ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 242
Скачиваний: 5
потенциала. Так как вес скользящего цилиндра жидкости равен nr2lgp, общая сила F, которая действует на него слева направо в потенциальном поле, есть
F = £рлг2гдф /г=£ряг2 АФ. |
(Д19.1) |
Поэтому вязкостное сопротивление, испытываемое цилиндром, должно иметь ту же величину, но действовать в противоположном направлении, т. е. должно быть равно —F, если по условию сохранить положительный знак за на
правлением слева направо. Вязкостное сопротивление на единицу площади криволинейной цилиндрической поверхности есть —F/(2nrl). Исходя из опре
деления вязкости [уравнение (9.21)] и помня, что направление под прямым углом к поверхности скольжения есть г, имеем
—- (£Трлг2 ДФ)/(2лг/) = г) dv/dr,
или
dv/dr-- — (gpr ДФ)/(2г]2), |
(Д 19.2) |
Ф+ДФ
Рис. Д19.1. Эле мент жидкости, текущей через ци линдрическую трубку.
тде |
V — скорость течения слева направо на радиальном расстоянии г. Помня, |
|
что V у стенки трубки, где г ~ Я, равно нулю, можно проинтегрировать уравне |
||
ние |
(Д19.2) и получить |
|
|
г;=[?рАФ/(4тіl ) ] ( F V - r * ) . |
(Д19.3) |
Следующим этапом является вычисление общего объема жидкости, проходя щего через сечение трубки за единицу времени, на основе радиального распре деления скоростей потока. Тонкий кольцевой цилиндр среднего радиуса г с толщиной стенки Ôг, двигающийся со скоростью ѵ, вносит в общий поток вклад •ô (Q/t). Подставив а из (Д19.3), найдем
ô (<?/1) = 2ягг-0г = [(л^рДФ)/[2т)0] г (Я2 —г2) 0г. |
(Д19.4) |
В пределе, когда ôr становится бесконечно малым, уравнение (Д19.4) можно записать в виде
â(Q/t)/dr = [(я£рДФ)/(2г]2)] г (Д2 _ гг)
ипроинтегрировать от нуля до Д, т. е. в пределах изменения г:
Q/t = [(я£рДФ)/(8 т}/)] Д4.
Это уравнение по форме аналогично уравнению •есть не что иное, как grad Ф, можно записать
Q / t = ( g p j i / 8 ) (Д4/ц) grad Ф.
(9.4), но поскольку ДФ/I
{ (Д19-5)
I (10.2)
Пусть щель ограничена двумя плоскими параллельными поверхностями,, отстоящими друг от друга на расстояние £ . Скорость течения жидкости равна нулю у каждой поверхности и достигает максимума в срединной плоскости щели благодаря симметрии; на равных расстояниях от этой плоскости по обе стороны скорости равны. Пусть расстояние, измеренное перпендикулярно к срединной плоскости, есть у. Можно повторить рассуждения, изложенные в Дополнении 19, рассматривая часть блока жидкости, ограниченную двумя плоскостями, которые расположены симметрично по обе стороны от центральной плоскости на расстоя нии у от нее, как показано на рис. Д20.1. Выделеннлй участок имеет единичную ширину и длину I в направлении течения. Сила F, действующая на рассматри
ваемую часть «блока» жидкости в поле потенциала Ф, равна
£ = 2gpyZgrad®. (Д20.1)
Вязкостное сопротивление равно —F, а сопротивление на еди ницу поверхности равно —F/21.
Используя определение вязкости [уравнение (9.21)] и уравнение (Д20.1), получим
—ygpgrad Ф= г|(й>/йу. |
(Д20 2 ) |
Отсюда, помня, что ѵ = 0 при у = £ / 2 , получим после интегри
рования
^=?P[(grad Ф)/2г|] (£2/4 —у2).
(Д20.3)
Тонкий слой жидкости тол щиной ôу на расстоянии у со
здает на единицу ширины вклад
впоток, равный ô (Qt), где
à(Q/t) = vôy =
= ур [(grad Ф)/2т)] (£ 2/4 —у2) by
В пределе, когда бу беско
нечно мало, получаем
d (Q/t)/dy=gp
откуда
Рис. Д20.1. Элемент жидкости, текущей' между плоскими параллельными пласти нами.
[(grad Ф)/2т]] ( £ 2/ 4 —у2),
D/ 2 |
|
|
|
Q/t — 2 j |
gp [(grad Ф)/2 гі] (£2/4 —у2) dy= |
|
|
ô |
|
|
|
= |
gp (£ 3/ 12т]) grad Ф. |
I |
(Д20.4)' |
|
|
l |
(10.3) |
Дополнение 21. Анизотропия, связанная со слоистостью. |
|
|
|
Рассмотрим тело, состоящее из слоев, характеризующихся |
толщиной D t |
||
и изотропной влагопроводностью К г. Эти слои чередуются с другими, толщина которых равна £ 2, а влагопроводность — К 2. Если в любом направлении, лежа
щем в плоскости слоев, существует градиент потенциала, каждый слой с влаго проводностью К г, в соответствии с законом Дарси, обеспечит поток —KyD1 grad Ф на единицу ширины слоя, а каждый слой с влагопроводностью К 2 обе спечит поток —A 2£ 2 grad Ф. Общий поток через все сечение, состоящее из п, пар слоев, толщиной п (£j^ -f- £ 2) равен Q/t, где
Q / t = — п (A i£ i-f K 2D2) grad Ф.
Если рассматривать то же тело как однородное и обладающее влагопроводностыо Кн в направлении потока, то величина последнего будет равна
Q / t = — К н п {ß\ + D2) grad Ф.
Сравнивая два этих выражения, получаем
^ я = ( х А + а д )/(В і + ад. { ((іоЛ2)
Если наложить градиент потенциала перпендикулярно к плоскости слои стости, то через единицу площади поперечного сечения будет проходить поток
Q/t, |
скорость которого, однако, будет меняться в слоях с влагопроводностью |
К г |
и К 2. Пусть потенциал на входной поверхности первого слоя равен Ф15 |
а потенциал на его выходной поверхности, т. е. на входной поверхности второго слоя, равен Ф2; потенциал же на выходной поверхности второго слоя есть Ф3. Применяя последовательно к каждому слою закон Дарси, получаем:
Q/t = K 1 ( 0 2~ 0 J) / D 1
(Д21.2)
Q/t = K 2 (Ф3 —Фг) / ^ 2
Если вместо этого рассматривать чередующиеся слон как единое тело с влагопроводностью^у и толщиной^(П1 + Ъ 2), получим
<?/г = Яг (Ф3 - Ф і ) / ф і + |
/>2). |
(Д21.3) |
Исключая промежуточный потенциал ® 2t с |
помощью |
уравнений (Д21.2) |
имеем |
|
|
«?/*) (Ді / * і + Я2/ й:2) = Ф3Фі. |
(Д21.4) |
|
Сравнивая уравнения (Д21.3) и (Д21.4), определим |
|
|
K y = 0 1 + D%)/(D1/ K 1+ D2/ K a). |
{ |
|
Рассмотрим п слоев, каждый из которых г имеет толщину Dr и влагопроводность Кг. Пусть плоскость спайности будет горизонтальна. Тогда, если гра
диент потенциала направлен по плоскости спайности, имеем на единицу ширины слоя
(Q/t)r = K rDr grad®.
Отсюда
|
п |
|
|
|
|
|
Ç/t = S |
а |
д |
grad®. |
|
(Д21.6) |
|
П |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для всего тела толщиной |
|
состоящего из п слоев, |
горизонтальная |
|||
•1 |
|
|
|
|
|
|
влагопроводность Кн равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
Q/t = K H ^ D r grad®. |
|
(Д21.7) |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
Сравнивая уравнения (Д21.6) |
и |
(Д21.7), найдем |
|
|
||
К н = S |
w |
/ 2 |
°г- |
I |
(Д21.8) |
|
\ |
(10.13) |
|||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Когда поток перпендикулярен плоскости спайности, так что расход на единицу площади сечения Q/t — один и тот же в каждом слое, имеем для г-го
слоя
Q/t = Kr№/Dr,
где ДФ — разность потенциалов между поверхностями слоя. Следовательно,
ДФ = Dr (Q/t)/Kr,
а полная разность потенциалов между поверхностями всего тела равна
*я
Ф= 2 |
ЛФ = (Qlt)y> Dr/ K r. |
(Д21.9) |
||
1 |
1 |
|
|
|
|
п |
|
|
|
Для всего слоистого тела общей толщиной |
и влагопроводностью |
К ѵ |
||
закон Дарси будет иметь вид |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
<?/і = йГѵ Ф / 2 ^ . |
|
(Д21.10) |
||
|
1 |
|
|
|
Сравнивая и в этом случае |
величину^ Q/t |
из уравнений |
(Д21.9) |
и |
(Д2 1 .1 0 ), находим |
|
|
ге-ш |
|
K v ^ D r l^ D r /K r . |
|
|||
Дополнение 22. Включение извилистости в уравнение Козени.
Предположим, что влагопроводность пористого тела обеспечивается прони зывающими его капиллярными трубками, как в модели Козени, но что трубки эти извилисты и потому на длину тела L приходятся капилляры длиной Le.
Рассмотрим колонку с единичной площадью поперечного сечения, между кон цами которой поддерживается разность потенциалов ДФ. Тогда, согласно закону Дарси, поток Q/t связан с влагопроводностью К уравнением
Q/t = K АФ/L. |
(Д22.1) |
Представим теперь, что проводящее тело деформировали так, что капилляры выпрямились, а их поперечное сечение осталось прежним. Теперь длина колонки будет L e, но, поскольку деформация не изменила объем, новая площадь попереч ного сечения тела будет S, где 1
L = SLe
или
S = L / L e. |
(Д22.2) |
Наш деформационный процесс не изменил ни объема твердой фазы, ни общего объема тела, ни объема пор, ни площади поверхности капилляров. Не изменился и поток Q/t, поскольку проводящие трубки остались те же. Следо вательно, поток Q/t можно связать с влагопроводностью Кт деформированного
тела уравнением
Q/t = K mS АФ/Le, |
(Д22.3) |
где Кт определяется уравнением Козени, примененным к этой новой модели из
прямых параллельных трубок:
К т = {gp/кц) (1 /Л 2) [/з/(1 - / ) 2]. |
{ (Д22-4) |
1 Точнее L • 1 см* = S L e. — Прим. ред.
В этом уравнении / и А имеют те же величины, что и в исходной недеформиро
ванной колонке, вследствие постоянства упомянутых выше объемов и поверхно стей. Из уравнений (Д22.1), (Д22.2) и (Д22.3) имеем
К = К т ( L / L e)t ,
откуда, подставляя значение К т из уравнения (Д22.3), получаем
К = (gp/kr]) ( І / А 2 ) ( L / L e)2 |
f ) 2] , |
j (Д22-5) |
Если жидкость в порах имеет электрическое сопротивление р/, то сопротив ление колонки, рассматриваемой как пучок каналов длиной Le и общей площадью
поперечного сечения s, равно
R = piLe/s. |
(Д22.6) |
Однако то же измеренное сопротивление можно выразить через размеры колонки и ее среднее сопротивление рт в форме
Я = Рт£. |
(Д22.7) |
Сравнивая эти два уравнения, получаем
L/Le=Pl/(sPm)- |
(Д22.8) |
Поскольку общий объем колонки единичного поперечного сечения есть L, тогда как объем содержащихся в ней капилляров есть sLe, пористость / равна
f = sLe/L. |
(Д22.9) |
Подставляя в уравнение (Д22.8) выражение для s из (Д22.9), получаем
(L/Le)2=(i//)(p,/pm). |
• |
{ |
Дополнение 23. Закон движения водяного пара в почве.
В свободной неограниченной массе воздуха, где концентрация водяного пара равна а, масса, проходящая единицу площади, перпендикулярной градиенту о
в единицу времени, согласно закону Фика, равна
щ — — Di grad а. |
(Д23.1) |
В этом уравнении Di есть постоянная, зависящая от давления воздуха и
называемая коэффициентом взаимной диффузии водяного пара в воздухе. В ко лонке материала, имеющего пористость /, доля которой с заполнена водой, для воздуха и для диффузии в нем водяного пара доступна лишь доля (/ — с) единич ного сечения. Далее, извилистость пути диффузии через пористое пространство должна увеличивать эффективную длину пути, поэтому истинный градиент кон центрации пара вдоль колонки в а раз меньше, чем вычисленный из ее длины. Извилистость возрастает, и, следовательно, а уменьшается по мере того, как
увеличивается влажность, сокращая пористость, доступную для диффузии пара. Однако при таких высоких влажностях доля пара в общем переносе влаги ничтожна. При тех влажностях, при которых существен перенос пара, а можно
считать константой, равной приблизительно 0,6. Следовательно, плотность потока водяного пара в ненасыщенном пористом материале, в котором суще ствует макроскопический градиент концентрации пара grad а, равна
гуар= —<*(/ — c)Z>jgrad(T. |
(Д23.2) |
Если концентрация пара, находящегося в равновесии со свободной водой при нулевом гидростатическом давлении, есть а0, то концентрация пара над водой,