Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

J 7

+ ^тттТТП|

Г"

-y=y№fz(ty

Р и с . 83.

И л л ю с т р а ц и я алгоритма

п е р е м е н н о й во времени фильтрации

1 — трасс а

на в х о д е фильтра; 2 — весовые коэффициент ы в п р е д е л а х з о н п е р е к р ы т и я .

Простейшие разновидности

таких интерференционных систем,

Обратимся к модели (2.44)

многоканальной сейсмической

записи

и перепишем ее в упрощенном

виде:

yx{t)

=

Zx(t)~r-nx(t),

(6.27)

где 2Х (t) — сигнальная компонента;

пх (t) — сумма всех

помех.

Общая схема многоканальной фильтрации изображена на рис. 84

и для (М + 1)-канального фильтра

описывается выражением

т=М/2

Ух-mif)].

(6.28)

y X ( t ) =

2

j 2

lfm(t)

т=-М

Здесь / т (t) — весовая функция многоканального фильтра. Ее можно

разных

временных фильтров

/ 4 (t), /2

(t), . . ., fM+i

(t); ух_т (t)

—

входные

трассы

ух+м/г

(*)> Ух+м_

_i

( 4

• • Ух-М/2

(*)• Значок

*

означает

свертку

функций fm

(t) и ух_т

(t)

по временной координате,

при фиксированных

т и х .

Дискретная цифровая многоканальная сейсмическая запись (6.27)

выглядит как матрица (см. гл. 1), у которой каждая

х - я строка пред­

ставлена

отсчетами по данной х-й

сейсмической трассе, а каждый

2-й столбец — отсчетами разных

трасс на данном

фиксированном

X x

Ух-н/гЩ

.XX

f,(t)

x '•

fo(t)

Ух.г

(У

(t)

/-/

.

.

®

•

X X л (x

Ух+м/гМ

• , •

•

X X у x

Ух+м/2+1(1)

.... 1

©

X X X

Р и с . 84.

Схема

м н о г о к а н а л ь н о й

ф и л ь ­ Р и с . 85. Матрицы

в х о д н о й ух

(t)

(1)

т р а ц и и .

и весовой fm (t)

(2) ф у н к ц и й

и

отсчеты

в ы х о д н о й

ф у н к ц и и

ух

(t)

(3)

д л я х =

2,

t =

4, 5,

6.

При таком представлении привычная для нас временная

филь­

трация

выглядит как свертка

вдоль строк

матрицы

сейсмической

записи,

смешение — как свертка вдоль столбцов

этой

матрицы.

(6.28), выглядит как двумерная свертка: матрицу

Y = (yxi) выход­

ной

сейсмической

записи

получают

путем перемещения

матрицы

F =

(fmt)

весовых

коэффициентов последовательно

вдоль

первой,

второй и т. д. строк «входной» матрицы

Y = (yxt)

с образованием

при

каждом

шаге

суммы

произведений

соответствующих

отсчетов

fm (Й и ух

(t)

(рис.

85).

В

результате получают

элемент

«выходной» матрицы

Y = \yxt\

первой,

второй и т. д.

строк,

а последовательно вдоль

первого,

второго

и т. д. столбцов

«входной»

матрицы Y

—- (yxt).

Результат

будет тот же. С этой точки зрения

(6.28) можно

переписать в виде

г

У/(*) = 2

(/в И * У«-в(*)1

(6-28')

8=0

или в

более общей форме

М / 2

Г

(6.29)

Vtx. =

2 2

fmWx-m, i-rr

13*

195

мени,

так и в пространстве. В частности, фильтр

fm (t) в

(6.28) не

меняется с координатой х, т. е. набор фильтров

/ 0

(t), f±l

(t),

. . .,

*±м/2

(0 — один и тот же для получения всех выходных трасс ух (t),

у2 (t)

. . . Такой инвариантный в пространстве фильтр соответствует

случаю, когда статистические характеристики

сигналов

и

помех

менным

в

пространстве,

т. е. для

разных выходных трасс уг (t),

i/2 (t), . . .,

yk (t) . . . используют

разные наборы fmx

(t) фильтров.

Далее

фильтр,

участвующий в

выражении

(6.28), может

быть

неременным во времени,

т. е. вместо набора / 0

(t),

f±i

(t), . . .

мы

будем иметь набор

/ 0 (t,

т), f±i

(t,

т) . . . Наконец,

в

самом слож­

ном случае

многоканальный

фильтр может быть переменным

как

по времени, так и по координате х.

В дальнейшем мы будем рассма­

переменной во

времени одноканальной

фильтрации.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И В Ы Б О Р А Ф И Л Ь Т Р О В

Критерии

оптимальности

некоторых фильтров

Обратимся

к

модели многоканальной сейсмической

записи.

С учетом (2.2) и

(2.16) после

ЦАРА и ввода поправок имеем

y(t)=z(t)

+ n{t),

(6.30)

z(*) = x ( o » s ( * ) = 2M*s (*-ef t ),

(6.31)

"

s(t) =

s0(t)*snoB(t)*sper(t).

Здесь индексы х и | ,

характеризующие

абсциссы точек возбуждения

и приема, для простоты опущены.

Фильтрация

может применяться

для решения различных задач.

Конечной целью

обработки

является

восстановление

функции

значно. Получаемый фильтр называют

оптимальным с точки зрения

выбранного критерия.

Рассмотренным

задачам

в теории

фильтров

принято

ставить

в соответствие

следующие

критерии.

1. Задача выделения

зависимости х (t)

«в чистом» виде

решается

с помощью такого фильтра h (t), который преобразует

входную

трассу у (t) в выходную последовательность

y(t), наименее (в среднею

квадратичном

смысле)

отличающуюся

от

х (t).

В случае, когда помехи п (t) отсутствуют, возможно точное ре­

шение задачи, т. е. получение у

(t) = х (t). В самом деле,

с учетом

условия п (t) =

0

вместо

(6.30),

после

перехода

в область частот,

имеем

Г(со) =

#(со)£(со),

откуда

Х

Н

=

^ И ^ .

(6.32)

Lx (со) = l/S (со).

(6.33)

Поэтому фильтр типа L t (со) называется

обратным.

ний выходной последовательности

y'(t) от искомой функции х (t).

В силу принципа суперпозиции, справедливого для линейных систем

(см. гл. 1),

фильтр li (t),

удовлетворяющий этому критерию для

суммы y'(t)

= ak s (t — xk)

+ n (t)

одиночного /с-го импульса и

помех, будет оптимальным и для всей суммы (6.30).

Таким образом,

критерий

оптимальности

фильтра

Zt (t) сводится

к выполнению

условия

^{Ht-rk)-[s(t-xk)+-^n(t)]*

M * ) } ' - m i n .

(6.34)

(О

Здесь

6 (t — xk) — элемент импульсной

сейсмограммы

х (£),

соответствующий данному &-му импульсу:

(

1, t = xk,

б (

' - Н о , ^ т ,

( 6 - 3 5 )

[ s ( * _ T f t ) + J - n ( * ) ]

W 2 ( 0 } 2 = min.

(6.36)

W

Мы видим, что фильтры li

(t) и l2 (t) являются частными случаями

фильтра общего вида I (t),

преобразующего

наилучшим (в

средне­

ных

помех

в

некоторый

произвольно

задаваемый («желаемый»)

сигнал х (t).

Значительный

вклад в теорию таких фильтров внесен

Б . Винером

[121], поэтому иногда подобные фильтры называют

винеровскими.

3.

Задача

оптимального

обнаружения

сейсмических сигналов,

Допустим вначале, что помеха п (t)

в (6.30) представлена

стационар­

ным белым шумом со спектром мощности

п0/2.

через

Выразим полезную

компоненту

s (t) на

выходе фильтра

ее комплексный

спектр

g (со) — S (со) L 3

(со) с помощью

обратного

преобразования

Фурье:

со

s(t)=

\

S((0)Ls(a)eiat

da.

(6.37)

- о о

Дисперсия о 2

помехи на выходе фильтра равна площади

спектра

мощности помехи на выходе, следовательно, можно записать

[34]

со

" я „ = ^

J | £ в И 1 2 Ж » .

(6-38)

-оо

Пользуясь выражениями

(6.37)

и (6.38) и полагая, что

сигнал

s (t)

на выходе достигает

пикового

значения в некоторый

момент

1

М о ж н о т а к ж е

пытаться

решать

эту з а д а ч у

с п о м о щ ь ю фильтра,

м а к с и м и ­

з и р у ю щ е г о на выходе о т н о ш е н и е

э н е р г и й п о л е з н о г о сигнал а п п о м е х

[117].

О д н а к о о п р е д е л е н и е параметров

такого

фильтра

т р е б у е т более

г р о м о з д к и х

вычислений, а сам фильтр

менее

эффективен .