Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Особенностью этого выражения является то, что кроме неизвест­

Отметим одно интересное обстоятельство. Интервал предсказания а выбирается произвольно, и можно выбрать его так, чтобы, поль­ зуясь оператором lon t (t), предсказывать и вычитать не только волныспутники и реверберации, но и последующие экстремумы главного («чистого») импульса. Например, можно выбрать or, равное длине первого полупериода импульса s (t) (рис. 87): тогда все последующие полупериоды будут подавляться, т. е. будет достигнуто существенное сокращение длительности импульса. Можно далее выбрать а рав­ ным одному интервалу дискретности Дг. Тогда будут предсказываться и вычитаться все ординаты импульса, кроме первой. Это, в сущ­ ности, означает, что мы поставим задачу наилучшего приближения к единичному импульсу [его роль будет играть первая ордината импульса s (£)]. Оказывается [107], что в этом случае фильтр ошибки предсказания сводится к фильтру сжатия. Таким образом, послед­ ний может рассматриваться как частный случай фильтра предска­

Рассмотрим еще один частный случай фильтра ошибки предска­ зания, когда причиной образования сложного импульса является водная реверберация (рис. 88). Будем считать, что источником возбуждения генерируется одиночный импульс s0 (t). Принимая коэффициент отражения от границы вода — воздух за —1 и обо­ значая коэффициент отражения границы вода—дно через к, мы можем представить волну, прошедшую водный слой и распространяющуюся

времени, равные удвоенному времени пробега Е±Т в слое воды, и обу­

203

а

импульса S0 (t) в такую последовательность можно рассматривать как результат действия некоторого оператора

Q = l, 0, 0, . . ., —к, 0, 0, . . ., к\ 0, 0, . . ., -А», 0, 0 . . .,

где отличные от нуля значения встречаются через каждые п = А.Т/Ы точек.

Весьма просто выглядит z-преобразование оператора Q: Q(z) = l-kzn + k*z™-k3z*n + .. - = - д а г .

Каждая волна, отраженная в толще пород, выходя к приемнику, вновь проходит через водный слой и претерпевает те же воздействия, что и возбужденный сигнал. Поэтому действие водного слоя на пути волны в прямом и обратном направлениях описывается оператором реверберации

а сложный импульс на выходе этого оператора имеет вид

205

Компонентой, подлежащей предсказанию и последующему вы­ читанию, является выражение

Построим уравнение Колмогорова — Винера. Продолжая опе­ рировать в области z-преобразований, с учетом некоррелированно­ сти полезной компоненты и помех (rSn (z) — 0), находим

V (z) = bs (z) + bn (z) = [s0 (z) Q* (z)f +^-bn (z),

rxy.(z)=s*0(z)QHz) [Q*(z)-\],

откуда

Оператор ошибки предсказания определяется соотношением (6.51).

Корректирующий (формирующий) фильтр. Задачей корректиру­ ющей фильтрации является устранение изменчивости формы записи по профилю, связанной с изменчивостью поверхностных условий, и обеспечение стабильности (по профилю) некоторой выбранной

Р и с . 89. М о д е л ь д е р е в е р б е р а ц и о н н о й ф и л ь т р а ц и и .

206

общего вида, обеспечивающего наилучшее (в среднеквадратичном

В сущности, этот фильтр не является обратным. Однако он по­ явился в результате попыток устранения некоторых нежелатель­ ных эффектов «чистой» обратной фильтрации. Кроме того, он как бы содержит обратный фильтр в качестве своей компоненты. В самом деле, произвольный желаемый сигнал х (t) всегда можно предста­ вить как результат свертки с единичным импульсом а (£) (6.35):

Переходя в область частот, получаем

/>1 (ш)Ди (<в)«яХ(©)5» (09),

откуда

единичного импульса б (t), а результат действия всего фильтра L c l (со) Х((и) в целом — от желаемого импульса х (t). Схематически действие различных обратных фильтров показано на рис. 90.

Фильтр оптимального воспроизведения сигнала

Для фильтра оптимального воспроизведения желаемым сигналом на выходе является сигнал на входе, освобожденный от помех, следо­

Из выражений (6.59)—(6.61) видно, что оптимальный фильтр воспроизведения сигнала целиком определяется через автокорреля­ ционные функции сигнала и помех на входе (либо через модуль спектра сигнала и спектр мощности помех) и не требует знания конкретной формы сигнала, в частности его фазового спектра.

Оптимальные фильтры обнаружения

Вернемся к фильтру обнаружения Z3 (t), условием оптималь­ ности которого является выражение (6.39). Пусть формам (t) вход­

Будем считать временем прихода этого сигнала момент £0 —0. Чтобы найти фильтр, максимизирующий отношение (6.39) в момент вре­ мени t = 0 (выходной сигнал s (t) в этот момент должен принять пиковое значение), воспользуемся неравенством Шварца — Буняковского, гласящего, что если а (х) и 6 (х) — произвольные комплекс-

208