ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 1
Y(0) |
|
|
|
У(2) |
Р и с . 81. |
Д и а г р а м м а |
|
расчетов |
по |
а л г о |
|
У(0 |
ритму |
Б П Ф |
дл я |
N |
= 4. |
|
|
|
У(з) |
Пользуясь периодичностью функции W1"1 |
—• e ' 2 n i k n / N |
в нашем примере N = 4, заменим в (6.23) |
и (6.24) W2 |
W3 на —И7 1 . Получаем соответственно
= M 0 ) +•W°y0(2), M l ) = Уо(1)-1- W°y0(3), J/l(2):= »о(0)~•W°y0{2), J/l(3):= » о ( 1 ) - W°y0(S)
и помня, что на — И7 0 и
(6.25)
|
г/0(0) |
.'/,(") • •Woyi(l), |
|
|
|
||
|
l/o (2) = |
Уг(0) - W°yi (1), |
|
|
(6.26) |
||
|
I/od) |
|
• ^ i ( 3 ) , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
г/о (3) = |
2/i(2)-• W V i (3)- |
|
|
|
||
Системы (6.25) и (6.26) и |
представляют |
собой |
вычислительный |
||||
алгоритм БПФ для N = 4. Диаграмма его приведена на |
рис. 81. |
||||||
Вычисления |
производят |
в два |
этапа, |
которым соответствуют |
|||
системы (6.25) и (6.26). На первом |
этапе |
промежуточное |
значение |
||||
yi (к) определяется как сумма двух |
значений |
у0 |
(к), причем одно |
||||
из них взято с |
коэффициентом Wk, на втором |
этапе схема |
вычисле |
||||
ний та же, но вместо исходных формируют промежуточные значения г/i (к). Нормальный порядок выходных значений легко восстанавли вается с помощью замены порядка бит в нумерации Y (п) на об ратный.
Так же выглядит схема расчетов и при больших N, но только там этапов больше. Для вывода закономерностей расчетов при произ вольном Л7 необходимо определить следующие правила: а) из ка ких двух величин образуется последующее значение на каждом
этапе; |
б) в какой степени находится |
коэффициент |
W; в) как восста |
|
новить |
порядок выходных значений. |
|
|
|
Для ответа на эти вопросы введем |
некоторые |
дополнительные |
||
обозначения. Исходную функцию у{, |
состоящую |
из N отсчетов, |
||
где N = 2v, обозначим, как и выше |
у0 |
(к), где А; изменяется от О |
||
190
до Л7 — 1. Чтобы выразить к в виде бинарного номера, необходимо иметь у разрядов. Расчет по БПФ будет идти в у этапов
|
|
у 0 ( 0 0 . |
. |
000) |
|
|
3 |
• |
y |
v |
Уо(0) |
= |
|
|
|
г/i |
г/2 |
г/ • |
|
||
Уо(1) |
= Уо (00. |
. |
001) |
гл |
г/г |
Уз • |
• |
yv |
||
Уо (2) |
= (00. |
. |
010) |
г/i |
г/2 |
Уз • |
• |
yv |
||
Уо(3) |
= I/O (00. |
. |
011) |
г/i |
г/2 |
Уз • |
• |
yv |
||
У о ( ^ - 1 ) |
= г/о (И • |
. |
111) |
г/i |
г/г |
Уз • |
• |
yr |
||
|
Еозвращаясь к диаграмме на рис. 81, назовем узлами точки, |
||
где |
сходятся две линии. Каждому |
узлу соответствует |
величина |
Yp |
(п), где п — номер узла вдоль |
колонки, р — номер |
колонки, |
начиная с левой, которая является нулевой. Номера узлов к ко
лонке р — 1, из которых образуется узел п |
в колонке р, |
определя |
||||||
ются |
следуй.гцим |
образом. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Для слагаемого без коэффициента W. |
Номер узла |
в |
колонке |
||||
р—1 |
такой же, как для узла в колонке р, но при этом {у—р)-й |
би |
||||||
нарный разряд номера узла в колонке |
р—1 |
должен быть приравнен |
||||||
нулю. |
|
|
|
х колонки 5, |
|
|
|
|
П р и м е р . |
Определить |
номер |
узла |
|
который |
|||
участвует в расчете значения |
в узле с номером 7 колонки |
6, |
если |
|||||
N = 256 — 28 . у = 8. Имеем п = 7 == 00000111, у—р = 8 — 6 = 2. Мы должны второй разряд после нулевого в номере п заменить
нулем, следовательно, |
получаем |
х — 00000011 = |
3. |
|
|
2. Для слагаемого |
с коэффициентом W. |
Номер |
узла в |
колонке |
|
р — 1 такой же, как |
для узла в |
колонке |
р, но при этом |
(у—р)-й |
|
бинарный разряд номера узла в колонке р — 1 должен быть приравнен единице.
П р и м е р . |
Определить номер узла х колонки 2, который уча |
||
ствует в расчете значения в узле с номером 21 колонки |
3, если JV |
= |
|
= 32 = 25 , 7 = |
5. Имеем и = 21 = 10101; у—р = |
5 - 3 = |
2. |
Мы должны второй после нулевого разряд в номере п заменить
единицей, |
но здесь уже стоит единица, значит |
х = |
10101 |
= |
21. |
||||||||
по |
Степень коэффициента W при вычислении |
У р |
(п) |
определяется |
|||||||||
следующему правилу. |
Бинарный |
номер |
п нужно |
сдвинуть |
|||||||||
(У — Р) Р а з вправо, заполняя пустые |
места |
слева |
нулями, а |
затем |
|||||||||
в полученном |
значении |
поменять порядок |
бит |
на |
обратный. |
|
|
||||||
|
П р и м е р . |
Для узла |
7 в колонке 2 при |
Л' = |
16 |
|
24 |
имеем |
|||||
л = |
7 = |
0111, |
у — р = |
4 — 2 = 2. |
Сдвинув |
бинарный |
номер |
п |
|||||
на два разряда вправо, получим 0001. Поменяв порядок бит на об
ратный, |
имеем 1000 = |
8, т. е. при вычислении |
узла нужно при |
|||||
менять |
коэффициент |
W8. |
|
|
|
|
||
Наконец, |
для |
восстановления правильного |
порядка |
значений |
||||
в последней |
колонке |
р = у |
нужно |
изменить |
последовательность |
|||
бит в номерах узлов Yv |
(п) на обратную, тогда полученные |
значения |
||||||
укажут |
порядок |
нумерации |
искомой |
функции. |
|
|
||
191
На |
рис. 82 приведена диаграмма |
расчетов по указанным |
пра |
||
вилам для N — 8. Дополнительное ускорение достигается благодаря |
|||||
тому, |
что |
= |
wmN>'2 = e-2 n i |
e~*ni =? - И 7 Р . |
|
Очевидно, что обратное преобразование может быть выполнено |
|||||
по той же схеме, |
только знаки при коэффициентах W должны |
быть |
|||
изменены на противоположные. |
|
|
|||
При исследовании |
алгоритма БПФ следует учитывать, что в нем |
||||
осуществляется |
преобразование одного массива комплексных |
чисел |
|||
в другой. Сейсмическая информация |
во временной области задана |
||||
только действительными числами, поэтому вся вторая половина массива у0 (£), соответствующая мнимым числам, должна быть заполнена нулями. При обратном преобразовании "временным от счетам сейсмической трассы будет соответствовать только первая половина выходных значений. Вторая половина дает мнимые зна чения и должна быть отброшена.
Важной особенностью изложенного алгоритма БПФ является
возможность преобразования |
только массивов длиной N, где N = |
|||
= 2ч (у = |
1, 2, 3, . . .), -. е. N = 4, 8, 16, 32, 64, . . . Для сейсми |
|||
ческих трасс подходящими |
значениями у обычно являются 1024 |
|||
или 2048. |
Если необходимо |
обрабатывать |
промежуточное число |
|
точек, то недостающие до ближайшего |
2ч значения задают нулями. |
|||
Рассмотрим, какое ускорение счета |
дает |
алгоритм БПФ на опе |
||
рациях вычисления спектров и при выполнении свертки. Предпо
ложим, |
что необходимо |
обработать |
сейсмическую |
трассу из N — |
||
= 2048 |
отсчетов. При спектральном анализе |
обычное |
преобразование |
|||
Фурье |
требует N2 |
операций, обработка по |
БПФ — 2N\gN опера |
|||
ций. Отношение |
числа |
операций |
|
|
|
|
|
|
№ |
N |
2048 |
„о |
|
|
|
2NlgN |
2lgiV |
2-11 |
' |
|
т. е. алгоритм БПФ в этом случае приблизительно в 93 раза быстрее.
192
Обычная |
свертка требует 2NM операций, где М — число то |
|||
чек фильтра; |
обработка по |
БПФ — 2N\gN |
операций на |
прямое |
преобразование, 6ЛГ — на |
перемножение |
комплексных |
спектров |
|
и еще раз 2N log N на обратное преобразование. При М = 100, от ношение числа операций
2MN |
И |
_100 |
_ |
, |
4 ^ ( l o g i V + l,5) — 2 (log |
+ 1,5) ~ |
25 |
"~ |
* |
Мы видим, что уже при М >• 25 фильтрация в частотной области с применением. БПФ выполняется быстрее, чем во временной.
Фильтрация, переменная во времени
До сих пор, описывая процедуру фильтрации, мы предполагали, что оператор фильтра остается неизменным на всем протяжении
фильтруемого процесса — сейсмической трассы. Между |
тем |
харак |
|
терной особенностью сейсмической записи |
является |
медленное, |
|
но непрерывное изменение ее статистических |
свойств |
от |
начала |
трассы к концу, обусловленное наличием избирательного |
неупругого |
||
поглощения и другими факторами (см. гл. 2). Поэтому при осуще ствлении фильтрации стараются делать и фильтр переменным во времени, чтобы по возможности не нарушалось его соответствие соотношению сигнал/помеха, свойственному каждому данному уча стку трассы. Построение и использование фильтров, меняющихся непрерывно от отсчета к отсчету по трассе, экономически неопра вданно. На практике пользуются следующим приемом: трассу разбивают на ряд интервалов с некоторым перекрытием ДГ (рис. 83). В пределах каждого г-го интервала фильтрацию выполняют с помощью фильтра f{ (t), рассчитанного специально для этого интервала. Из полученных перекрывающихся отрезков трассы на выходе фильтра «составляют» отфильтрованную трассу. В пределах участков пере крытий соседние отрезки трассы суммируются с весами, линейно меняющимися со временем t от единицы до нуля для отрезка, распо ложенного «слева» от зоны перекрытия (т. е. в области меньших вре мен), и от нуля до единицы для отрезка, расположенного «справа» от этой зоны. Делается это для того, чтобы сгладить разрывы ре зультирующей трассы, которые появлялись бы при отсутствии зон перекрытия. В пределах трассы обычно выбирают не более пяти интервалов; длина каждой из зон перекрытия — обычно порядка полной длины весовой функции фильтра.
Многоканальная фильтрация
Как уже указывалось, различия сигналов и помех по кажущейся скорости, кривизне годографов, степени коррелируемости по про филю дают основание для применения пространственных интерфе ренционных систем — многоканальных фильтров, разделяющих сиг нал и помехи на основании этих различий.
13 З а к а з 312 |
193 |
