14), характерна так назы­ ваемая симметрия: обратное преобразование по форме очень похоже на прямое; разный знак у мнимой части в (1.15) и (1.16) в данном слу­ чае существенного значения не имеет. Поэтому все правила, обяза­ тельные при прямом преобразовании, обязательны и при обратном.

ных на интервале 0 ^ t s£ Т, спектр может быть вполне достоверно

6. Исходным материалом при обработке данных MOB практически всегда являются временные последовательности xt — трассы сейсмо­ грамм. Для получения спектров Ха требуется выполнить спектраль­ ный анализ трасс. Эта операция осуществляется с помощью прямого преобразования Фурье, выполняемого по формуле (1.16).

При выполнении прямого преобразования Фурье необходимо иметь в виду следующее.

Спектр сейсмического сигнала не может быть определен только для какого-либо значения времени; для определения спектра необ­ ходимо выбрать интервал записи требуемой длительности. На выборе длительности интервала, подвергаемого спектральному анализу, следует остановиться более подробно, так как от него зависит

27

тонкость структуры получаемого спектра, а следовательно, и точность последнего.

От длительности исследуемого интервала сейсмозаписи Т зависят величина минимальной частоты получаемого спектра и квантование частот в получаемом дискретном спектре. Исследуемый интервал сейсмозаписи Т должен быть таким, чтобы на нем полностью уложился

частот (в герцах) 1, 2, 3, 4. . . с квантованием частот в 1 Гц, то под­ вергаемый спектральному анализу отрезок сейсмической записи дол­

Рассматриваемая операция преобразования Фурье позволяет лостроить комплексный спектр Ха, однозначно соответствующий дан­ ной конкретной последовательности xt. Часто приходится сталки­ ваться с другой постановкой задачи. Сейсмические записи могут рассматриваться как реализации случайных процессов (см. ниже). Для обработки таких процессов требуется знание их статистических характеристик. Одной из важнейших статистических характеристик сейсмических трасс как случайных процессов является их амплитуд-

стической характеристики сейсмических трасс отличается от задачи вычисления С м как амплитудного спектра данной конкретной трассы. Всякая статистическая характеристика строится путем осреднения множества данных об индивидуальных реализациях. В данном случае спектр С ш строится путем осреднения спектров СА, вычисленных ло множеству различных трасс. При этом некоторые параметры пре­ образования Фурье, в частности c o m i n , выбираются по другим пра­ вилам (см. гл. 5).

Выполнение обратного преобразования Фурье базируется на формуле (1.16). Раскроем эту формулу с учетом, что элементы частот­ ной последовательности X® описываются комплексными выраже-

28

В формуле (1.29) в отличие от (1.16) используются только действи­ тельные величины; следовательно, подсчитываемые по (1.29) элементы временной последовательности всегда будут действительными.

Матрица оператора, реализующего обратное преобразование Фурье, строится по аналогии с матрицей прямого преобразования с учетом формулы (1.29).

оператора L к функции х (t) или воздействия оператора L на функ­ цию х (t). Все операторы делятся на линейные и нелинейные.

Линейным оператором называется оператор, который удовлетво­

Операторы, не удовлетворяющие этим условиям, называются нелинейными.

Линейными являются операции дифференцирования, интегриро­

Это выражение, называемое интегралом Дюамеля или интегралом свертки, описывает такие преобразования, как фильтрация, сглажи­ вание, интерполирование непрерывных функций. Дискретным анало­ гом интеграла Дюамеля является выражение

9=0

29

Примером нелинейных операций является возведение в квадрат или в другие степени, логарифмирование и т. п. (в сейсморазведке — автоматическая регулировка амплитуд записи).

Остановимся на операции свертки, которая является важнейшим, наиболее часто применяемым преобразованием в цифровой обработке данных сейсморазведки.

Функция kt в выражении (1.34) называется весовой функцией свертки х . Поскольку операция свертки выполняется в одной и той же области (т. е. левая и правая части выражения (1.34) имеют один и тот же аргумент, и перехода из области времен в область частот не происходит), весовая функция к$ представляет собой просто после­ довательность чисел к0, кх, к2, . . ., кт.

В матричном представлении весовая функция свертки имеет вид

Для уяснения сущности операции свертки рассмотрим пример

вленной последовательностью kt — к0, &ь к2. Здесь каждая из трех последовательностей имеет всего три ординаты.

Запишем элементы входной последовательности xt в первой строке, располагая их по возрастанию индексов слева направо, а весовую функцию — во второй строке, располагая элементы в порядке возра­

Будем перемещать вторую строку слева направо, осуществляя такое перемещение дискретными шагами (каждый шаг равен интер­ валу временного квантования). После каждого перемещения произве­ дем следующие математические действия: 1) перемножим элементы входной последовательности на совпадающие с ними по вертикали элементы весовой функции kt; 2) сложим парные произведения эле­ ментов, получив, таким образом, элемент выходной последователь­ ности yt.

30