ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 238
Скачиваний: 5
совсем не теми, которые останутся заполненными при сушке от нуле вой сосущей силы до той же влажности, хотя доля заполненной пористости может быть одинаковой в обоих случаях. Поэтому следо вало ожидать, что кривая, связывающая влагопроводность с влаж ностью, будет сама обладать небольшой гистерезисной петлей, что и подтвердилось в неопубликованной работе Коллис-Джорджа, сообщенной автору этой книги, а также в работе Пуловассилиса [129].
10.8.Проводимость для водяного пара
Вненасыщенном пористом материале непрерывное воздушное пространство создает путь для движения водяного пара так же, как непрерывно заполненные водой поры обеспечивают путь для жид кости. Сосущая сила, действующая в жидкости, связана с равно весным давлением водяного пара уравнением (7.1) (параграф 7.5), поэтому градиент сосущей силы, определяющий величину потока жидкости, определяет также (через градиент давления) скорость движения пара. По существу, как показано Филипом [1191 и в До полнении 23, скорость потока влаги в паровой фазе можно выразить
вформе закона Дарси через градиент напора Н в жидкой фазе
Vѵар = —К ѵар grad Я, |
(10.18) |
где |
|
К ѵар = — /т - д г ^ МД<) eMgHIRT • |
(10.19) |
В этих выражениях / и с есть соответственно общая и заполненная водой пористость, а0 — масса пара на единицу объема воздуха, находящегося в контакте с водой при нулевой сосущей силе, М — молекулярный вес воды, имеющей плотность р, R — газовая по стоянная, Т — абсолютная температура. Поскольку движение пара осуществляется путем молекулярной диффузии в воздухе, оно под чиняется закону Фика, согласно которому величина потока пропор циональна градиенту концентрации водяного пара в воздухе. Dt — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диф фузии водяного пара в воздухе; его можно найти в таблицах. Ко эффициент а можно в большинстве случаев принять равным 0,6. Поскольку здесь рассматриваются только ненасыщенные материалы, Н всегда отрицательно и является сосущей силой. В уравнении (10.18) градиент давления играет роль градиента полного потенциала, так как вследствие очень низкой плотности пара гравитационная компонента потенциала пренебрежимо мала.
Потоки водяного пара и жидкости дополняют один другого, по скольку оба потока движутся параллельно по рядам пор, запол ненных воздухом и влагой соответственно. Следовательно, общая скорость потока ѵ есть сумма гѵар и ѵш, где последняя представляет собой скорость потока жидкости по уравнению (9.8). Таким образом1,
ѵ = —[К grad Ф + K vapgrad H ]. |
(10.20) |
Определив Ф по уравнению (9.3), получим
grad Ф = grad Н -\-к,
где к — единичный вектор в направлении z. В результате из уравнения (10.20) получаем следующее:
V = — [К grad Н 4- кК], |
(10.21) |
где |
(10.22) |
к =—К —j- Кѵзр. |
|
Молекулярная диффузия водяного пара — процесс |
медленный |
по сравнению с объемным потоком жидкости, если не считать очень низких влажностей, поэтому без особой ошибки во всех случаях,
кроме весьма сухих почв, можно вместо К использовать влаго проводность К.
Д О П О Л Н Е Н И Я
Дополнение 18. Отношение проводимостей геометрически подобных пористых тел.
Рассмотрим два таких пористых тела В х и В 2, из которых одно представляет
собой увеличенную копию другого. Каждая точка первого тела имеет соответ ственную ей точку второго; расстояние между любыми двумя точками второго тела есть увеличенное в N раз расстояние между соответственными точками
первого. Пусть каждая из двух соответственных точек (по одной в каждом теле) служит началом своей системы координат. Тогда любая другая пара со ответственных точек будет иметь координаты (каждая в своей системе) х х, у г и zx в теле В х и х 2, у2 и z2 в теле В 2, так что
x2lx1= y 2fy 1 = z2/z1 = N. |
(Д18.1) |
Пусть в точке тела В х компоненты истинной скорости потока в направле ниях X , у и г будут равны а, ß и у соответственно, как и в Дополнении 17, и пусть в соответственной точке (х 2, у 2, г2) тела В 2 эти компоненты скорости имеют те же
величины. Скорость — однозначная функция координат, т. е. в данной точке может быть скорость только одной величины. Обратно, хотя характер потока через определенные пространственные промежутки может повторяться, в общем можно принять, что в маленьком элементе пространства существует только одна точка, которой свойственна данная конкретная комбинация а, ß и у, поэтому пространственные координаты можно считать однозначными функциями вели чин а, ß и у. Таким образом, можно записать:
xi =--F (а, ß, у) |
(Д18.2) |
и, учитывая уравнение (Д18.1),
x2 = N F (a , ß, у), |
(Д18.3 |
где F — некоторая функция переменных. Следовательно,
(дх/да)x = dF/да
(da,!dx)1 = l / ( d F / c a ) = V ( a> ß, у), |
(Д 18.4) |
где ¥ — другая функция п временных а, ß и у. Рассматривая точно так же ура внение (Д18.3), получаем
(8аідх)2 = (і/Ы ) У ( а , ß, у). |
(Д18.5) |
179
Дифференцируя уравнение (Д18.4) еще раз, найдем |
|
|
( д ^ а / д х ^ = (дУ/да) (да/дх)г = ¥ дЧ/да. |
(Д18.6) |
|
Проделав то же с уравнением (Д18.5), получим |
|
|
(д2а/дх*)г= ( і /N) (дЧ/да) (да/дх)2= ( і / № ) (ѴдѴ/да). |
(Д18.7) |
|
Поделив уравнение (Д18.6) на (Д18.7), |
получим |
|
(Ô2a / ^ 2)1/(ô2a /ôx2)2 = |
7V2. |
(Д18.8) |
Такие же соотношения можно получить для изменений а в направлениях |
||
у и z, так что окончательный результат имеет вид |
|
|
(V2“ )i = -W2 (у2а ) 2 |
|
(Д18.9) |
Подобное же выражение можно получить для V 2ß и Ѵ 2Ѵ- Чтобы проверить,
возможны ли предполагаемые скорости потока, применим к обоим телам уравне ния Навье — Стокса (Д17.3) для стационарного состояния (опустив члены
да/dt, dß/9I и dy/dt). Найдем
(дФ/дх)1= т) ( ѵ 2 « ) і |
|
||
и |
т. д. |
(Д18.10) |
|
(0Ф/0ж)2 = ті (у2а)2 |
|||
|
|||
и |
т. д. |
|
|
Сравнив первое из уравнений (Д18.10) с уравнением (Д18.9), видим, что условие соблюдения уравнений Навье — Стокса для тела В 2 при их соблюдении в теле В 1,т. е. условие того, что предполагаемое распределение потока является
возможным, состоит в следующем:
(дФ/дж)х = 7Ѵ2 (дФ/дх)2т |
(Д18Л1) |
То же справедливо для (дФ/ду) и (8Ф/dz). Следовательно, |
|
(grad Ф)1 = ІѴ2 (grad Ф)2. |
(Д18.12) |
Из истинных локальных значений градиента потенциала в жидкости, опре деляемых уравнением (Д18.12), можно вывести зависимость между разностью потенциалов на входной и выходной поверхностях тел в целом. Выберем в теле В 1 линию тока длиной L от входной поверхности до выходной. Длина соответ ствующей линии тока в В г будет равна NL. Соответственные точки на этих
линиях тока будут находиться на расстояниях sx и s2 |
от входных поверхностей |
|||
В, и В г, где |
|
|
|
(Д18.13) |
S 2 = N S1 |
|
|||
Поскольку (grad Ф)х — функция slt |
можно написать |
|||
I (grad Ф)і | = £ (si)> |
(Д18.14) |
|||
где £ — некоторая функция. Из уравнений (Д18.13) и (Д18.14) следует, что |
||||
I (grad Ф)х I = £ (S 2/ N ) . |
(Д18.15) |
|||
В соответствующей точке тела В 2 (grad |
Ф) 2 связан с (grad Ф)і уравнением |
|||
(Д18.12), которое в сочетании с уравнением (Д18.15) позволяет записать |
||||
I (grad Ф), | = |
(1 /ЛГ2) I |
(,,/лг), |
(Д18.16) |
|
а также |
|
|
|
|
|
s,=L |
|
|
(Д18.17) |
( Д ф ) 1 = |
J |
I (SI |
) d s j |
|
Si-o
S t- N L |
|
(ДФ)2 =(1/ІѴ2) j H s , / N ) d s t . |
(Д18.18) |
s2=о
где (ДФ)і и (АФ) 2 есть соответственно разности потенциалов между входными и выходными поверхностями тел В 1 и В г. Уравнение (Д18.18) можно переписать
Sü/N~L
(ДФ)2 = (1/Л0 J Z(s2/ N ) d ( s 2/N). |
(Д18.19) |
Sz/JV =0 |
|
Определенные интегралы в уравнениях (Д18.171 и (Д18.19), очевидно, равны, так что из этих двух уравнений получаем
(ДФ)і/(ДФ)2 = ІѴ. |
(Д18.20) |
Благодаря равенству величин потока в соответственных точках на вход ных и выходных поверхностях обоих тел величины суммарного потока пропор циональны площадям поверхностей, поэтому в обозначениях уравнения (9.6)
l( Q/t) /S h= UQ/t) /S ],. |
(Д18.21) |
Если длины обоих тел между входной и выходной поверхностями (которые нельзя смешивать с истинной длиной линии тока в пористом пространстве) равны Zj и Z2, то
г2/г1 = У.> |
(Д18.22) |
Теперь можно записать уравнение (9.6), выражающее закон Дарси, для обоих тел в форме
[(Q/t)!S]1 = K 1 ( m i l h |
(Д18.23) |
l(Q/t)/S]2= К г (ДФ),//,. |
(Д18.24) |
Используя уравнения (Д18.20) и (Д18.22), можно переписать уравнениеД18.24) в следующем виде:
KQ/t)/S]2 = K 2 (ДФh n m h ) . |
(Д18.25) |
Наконец, поделив уравнение (Д18.25) на уравнение (Д18.23) и используя уравнение (Д18.21), приходим к результату
к 2/ к 1г-,т. |
{ jJ01®-)26) |
Таким образом, если пористые пространства двух тел геометрически по добны, но размеры пор одного больше, чем размеры другого, в N раз, то влаго проводность одного больше влагопроводности другого в N 2 раз.
Дополнение 19. Скорость потока в цилиндрической трубке.
На рис. Д19.1 показаны поперечное сечение и перспективный вид цилиндри ческой трубки радиуса В и длины Z, содержащей жидкость, которая течет слева
направо за счет того, что левый конец трубки имеет потенциал ДФ по отношению к правому концу. Таким образом, градиент потенциала ДФ/Z направлен справа налево, и потому, согласно Дополнению 14, на каждую единицу веса жидкости действует сила ДФ/Z слева направо.
Рассмотрим теперь внутреннюю цилиндрическую поверхность радиуса г,
концентричную трубке в целом. Внутренняя по отношению к этой поверхности масса жидкости скользит по внешнему кольцевому цилиндру, так что оба испы тывают взаимное вязкостное [сопротивление по искривленной поверхности площадью 2ягі. Поскольку внутренний объем движется с постоянной скоростью,
без ускорения, суммарная сила равна нулю, поэтому вязкостное сопротивление должно быть в точности скомпенсировано силой, связанной с градиентом