где Y (k) — гамма-функция, |
получаем |
|
|
|
|
X1(t)= |
|
axv(t) |
Г(ѵ-|-1) |
. |
(8.3.10) |
и |
л |
W 1 |
v v ' r i ; |
|
Таким образом, напряжение на выходе рассматриваемого нели |
нейного устройства |
будет равно |
|
|
|
|
|
X (Овых = Х1 |
(ОC |
0 S [»0 * + |
Фас (01 |
= |
|
|
а д : ѵ ( 0 Г ( ѵ + 1 ) |
СО5[(В0 / |
+ ф ж (0] . |
(8.3.11) |
|
|
|
|
|
2 ' - Т Г - ± І |
V |
) г ' Ѵ + |
1 |
|
|
|
2 |
/ |
2 |
|
|
|
|
Это выражение можно переписать несколько иначе: |
|
*(0вы*= |
ахѴ~~' ! ^ Г |
( Ѵ + |
1 ) , , , |
х ( 0 с о 5 К ^ + Ф х ( 0 ] - |
(8.3.12) |
|
|
|
ѵ + 1 |
\ |
|
|
|
Выходное напряжение (8.3.12) позволяет дать физическую интер" претацию влияния нелинейного устройства на сигнал. Действительно» если рассматривать (8.3.12) как произведение двух сомножителей, то видно, что второй сомножитель
X (t) cos lco0 / + ц>х (/)] |
(8.3.13) |
есть просто входное напряжение, а первый (дробь) представляет функ цию, отражающую воздействие НЭ. Полученное выражение показы вает, как меняется входное воздействие из-за нелинейного преобразо вания. Так как входное воздействие состоит из сигнала и помехи, то представляет интерес их взаимное влияние при прохождении через нелинейный элемент.
Перепишем (8.3.12) с учетом (8.3.4) в виде
X (Овых = |
^ - ' ( О П ѵ + І ) |
c o s |
t |
|
2 ѵ - . г |
( М ± \ г |
V - |
|
|
|
|
2 / |
V 2 |
|
|
|
+ |
cos [со0* + Ф п |
(*)]}. |
(8.3.14) |
Для ШПС, как уже отмечалось, интерес представляет малое отно шение сигнал/помеха. Допущение о малости его позволяет использо вать разложение [8.8, 8.11]
|
2! |
|
+ ... + |
. . . ( * - * + !) г П + |
8 3 Л 5 ) |
|
ni |
|
Ряд ( 8 . 3 . 1 5 ) |
сходится |
абсолютно |
при | г |
| < 1 |
и расходится при |
I z I > |
1 . Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л-ѵ- > (0 = |
{S2 |
[t) + |
Al |
(t) + 2Ап |
(t) S |
(t) |
cos |
[ Ф п |
(/) - ф |
, ( / ) ] } ( ѵ - n/2 ( 8 . 3 . 1 6 ) |
и что <7В Х |
< |
1 , |
|
I V— 11 < і, можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ " ( 0 = ^ ' ( 0 f i + ( ^ V |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
-I • ( V - |
1 ) |
|
cos | Ф „ (О —ФЛОІІ |
• • •} |
• |
( 8 . 3 . 1 7 ) |
Подставив |
( 8 . 3 . 1 7 ) |
в ( 8 . 3 . 1 4 ) |
и пренебрегая |
членами второго по |
рядка |
малости, |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (Овых = |
|
|
7 ^ Т Т \ 1 ) |
, |
, |
, |
Ч |
< Л » c o |
s К |
' + Фп (01 + |
|
|
|
|
|
Г>Ѵ — 1 |
ѵ + 3 |
ГV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
t i |
Л Г |
' (/) |
S (/) |
cos |
[со0 |
М |
-Ф б |
(/)] |
f |
. . . } . |
|
(8 . 3 . 18) |
Полезным сигналом на выходе нелинейного |
устройства |
считаем |
ту часть |
выходного |
колебания |
х |
(і)кых, |
|
которая |
повторяет |
фазовую |
структуру |
сигнала |
на входе. |
Тогда |
выходной |
сигнал |
окончательно |
можно |
записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А ф И » |
|
|
ü ^ i ü ï u / i r ' W x |
|
|
|
|
|
|
^ • г ( ' - ± і ) г ( Й І ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XS(/)COS[G) U / + 9s (0]- |
|
|
(8 . 3 . 19) |
Все остальные члены разложения (8.3.18) отождествляются с по |
мехами: |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7ф (/) |
Г |
' |
г |
№ |
г |
|
|
|
—л:(Осо5[о,0 / + Ф „ ( / ) ] . |
( 8 . 3 . 2 0 ) |
|
|
|
|
, |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая случай, когда S (t) и Л п (t) не изменяются во вре мени, можно найти отношение сигнал/помеха (по мощности) на выходе.
Используя ( 8 . 3 . 1 9 ) и ( 8 . 3 . 2 0 ) , получаем |
|
W = = ^ - - Ç ^ - ^ - ^ . |
( 8 . 3 . 2 1 ) |
Тогда характеристика энергетического подавления, определяемая
выражением ( 8 . 3 . 1 ) , будет |
равна |
|
Л g огр = |
ÇBUX'VBX = (V + 1 ) 2 / 4 . |
( 8 . 3 . 2 2 ) |
11 Зак. 1302 |
|
321 |
Выражение (8.3.22) дает в явном виде зависимость характеристики энергетического подавления от сглаженности ограничителя характе ристики. Из него видно, что подавление будет максимальным при V = 0 (идеальный ограничитель) и равно
т і Ч о г р = { ( - 6 ДБ). |
(8.3.23) |
Для случая V = 1 (линейное устройство) подавления |
не будет: |
4 Рассмотрим теперь влияние изменения огибающих. Анализ будем вести на примере идеального ограничителя (ѵ = 0), так как в этом случае подавление максимально. Наибольший интерес представляет случай сигнала с постоянной огибающей и гауссовой помехи. Входное воздействие на НЭ дается в общем виде выражением (8.3.4), в рассма триваемом случае примем: Ап (t) — случайная амплитуда помехи, рас пределенная по закону Релея, S (t) = S = const. Сигнал на выходе полосового нелинейного устройства, аппроксимируемого степенной функцией, определяется выражением (8.3.19). Положив ѵ = 0 и счи тая cos \(ù0t + q>s (t)] = 1, получим амплитуду сигнала на выходе идеального полосового ограничителя
S4 (0 = — A^(t)S. |
(8.3.24) |
я |
|
Из выражения (8.3.24) видно, что амплитуда |
сигнала на выходе опре |
деляется произведением амплитуды сигнала на входе 5 с коэффициен том 2а/л и случайной амплитудной помехи. Так как произведение не случайной величины на случайную есть величина случайная, то ампли
туда сигнала 5 ф будет случайна и нужно говорить о средней |
амплитуде |
на |
выходе. |
Чтобы получить среднюю амплитуду, |
необходимо в ф (t) |
усреднить |
по всему ансамблю значений |
амплитуды |
помехи; |
тогда |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
*Ф ср (0 = mi [5Ф (t)] = ~ - $ Anlw(An) |
dAn. |
(8.3.25) |
|
|
— о о |
|
|
|
|
|
Так |
как распределение амплитуды помехи |
подчинено |
закону |
Релея, |
то средняя по ансамблю помех амплитуда сигнала на выходе такого ограничителя будет:
|
°° |
/- |
|
«ils*(01 = — |
f -г- ^<rA"l2°ldAn= |
^ У |
(8.3.26) |
Аналогично определяется амплитуда помехи |
на выходе. |
Для иде |
ального ограничителя, |
положив в (8.3.20) ѵ = 0, получим |
|
|
пф = Ааіп. |
|
(8.3.27) |
Отметим, что, как видно из (8.3.26) и (8.3.27), при малом отноше нии сигнал/помеха (случай, который мы рассматриваем) величина
помехи на выходе ограничителя не зависит от величины помехи на входе, в то время как величина сигнала зависит от помехи и, кроме
того, пропорциональна |
сигналу |
на входе. |
|
|
|
Выражения (8.3.26) и (8.3.27) позволяют получить отношение |
сигнал/помеха на выходе идеального ограничителя. Это |
отношение |
по |
мощности: |
|
|
|
|
|
|
W |
= -J- ^г- |
|
(8-3.28) |
|
|
|
8 On |
|
|
|
Отношение сигнал/помеха на входе равно |
|
|
|
|
^ x = S 2 / 2 a ? „ |
|
(8.3.29) |
так |
как |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
т1(А\)= |
f Al |
^Le-An/2aïidAn |
= 2a*. |
(8.3.30) |
Выражения (8.3.28) и (8.3.29) позволяют получить характеристику энергетического подавления для случая, когда на входе идеального ограничителя действует сигнал с постоянной огибающей и сильная гауссова помеха:
П ' ° г р = і ^ » ь г = = і ( 1 д Б ) - |
(8-3-31) |
Этот результат другим способом был впервые получен в [8.11]. Срав нивая величину подавления сигнала помехой в виде гауссова шума
(8.3.31) |
и в виде напряжения с постоянной огибающей (8.3.23) в иде |
альном |
ограничителе, можно отметить, что помеха с постоянной оги |
бающей |
опасней в этом смысле (ухудшение составляет 6 дБ вместо |
1 дБ при гауссовой помехе).
Полученные результаты о зависимости энергетического подавле ния от свойств огибающей помехи можно обобщить на случай помехи с произвольным законом распределения огибающей. Это особенно
наглядно можно показать для идеального |
ограничителя. |
|
Как видно из (8.3.25) и (8.3.27), в |
общем |
случае |
отношение сиг |
нал/помеха на выходе может быть записано в виде |
|
|
|
qBblx |
= Sz/4lmi(An)]\ |
|
|
(8.3.32) |
Характеристика |
энергетического |
подавления с |
учетом |
(8.3.32) |
и (8.3.29) получается: |
|
|
|
|
|
|
|
<7вых |
2<т2 |
|
|
|
т |
! ? о г р = — = 77 |
—ТТ-Т^ • |
(8.3.33) |
Используя выражение |
(8.3.34), |
можно |
рассмотреть |
зависи |
мость характеристики энергетического подавления от флюктуационных свойств помехи. Считая мерой флюктуации отношение мощностей
