ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 199
Скачиваний: 5
s h |
4 - |
ф 5 = |
2 . 8 s ( ѵ |
/ л |
0 ) |
2 ( І О ' 5 ); |
( Д |
3.20а) |
Ê=3,24(n0v) * (107) я-; |
|
|
( Д |
3.12а) |
||||
Х~ е |
|
|
|
|
|
|
( Д |
3.17а) |
n |
c / n |
0 = |
n :< / ,Jofc“ 't'== |
l |
/ X |
2.‘ |
( Д |
3 -6 а ) |
па/ щ = па1пй= еЧ>= /}. |
|
(Д |
3.7а) |
|||||
Эти формулы были использованы для расчета кривых рис. 4.4 применительно к монтмориллониту с толщиной пластинок 9,5 • 10"8 см и катпонообменноіі способностью 100 мг-экв на 100 г глины. На рисунке показаны кривые для раз
личных значений валентности ѵ и концентраций раствора п0.
Дополнение 4. Равновесие диффузных слоев между двумя плоскими параллельными мицеллами.
Здесь все данные, касающиеся природы глинистых частиц, плотности заряда поверхности и состава суспензирующего раствора приняты теми же, что и в пара графе 4.9 и Дополнении 3, но теперь рассматриваются две мицеллы с плоскими и параллельными друг другу поверхностями, расстояние между которыми равно 2d. Уравнения равновесия ионов и распределения потенциала, а также приве
денные переменные, определяемые формулами (Д3.10)—(Д3.12), применимы и к рассматриваемому случаю, вплоть до дифференциального уравнения (Д3.14), а именно
2с*2ф/сіё2 = еФ —е-ф. |
(Д 4.1) |
Однако граничные условия теперь изменяются, поскольку в медиальной плоскости, или плоскости симметрии, между частицами градиент потенциала dO/dx и его приведенный аналог dty/d £ равны нулю; сам потенциал принимает
значение Ф</, а характеризующая его величина ф — значение ф<ц Интегрируя в пределах от ф^ до ф и от 0 до йф/d g, как при решении уравнения (Д3.14), получаем результат, соответствующий уравнению (Д3.15),
йф/<*£ = _ (еФ+ с - І '- е ^ - е " ^ )" 5". |
(Д 4.2) |
На втором этапе интегрирования для получения функции £ от ф использу ется эллиптический интеграл F (а, ß), определяемый соотношением
ß |
JL |
(Д 4.3) |
F (а, ß) = I Ло/(1 — а2 sin2 со) 2 . |
||
о |
|
|
Численные значения этого интеграла для различных сочетаний а и ß со держатся в таблицах Янке и Эмде [90].
Чтобы удостовериться, что уравнение (Д4.2) действительно приводит к эллиптическому интегралу, положим
е '*'<= огш |
(Д |
4.4) |
б-Ф = а8Іп2 со. |
(Д |
4.5) |
так что по уравнению (Д4.5) имеем
—fc“<V<іф/<Зсо = 2 а sin cocos со
|
7ф/7со = —2/tg о. |
|
|
(Д 4.6) |
|
Применяя уравнения (Д4.3)—(Д4.6), можно |
записать |
уравнение |
(Д4.2) |
||
с помощью |
новой переменной |
со: |
|
2_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl --- 2 dm {lg2 со (а sin2 <в + 1/а sin2 w— а — 1/а)} |
2 . |
|
||
Используя элементарные тригонометрические соотношения, можно |
упро |
||||
стить этот |
результат: |
|
|
|
|
dc, = 2 dw/{tg2 со [(1 /а) ctg2 со — а cos2 со]} 2 = 2 |
йсо/{1/а —а sin2 со} 2 |
.-.= |
|||
|
J |
- |
JL |
|
( Д 4.7) |
|
=2 а 2 |
dm/{l — а 2 sin2 со} 2 . |
|
||
Перед интегрированием ж от 0 до d следует найти соответствующие пределы интегрирования для I и со. Согласно уравнению (Д3.12), эти пределы для I
равны соответственно 0 и Из уравнений (Д4.4)—(Д4.5) следует:
|
е |
^ |
^d)/2_ gin со. |
|
(д |
4.g) |
||
Таким образом в плоскости симметрии, |
где г]) = |
фгі, |
|
|
||||
|
|
|
Щ = л/2, |
|
|
(Д |
4.9) |
|
а на поверхности частицы, где ф = |
ф5, |
|
|
|
|
|||
|
cos = sin~ie |
|
|
|
|
|||
где sin-1 = |
arcsin. |
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя уравнение (Д4.7) в найденных пределах и вынося значение а |
||||||||
по (Д4.4) за знак интеграла, получаем |
|
|
|
|
||||
|
ld=2e ^d1* |
\ |
|
tto/(l — е 2 |
sin2 со) 2 |
= |
|
|
|
sin- Г |
(Ѵ * Д > /2 |
|
|
|
|
||
;2е-•Ь./2 |
Я / 2 |
|
_L |
Sin" |
-(Ѵ'Ы / 2 |
_ |
J_" |
|
йсо/(і - '2^ sin2 со) 2 |
- |
J |
dco/(l —e 2t^ s m 2co)2 • |
|||||
L о
Сопоставив это выражение с определением эллиптического интеграла по уравнению (Д4.3), видим, что первое эквивалентно форме, выраженной в эллип тических интегралах,
Ігі = 2в"'|'^ 2{й’ (е“Ч л / г ) - F |
sin -i е Т № td))} |
(Д 4.10) |
Фервей и Овербек [164] приводят таблицу, полученную с помощью таблиц эллиптических интегралов, в которой даны значения ^ для различных сочета ний ф5 и ф^. По этой таблице при данном ф8 можно найти величину ф^ для любого Id, т. е. для любого расстояния между мицеллами, после чего, используя
уравнения (Д3.6) и (Д3.7), легко вычислить концентрации катионов и анионов в плоскости симметрии. Далее можно найти осмотическое и расклинивающее гидростатическое давления. Однако и в этом случае известна только плотность заряда поверхности мицеллы, а потенциал поверхности необходимо определить.
Уравнение (Д3.18) можно применить и к рассматриваемому случаю
s = — (у/4л) (dO/dx)Q. |
(Д 4.11) |
Входящий сюда градиент потенциала на поверхности (d$>/dx)0 можно опре
делить из уравнений (Д4.2) и (Д3.13):
л_
dÜ>ldx = {Knn0kT/у) 2 d^/dl, |
(Д 4.12) |
после чего из уравнения (Д4.2) с ф — TJs, относящимся к поверхности мицеллыі найдем
JL |
J_ |
|
(d4>/dx)0 = — (8т0кТ/у) 2 (е ^ + е ^s— e^d— e ^d) 2 , |
|
|
а из уравнения (Д4.11) |
JL |
|
_i_- |
|
|
s = (n0kTyJ2n) 2 (e^s-)-e |
—e^d— e 4 2 . |
(Д 4.13) |
Это уравнение соответствует уравнению (Д3.20) для одиночного диффуз ного слоя.
Расклинивающее давление вычисляется по данным о концентрации ионов
вплоскости симметрии в сравнении с общей концентрацией раствора. Исполь зуя уравнение (Д3.2) для суммирования вкладов в осмотическое давление от всех молекулярных и ионных частиц, имеющихся в растворе, найдем давление
вплоскости симметрии
Pd = kT |
dnc-\-dna), |
тогда как в растворе, отделенном от взвешенных частиц, оно равно
Р0 — кТ (пт-\- 2по).
Таким образом, разность давлений АР равна
AP — k T ( dnc+ dna — 2n0), |
(Д 4.14) |
Эта разность характеризует избыток давления на смежные поверхности по сравнению с давлением на внешние поверхности мицелл, со стороны которых диффузные слои могут развиваться свободно. Таким образом, эквивалентное гидростатическое давление, сопровождающее найденную разность осмотического давления, есть давление набухания, или расклинивающее давление.
Комбинируя уравнения (Д3.6)—(Д3.7) и (Д3.10) с (Д4.14), найдем
АР = кТп0 ( 4 d-f еф<г- 2 ) . |
(Д 4.15) |
Теперь понятно, как рассчитать расклинивающее давление для данного расстояния между частицами. Проще всего задаться величиной ф<*, после чего расклинивающее давление может быть найдено непосредственно по уравнению (Д4.15). Затем вычислить расстояние между частицами 2d, соответствующее
этому расклинивающему давлению. Поскольку а можно найти из уравнения (Д3.21) по катионообменной способности и площади поверхности частиц, опреде
лим ф„ по уравнению (Д4.13). Этот расчет упрощается благодаря тому, что
ф *—ф
e s+ e s есть 2ch ф5, т. е. табулированная функция. Поскольку фгі и ф5 теперь известны, можно вычислить \ d по эллиптическим интегралам уравнения (Д4.10) или путем интерполяции по таблице Фервея и Овербека [164]. Затем находим d из уравнения (Д3.12), в котором х заменяем на d.
Для удобства вычислений можно и в этом случае, как в Дополнении 3, подставить в соответствующие уравнения принятые значения параметров и
постоянные, а концентрации ионов выражать в нормальностях |
п0. Тогда для |
||||
температуры 27° С уравнения примут вид: |
|
|
|||
Р — 25 (й0/ѵ) ( е ^ |
+ |
е ^ - г ) (10«) = 50 (Т0/ѵ) (сЬ ф й -І) (10«) дн/см2, (Д 4.15а) |
|||
|
|
ch ф5 = ch ф</ J-1,57*2 (ѵ/ге0)/Ю», |
|
(Д 4.13а) |
|
ld = 2е |
2 |
^ { F (е"Ч |
. -1 |
■ |
(Д 4.10a) |
л/2) - F (е Ч sm |
e |
||||
|
|
d = |
3,lïrf/108 (ѴЙ0) 2 . |
|
(Д 4.12а) |
73
ГЛАВА 5
Размеры почвенных частиц
5Л. Сущность и цели механического анализа
Распределение частиц, образующих почву, по размерам назы вают механическим составом почвы, а любой процесс определения этой характеристики — механическим анализом. Здесь нецеле сообразно подробно описывать различные методы механического анализа, поскольку этому посвящены специальные руководства. Достаточно упомянуть, что все обычные методы основаны на зави симости между размером частицы и скоростью, с которой она оседает в столбе вязкой жидкости, обычно воды. Поскольку седиментация есть форма взаимодействия между почвенными частицами и водой, она входит в круг вопросов, относящихся к данной книге. Попутно отметим, что одно время механический состав считали важнейшей характеристикой, определяющей механические свойства почвы. Од нако теперь известно, что минералогический состав частиц глины не менее важен, чем их количество. Механический анализ нужен и для разделения почвенных частиц на фракции с целью последующего минералогического анализа.
Самый простой метод разделения частиц на группы по размерам — это рассеивание на калиброванных ситах. Однако этот метод при меним только в тех случаях, когда не требуется разделять очень мелкие частицы. Когда же нужно разделять на фракции очень мел кие частицы, используют метод, основанный на том, что частицы оседают в воде тем быстрее, чем они крупнее. Форма частиц также оказывает влияние на скорость оседания, однако обычно, рассматри вая этот процесс, допускают, что частицы сферичны.
Таким образом, подход к оценке размера различен для разных фракций. В случае крупных фракций частицей, размер которой заключен между г г и г2, считается такая, которая прошла через сито с ячейкой шириной rlt но задержалась на сите с ячейками шириной г2. Пройдет ли частица через сито или задержится на нем, во многом зависит от формы ячейки — круглой или прямоугольной, а также от формы частицы. В мелких фракциях интервал размеров от г3 до г4 определяется измеренным интервалом скоростей оседания, а сам размер рассчитывается по скорости на основании закона Стокса, выведенного для шарообразных частиц. Ясно, что вычисленный раз-
мер, — это тот, который бы имела шарообразная частица, оседа ющая с такой же скоростью, что и реальная частица. Такие размеры осторожно называют «эффективными». В данной главе будут рас смотрены три основных закона, с помощью которых по наблюдениям за оседанием взвешенных частиц можно оценить механический состав.
5.2. Закон Стокса
Если удерживать частицу в столбе жидкости неподвижно, а за тем отпустить, она начнет падать, или оседать, с ускорением, рав ным ускорению силы тяжести g, поскольку нет сил, противодей ствующих падению. Однако как только ускорение, действующее в течение определенного времени, сообщит частице конечную ско рость, вода начнет оказывать на нее замедляющее воздействие бла годаря силам трения и ускорение уменьшится. Пока существует какое-то ускорение, скорость продолжает возрастать, а вместе с нею возрастает и сопротивление трения. Но, наконец, наступает момент, когда сила тяжести в точности уравновешена противопо ложно направленной силой трения. Начиная с этого момента уско рение становится равным нулю, а частица продолжает падать с по стоянной скоростью.
Если частица велика, она может достигнуть дна до того, как при обретет постоянную скорость. Такие частицы мы здесь рассматривать не будем. Их можно рассортировать ситами. С другой стороны, если частица достаточно мала, весь процесс может быть осложнен тепло вым движением, в результате которого установится не постоянная скорость падения, а равновесие с распределением частиц по высоте, рассмотренным в параграфе 4.7 и в Дополнении 1. Подобные ча стицы здесь также не будем рассматривать. Между двумя этими край ностями лежит целый интервал таких размеров частиц, при которых можно считать, что постоянная скорость оседания устанавливается практически мгновенно, начиная с того момента, когда частице пре доставлена возможность падать. Эта скорость ѵ связана с радиусом частицы а и с вязкостью воды ц уравнением, вывод которого дается в Дополнении 5:
V= (2л2£/9ті) (р — 1). |
(5.1) |
Здесь р — удельный вес частицы, а удельный |
вес воды принят |
за единицу. Подставив табличные значения вязкости воды и ускоре ния силы тяжести и положив р равным 2 ,6 , как у большинства почвенных минералов, получим приближенную форму уравнения (5.1):
V= 34 700а2 см/с.
Это уравнение обычно используют для вычисления а по ѵ. При точных вычислениях следует учесть температурную поправку.
Закон зависимости скорости оседания от размера частицы можно использовать тремя следующими способами. Во-первых, можно раз делить частицы на две группы. Одна из них содержит все частицы, скорость оседания которых больше, чем некоторая заранее выбранная
скорость V, и не включает каких-либо частиц, оседающих мед леннее. Другая группа содержит только частицы, оседающие со скоростью меньше ѵ. Это так называемое полное разделение фракций. Во-вторых, можно отобрать из столба жидкости с оседающими ча стицами пробу с глубины d через заданный интервал времени t и по полученным данным вычислить соотношение частиц, оседающих со скоростями большими и меньшими, чем ѵ, где ѵ имеет величину d/t. В-третьих, можно взвешивать осадок по мере его образования на дне сосуда и определить механический состав по скорости осадко образования.
5.3. Полное разделение фракций
Рассмотрим сначала те из частиц, скорость падения которых точно равна V. Предполагается, что суспензия занимает столб жидкости высотой h в цилиндрическом сосуде и что все частицы любых раз меров однообразно распределены по этой высоте с помощью энер гичного встряхивания. С того момента, когда начинается оседание, все частицы, падающие с выбранной нами скоростью, стремятся вниз, не мешая друг другу. Те, которые начнут свое падение сверху, образуют «потолок» своей группы, и поскольку этот «потолок» опу скается со скоростью V, основание колонки таких частиц в то же самое время укладывается в виде осадка на дне сосуда. К моменту, когда «потолок» достигнет «пола», пройдет время t, равное h]v, и к этому моменту осадок будет содержать все частицы, падавшие со скоростью V, независимо от того, с какой высоты они падали. «По толки» групп частиц, имеющих другие скорости оседания, к этому времени уже достигнут дна, если частицы крупнее и падают быстрее первых, или еще не достигнут дна, если частицы мельче и падают медленнее. Следовательно, к моменту t осадок будет содержать не только все частицы, оседающие со скоростью ѵ, но и все те, которые падают быстрее, а также часть тех, которые падают медленнее. Поэтому если в момент t слить жидкость, находящуюся над осадком, она будет содержать только те частицы, скорости оседания которых меньше ѵ, но не все такие частицы.
Если затем диспергировать осадок в чистой воде, повторить взбал тывание, равномерно распределяющее осадок в столбе высотой h, и провести осаждение, отстоявшаяся жидкость снова будет содер жать более тонкие частицы из осадка, хотя и не все. После повторе ния всех операций, обычно трехили четырехкратного, мы найдем, что декантируемая жидкость совершенно прозрачна, осадок содер жит только частицы, скорость оседания которых больше ѵ, и ника ких других, а декантированная жидкость содержит частицы, ско рость оседания которых меньше ѵ, и никаких других частиц.
Для полного разделения фракций требуется длительное время, особенно когда частицы невелики и скорость их падения мала, а также когда нужно разделить частицы на множество мелких фракций. В последнем случае, очевидно, прежде всего выбирают наименьшую скорость оседания, а затем подразделяют не отстоявшуюся жидкость,