Файл: Основы автоматического управления..pdf

652 ГЛ . 16. М ЕТО ДЫ О П Р Е Д Е Л Е Н И Я ОПТИМ А ЛЬН О ГО У П Р А В Л Е Н И Я

Добавим к (16.2.1) уравнение (16.1.9), которое в данном случае имеет вид

П

находим функцию Гамильтона (16.1.13);

П п

Отсюда видно, что H будет иметь наибольшее возможное значение в любой момент t, если

ui = RiSgn (фг + фп+і!^) (і =1, (16.2.10)

Таким образом, управления и в этом случае имеют релейный характер с функциями переключения фі + фп+і дF • Для опре­

деления этих функций переключения необходимо проинтегриро­ вать уравнения (16.1.14), которые в данном случае имеют вид

к уравнениям (16.2.11) систему (16.2.1) и формулу (16.2.10), полу­ чим полную систему уравнений, определяющих фі и Уі. Численное их решение дает возможность найти функции фі и уі и оконча­ тельно определить оптимальные управления Ui. Отметим, что только в случае линейного объекта (функции фі линейно зависят от уі) уравнения (16.2.11) интегрируются отдельно.

Всоответствии с (16.2.10) оптимальное управление определяется формулой

щ= R sgn (ф4 — sgn yi).

Для определения фі служат уравнения

Численное решение этих уравнений совместно с уравнениями для yt, у2 при учете формулы для щ дает возможность определить оптимальное управ­ ление Ui (t).

Рассмотрим третью типовую задачу определения оптимального управления для объекта, поведение которого описывается теми же

ного состояния Уі (t0) в заданное конечное состояние yt (tK) за задан­ ное время tK— tQ при минимизации интеграла (16.1.7).

Добавляя к уравнениям (16.2.1) уравнение (16.1.10) и учиты­ вая, что конечное состояние объекта задано, запишем минимизи­ руемый функционал в виде

П

Используя уравнения (16.2.1) и (16.1.10), находим функцию Гамильтона (16.1.13):

Условие максимума этого выражения с учетом ограничений | и,- | ^ ^ Ri определяет оптимальное управление ад как функцию величин Фг/фп+ь У и t. Для определения вспомогательных переменных Фг> Фп-и составим уравнения (16.1.14) при конечных условиях

(16.1.15):

Из последнего уравнения следует, что фп+1 (t) == —1. Объединяя уравнения (16.2.1), (16.2.14) и формулу для и, полученную из усло­ вия максимума Н, и учитывая начальные и конечные условия, получаем полную систему уравнений, численное решение которой дает возможность определить все переменные и вычислить опти­ мальные управления Ui (t).

гк

I(tK) = j I «i (О I

О

Дополнительное уравнение (16.1.10) в данном случае имеет вид

і/з==І “ 1 1. г/з(0)= о .

С учетом заданного конечного положения объекта минимизируемый функцио­ нал принимает вид (16.2.12). Функция Гамильтона определяется формулой

Оптимальный процесс и оптимальное управление іц (t) определяются путем численного решения уравнений для уі, у2, фі, ф2 при учете полученной форму­

Требуется определить оптимальное управление и, ограниченное по модулю,

Н = ф (— 0,6yt + M) — уі — l,252u2.

Оптимальное управление, минимизирующее функцию Я, имеет вид

Ф = 0 ,6ф + 2уі, ф (tK) = 0 .

Далее решение задачи можно получить путем совместного численного инте­ грирования уравнений для yt и ф при учете найденного вида управления и.

§ 16.3. Динамическое программирование

Метод динамического программирования был разработан прак­ тически одновременно с принципом максимума и представляет собой другой способ решения тех же вариационных задач с огра­ ничениями на управления и на фазовые координаты объекта. Этот метод достаточно полно обоснован для оптимизации дискрет­ ных систем, в области которых лежит основная сфера его приме­ нения. При этом вариационная задача рассматривается как много­ этапный процесс решения более простых задач, а оптимальное управление отыскивается последовательно шаг за шагом.

При применении динамического программирования к вариаци­ онным задачам теории управления снимается трудность решения граничной двухточечной задачи, к которой приводит применение принципа максимума. Однако возникают свои вычислительные трудности, связанные с возрастанием размерности решаемых задач.

Метод динамического программирования обладает большой общностью и применим для решения широкого круга задач, в которых связи между координатами, управлениями и сами критерии могут быть заданы в виде уравнений произвольного вида, графиков или таблиц.

При некоторых допущениях метод динамического программи­ рования применим непосредственно и к непрерывным системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В этом случае вариационная задача также сводится к некоторой граничной зада­ че дифференциальных уравнений в частных производных, решение которой, однако, связано с вычислительными трудностями.

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, доказанный Р. Веллманом, как общее необходимое условие оптимального процесса, справедливое как для дискретных, так и для непрерывных систем. Этот принцип формулируется следующим образом: оптимальное управление обладает тем свойством, что, каково бы ни было начальное состоя­ ние и управление до данного момента, последующее управление должно быть оптимальным при том состоянии, в которое пришла система в результате первого этапа управления [77, 78]. Из прин­ ципа оптимальности следует, что оптимальное управление опре­ деляется лишь состоянием системы в каждый данный момент