ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 1
времени t0, запишем условие оптимальности фильтра l3 (t) в виде
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
I s (*о) I |
|
j S (<о) |
Ь3(ы)ешЫ |
|
|
|
|
|
_ |
- о о |
- = max. |
(6.39) |
|
|
|
|
|
Оп |
I |
оо |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
» о / 2 J U 3 ( C 0 ) | 2 d ( 0 |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
-'со |
|
|
|
Выражения (6.34), (6.36) и (6.39) представляют собой математи |
|||||||
ческие |
формулировки |
критериев оптимальности фильтров lx (t), |
||||||
1г |
(t) |
и |
l.A (t) |
в рамках |
статистической модели (6.30). Пользуясь |
|||
этими |
выражениями, получим теперь |
уравнения весовых |
функций |
|||||
и |
частотных |
характеристик |
оптимальных фильтров. |
|
||||
Уравнение Колмогорова — Винера
Запишем условие, аналогичное (6.34) и (6.36), для фильтра общего вида I (t), используя, как и прежде, у' (t) вместо у (t):
2 [ * ( * ) - / (t)* |
Z(i)]2 = min. |
(6.40) |
Как известно, условие минимума |
будет выполнено в том случае, |
|
если все частные производные левой части (6.40) по каждому из весовых коэффициентов фильтра будут равны нулю. Обозначив через
А; число отсчетов |
(«длину») входного сигнала у' |
(t), |
через |
q |
«длину» |
|||||||||||||
желаемого |
сигнала |
х |
(t), |
через 8 — 1 , 2, |
. . ., Т |
номера |
весовых |
|||||||||||
коэффициентов |
фильтра |
I (t) и полагая, |
что к + Т (длина |
выход |
||||||||||||||
ного |
сигнала) |
больше |
q, |
запишем |
во избежание путаницы |
свертку |
||||||||||||
у' (t) * i |
(t) |
в |
виде |
суммы |
произведений. |
Продифференцируем |
ле |
|||||||||||
вую |
часть |
(6.40) : |
|
|
Гг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
Ik+T(k+T |
Тт |
|
|
21 |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dl |
(6) |
|
2 |
* ( о - 2 г ( т ) / |
( |
' ~ т |
) |
|
|
|
|
|||
|
k+T |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 2 |
|
|
|
|
x(t)-^l(x)y'(t~x) |
dl (В) |
*Ц)-^1{х)у'а—т) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
т=о |
|
|
|
|
|
Х=0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
г+Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
x(t)-Zy'b)i(t-r) |
|
1-у' |
(t-Q)] |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
г=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+T |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! S |
|
- x(t)y'(t-Q)+^l(x)y'(t~x)y' |
|
|
(t-Q) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t=o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+T |
|
|
|
|
T |
k+T |
|
|
|
|
|
|
. |
(6.41) |
|
= |
2 I - |
2 |
x{t)y'(t-Q)+ |
% |
l(x) 2 |
|
|
y'(t~x)y'(t-Q) |
|
||||||||
|
|
|
|
t = 0 |
|
|
|
1=0 |
t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем выражении сумма первого слагаемого представляет |
||||||||||||||||||
собой |
оценку |
8-го |
значения |
функции |
гху, |
(6) |
желаемого |
|||||||||||
199
и входного |
сигналов, |
а сумма второго слагаемого — 9 — т-е |
|
значение автокорреляционной функции |
Ьу, (9—т) входного сигнала. |
||
Приравнивая |
выражение |
(6.41) нулю, |
получим |
г
2 l(x)bv.(Q~T)
= rxy.(Q). |
(6.42) |
Это соотношение, известное как уравнение Колмогорова — Винера [74] (в зарубежной литературе уравнение Винера — Хопфа), занимает важнейшее место в статистической теории фильтрации. Левая часть (6.42) представляет собой свертку весовой функции фильтра и функции автокорреляции Ъу, (9). Следовательно, экви
валентом (6.42) |
в области частот |
является |
соотношение |
|
L(w)By,(u) |
= Rxv,(«>), |
(6.43) |
где Ву, (&)wRxy, |
(со) — соответственно спектр мощности функции у' |
||
ивзаимный спектр функций х (t) и у' (t) (см. гл. 1). Аналогично в области z-представлений
l{z)by.{z)=rxy,{z). |
(6.43') |
Уравнения некоторых применяемых при цифровой обработке
фильтров вытекают из (6.42) и (6.43) как частные |
случаи. |
Подчерк |
||||
нем еще раз, что выражения (6.4?) и (6.43^, |
выведенные |
|
примени |
|||
тельно к одиночному импульсу ak |
S (t — Qk), остаются |
справедли |
||||
выми для всей суммы (6.30), если в выражении для у' (t) |
заменить |
|||||
ak на среднюю для всего процесса |
(6.30) величину а, квадрат кото |
|||||
рой равен дисперсии |
импульсной |
сейсмограммы |
к (t). |
При этом |
||
гху> |
(t) =• rxy (t), |
by' (t) = by |
(t), |
|
|
|
Bxy{td) |
= rxy(a), |
By. (a) = By |
(a). |
|
|
|
Обратные фильтры
Существует несколько разновидностей обратных фильтров — фильтр сжатия, фильтр ошибки предсказания, дереверберационный фильтр, корректирующий фильтр. Рассмотрим их подробнее.
Фильтр сжатия. Как уже указывалось, главной целью обратной фильтрации является получение процесса к (t) «в чистом» виде, т. е. наилучшее приближение («сжатие») каждого отдельного им пульса aks (t — Qk) к единичной функции (6.35). Такой фильтр является обратным по отношению ко всей совокупности компонент, входящих в выражение (6.31) для формы s (t) единичного импульса. Будем называть этот фильтр фильтром сжатия, или собственно обратным фильтром. Для фильтра сжатия х (t) = 8 ( I ) , следова тельно,
гхуф)~М |
k-*-T |
|
|
2 |
8(t)y"(t-Q) = Af [ ^ ( - e ) ] = s ( - 0 ) . |
(6.44) |
200
Здесь |
запись вида М |
(х) |
означает |
математическое ожидание |
величины |
х. Соотношение |
М[у' |
(—9)] = |
s (—0) справедливо в силу |
того, что |
математическое |
ожидание помех п (t) равно нулю. |
||
Таким образом, уравнение Колмогорова—Винера для обратного
фильтра сжатия будет |
иметь |
вид |
|
2 |
ln(x)by(Q-x) |
= s(-Q). |
(6.45) |
Частотный спектр «перевернутого» импульса s ( — В), как известно, равен комплексно-сопряженной функции S* (со) по отношению к спектру S (со) импульса s (0). Следовательно, аналогом выражения (6.45) в области частот является уравнение
В » { ( * > |
| S |
(<D)|2 + J - |
Б„(«>) |
|
|
fl2 |
|
Полагая Вп (со) =- 0, получаем |
частотную |
характеристику «идеа |
|
льного» обратного фильтра (6.33), выведенную в предположении отсутствия помех, как частный случай.
|
Фильтр |
ошибки |
предсказания, |
дереверберационный фильтр. |
||||||||||||
В |
отличие |
от фильтра |
сжатия, |
некоторые об |
|
|||||||||||
ратные фильтры |
предназначены |
|
для |
устране |
|
|||||||||||
ния действия не |
всех фильтрующих компонент |
|
||||||||||||||
[см. (6.31)], а только некоторых |
|
из них. Чаще |
|
|||||||||||||
всего наиболее нежелательным является фильт |
|
|||||||||||||||
рующее |
действие |
поверхностного разреза или |
|
|||||||||||||
водного |
слоя |
(при |
морской |
сейсморазведке), |
|
|||||||||||
выражающееся в появлении волн-спутников и |
|
|||||||||||||||
реверберации, |
сопровождающих |
|
каждый |
оди |
|
|||||||||||
ночный сейсмический импульс (рис. 86). Вол |
|
|||||||||||||||
ны, отраженные от разных |
границ |
01, |
02, |
. . ., |
|
|||||||||||
проходят один и тот же поверхностный разрез, |
|
|||||||||||||||
поэтому |
форма |
сложного |
импульса, |
включа |
|
|||||||||||
ющая волны-спутники и реверберации, яв |
|
|||||||||||||||
ляется |
относительно |
стабильной. Это |
позво |
|
||||||||||||
ляет, |
получив |
однажды |
необходимые |
данные |
|
|||||||||||
о |
форме |
|
сложного |
|
колебания, |
«предсказы |
|
|||||||||
вать» появление волн-спутников после каждой |
|
|||||||||||||||
регистрации основного (первого) импульса и |
|
|||||||||||||||
затем вычитать предсказанные мешающие ко |
|
|||||||||||||||
лебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
соответствии с изложенным |
будем |
назы |
|
|||||||||||
вать |
фильтром |
предсказания |
|
такой |
|
фильтр |
fH C - 8 6 - Постоянство |
|||||||||
1И 1 (*) который по |
значениям |
„ (й |
входной |
$SJS5^S? |
||||||||||||
функции |
в |
моменты |
времени |
t |
^ |
0 позволяет |
ном слое. |
|||||||||
201
найти оценку |
у |
(t) |
функции 1 |
у (t) в некоторый будущий |
момент |
времени 9 -+ а, |
а |
^ 1: |
|
|
|
|
|
lilui |
(t)y(Q—t) |
= x (9) = y(Q + а). |
(6.47> |
Величина а называется интервалом предсказания. Если пред шествующие значения процесса у (t), t ^ 9 нам известны точно и оператор предсказания l n i (t) выбран правильно, то ошибка пред сказания
|
e{Q + a) = y(Q + a)-y(Q + a) = ^lnl{t)y(Q-t)-y(Q |
+ a) (6.48) |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
представляет |
собой |
непредсказуемую часть |
процесса |
у |
(t). |
Если |
||
е (9 + |
а) = 0, |
то, следовательно, значение |
процесса у (t) |
в момент |
||||
0 + а |
представлено |
волнами-спутниками |
и |
реверберациями, |
свя |
|||
занными с предшествующими вступлениями волн, и никаких новых
вступлений — ни |
помех, ни полезных |
сигналов — не |
появилось. |
Если же 8 (9 + а) |
0, то, очевидно, такие вступления |
появились. |
|
Таким образом, |
последовательность |
е (t) ошибок предсказания |
|
представляет собой не что иное, как последовательность |
вступлений |
||
новых волн. Именно эти новые волны и представляют для нас инте
рес. Поэтому искомым фильтром |
l o n l (t) является |
оператор |
ошибки |
|||||||||
предсказания, |
определяемый |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
||||
|
e(0 = |
2 * o n i ( T ) y ( * - T ) , |
* = 0 + |
<x. |
|
|
(6.49) |
|||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая |
(6.48) и (6.49), можно найти связь между |
оператором |
||||||||||
предсказания |
l n i (t) |
и |
оператором ошибки |
предсказания |
l o n i |
(t). |
||||||
Если оператор |
Zn l (t) |
записать |
в |
виде l n i |
(t) |
= Z0, |
l u |
lz, |
. . ., |
ln, |
||
то соответствующий |
оператор |
Z o n l |
(t) с интервалом |
предсказания ос |
||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*oni(0 = |
l , |
0, 0, . . ., О, - / „ , |
- Л , . . ., |
-1П. |
|
(6.50) |
||||||
ан у л е й
Вобласти z-преобразований, очевидно,
lom(z) = l-lnl(z). |
(6.51) |
Найдем теперь выражение для фильтра предсказания l n i (t), пользуясь уравнением Колмогорова — Винера. В соответствии с (6.47) желаемым выходным сигналом х (t) для фильтра Zn l (t) явля ется входной сигнал в последующие моменты времени. Поэтому
гху (т) = Ьу (t + а)
1 Так как мы предсказываем мешающую компоненту записи с целью ее последующего вычитания, следует прогнозировать не только спутники и ре верберации, но и помехи n (t), т. е. процесс у (t) в целом.
202
