Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Согласно уравнениям (11.8) и (11.9), поток влаги пропорционален градиенту влажности в направлении потока; такому же закону — закону Фика — подчиняется молекулярная диффузия растворенного вещества в растворителе. В этом случае коэффициент пропорци­ ональности D называется коэффициентом диффузии. Что касается рассматриваемых явлений, то хотя никто не утверждает, что вода движется через порозное пространство пористых тел путем молеку­ лярной диффузии (поскольку приведенные выше уравнения есть просто разновидность закона Дарси для объемного течения под действием градиента потенциала), коэффициент D из уравнения (11.6) обычно тоже называют коэффициентом диффузии воды в почве.1 В этом смысле говорят о диффузии воды в почве.

С

Рис. 11.1. Вычис­ ление коэффици­ ента капиллярной диффузии D по

влагопроводности К и дифференци­

альной влагоемко­ сти dcjdH.

В более сухих почвах, где движение пара составляет существен­ ную долю общего потока влаги в уравнении (11.6), предпочтительнее

использовать полную влагопроводность К (параграф 10.8). С ее

помощью вместо D получают полный коэффициент диффузии D. Отметим, что более сложные уравнения (11.1)—(11.2) не приводят

к уравнениям (11.8)—(11.9). Эти более сложные виды переноса нельзя описать как «диффузию», поскольку они не подчиняются уравнениям теории диффузии. Дело не только в том, что коэффи­ циент диффузии придется выражать весьма сложным образом, сама теория диффузии оказывается неприменимой. Далее, следует ука­ зать, что даже в простейшем случае, т. е. при вертикальном движении влаги, к которому относится уравнение (11.10), закон Фика описы­ вает процесс неадекватно, поскольку учитывает только одну соста­ вляющую такого потока влаги. Этот факт играет важную роль при последующем анализе развития профилей влажности в почве.

В качестве примера построения графика зависимости коэффи­ циента диффузии от влажности на базе основных кривых — зависи­ мости Н и К от с — приведем рис. 11.1. На графике влажностной характеристики в интересующей нас точке, соответствующей влаж­ ности с, которая обозначена общей ординатой, проводят касательную

1 Указанный термин diffusivity в отечественной литературе нередко переводят словом «диффузивность». Мы предпочитаем выражение «коэффициент капилляр­ ной диффузии», или просто «коэффициент диффузии влаги», которое и будем использовать далее без оговорок. — Прим, перев.

и определяют ее наклон dH/de. Затем считывают значение К с соот­ ветствующего графика, умножают его на производную и произве­ дение К (dH/de), т. е. коэффициент диффузии D, откладывают на третьем графике.

Интересно, что когда влагопроводность К можно рассчитать по влажностной характеристике, как описано в параграфе 10.5, зависимость D от с удается вычислить по одной лишь влажностной характеристике.

Поскольку влажностная характеристика подвержена гистере­ зису, а ее наклон есть фактор, от которого зависит D, само D также должно быть подвержено гистерезису. Меньший гистерезис зависи­ мости К от влажности вносит соответственно и меньший вклад в ги­ стерезис D. Поэтому когда рассматриваются задачи, где встречается коэффициент диффузии, необходимо следить, чтобы величина D была выбрана правильно, в соответствии с историей сушки и увлаж­ нения образца.

11.2. Закон Дарси с учетом гистерезиса

Рассматривая уравнение (11.2), являющееся математической фор­ мулировкой закона Дарси для случая, когда в истории передвижения влаги был только один переход (например, от увлажнения к сушке) и когда профиль влажности непостоянен, можно несколько углубить наш анализ. Если подставить grad Н из уравнения (11.2), закон Дарси примет вид

V= — К (grad Я -f к) *= — К [(дН/дс) grad с -f

Составляющие в горизонтальном направлении ж и в вертикальном направлении z равны соответственно:

Физический смысл (дН]дс)г и его связь с (дН/дс) можно выяснить, рассмотрев гистерезис и диаграммы независимых доменов. На рис. 1 1 .2 показаны две первичные кривые сушки, одна из которых начинается на граничной кривой увлажнения при влажности сг, а другая начинается с влажности сг + бсг. При общей влажности с соответствующее давление на первой кривой есть Н, а на второй Н + 6Я. Поскольку 8Н отрицательно, сосущая сила в этом случае выше. Отношение ЬН]Ьсг, таким образом, отрицательно, и в пределе, когда 8сг бесконечно мало, это отношение стремится к предельной величине дН]дсг. При постоянной сп т. е. вдоль первичной кривой, начинающейся с сг, величина дН]дс просто обратна наклону кривой, поскольку сам наклон равен дс/дН. Это отношение положительно.

Обратимся теперь к соответствующей диаграмме независимых доменов (рис. 11.3). В точке сг (показанной на рис. 11.2) на гранич­ ной кривой увлажнения состояние поровой воды отмечено горизон-

тальной прямой, проходящей через соответствующее давление, кото­ рое для процесса увлажнения обозначается символом H t . Элементы порового пространства, изображаемые участками под этой линией, заполнены, а остальные поры пусты, так что влажность сг равна

отрицательно и равно прежнему изменению, то влажность станет равной с + 8с и изобразится объемом, стоящим на основании ALJU. Следовательно, 8с также отрицательно, а его величина изображается объемом, стоящим на основании JLCD. Таким образом, 8Н]8с в дан­ ном случае есть отношение 8Не к объему, стоящему на основании JLCD, т. е. величина положительная, поскольку оба приращения отрицательны.

Из уравнений (11.14)—-(11.15) следует, что 8Не/8сг и 8Не/8с имеют разные знаки и что величина последнего превосходит величину первого. При предельных уменьшениях изменений Н и с получается, что дН]дс и дИ]дсг тоже разного знака и что

где \ дН]дс \ обозначает абсолютную величину частной производной. Интуиция подсказывает, что перераспределение влаги по про­ филю после впитывания стремится уменьшить градиент влажности, как это и будет показано в параграфе 12.13, так что градиент влаж­ ности дс/дх в данной точке в данный момент стремится стать меньше, чем градиент дсг]дх в момент изменения хода процесса. Таким

образом,

Итак, из уравнений (11.16)—(11.17) следует, что произведение (дН]дс){дс]дх) стремится стать того же порядка, что и (дН/дсг)(дсг]дх), и что эти два произведения имеют противоположные знаки. Следо­ вательно, члены в квадратных скобках уравнения (1 1 .12) в ходе перераспределения влаги стремятся нейтрализовать друг друга, и потому вполне возможно, что скорость ѵх станет равной нулю, когда еще сохраняется заметный градиент влажности.

В случае вертикального впитывания и перераспределения ско­ рость ѵг не может упасть до нуля до тех пор, пока произведение (дН]дсг) (dcr/âz) не превысит произведение (дН/дс)(дс/дг) на единицу, что менее вероятно.

11.3. Уравнение неразрывности

Когда характер течения жидкости в пористой среде сложен

ипоток меняется по величине и направлению как во времени, так

ив пространстве, обычно обнаруживается, что непосредственное применение закона Дарси не дает полезных результатов. Однако

сочетая закон Дарси с выражением для баланса воды, втекающей в небольшой элемент объема тела и вытекающей из него, можно получить дифференциальное уравнение, содержащее только ска­ лярные величины, такие, как влажность, гидравлический потенциал или гидравлическое давление. Это уравнение известно как уравнение неразрывности. Решения такого уравнения, когда их можно полу­ чить, имеют форму распределения скалярной величины во времени и в пространстве. Так, наиболее общая форма уравнения неразрыв­ ности для поровой влаги, как показано в Дополнении 25, выглядит следующим образом 1:

или в альтернативной форме, если вместо Ф выбрана другая пере­ менная,

Эти наиболее общие формы упрощаются в частных случаях, на­ пример когда материал — изотропный или насыщенный, или когда поток стационарен, или когда он одномерен. Так, и для стационар­ ного потока, и для насыщенной среды dc/dt равно нулю, а в послед­ нем случае, кроме того, влагопроводность вдоль пути потока не меняется. Тогда уравнение (11.18) принимает вид

Если материал изотропен, то при написании К можно опустить индексы, тогда форма уравнения становится очень простой:

где q — вектор потока влаги. Тогда, соединяя его с законом Дарси, получают уравнение (11.18). — Прим. ред.