ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 247
Скачиваний: 5
Это хорошо известное уравнение Лапласа, одно из наиболее исследованных основных уравнений физики.
Даже когда материал анизотропен в отношении влагопровод ности, уравнение (11.21) можно свести к уравнению Лапласа, подо брав соответствующее преобразование координат. Выбираются новые координаты X, р и ѵ, такие, что
X — X
|
\і-=у {KjKypï |
(11.23) |
|
|
V ==z(KjKz)~b |
|
|
Тогда 1 |
|
|
|
ь/' - |
д2ФІдх2 = д2Ф/дХ2 |
|
|
|
д2Ф/ду2.-=• (д2Ф/ду2) (Кх/Ку) |
(11.24) |
|
|
д2Ф/дг2- |
(д2Ф/дѵ2) (Kx/Kz) |
|
Подставляя уравнения (11.24) в уравнение (11.21) и деля на Кх, |
|||
получим |
уравнение Лапласа |
в преобразованных |
координатах, |
а именно: |
|
|
|
|
д2Ф/дХ2+ д2Ф/дц24- д2Ф/дѵ2 = 0. |
(11.25) |
|
: Таким образом, преобразуя форму тела в соответствии с уравне |
|||
нием (11.23), мы сводим задачу о потоке в насыщенном анизотропном материале к задаче о потоке в изотропном теле. Если для такого преобразованного тела можно получить решение, то обратным пре образованием этого решения к первоначальной форме можно полу чить решение и для исходного материала. В Дополнении 26 показано,
что изотропная влагопроводность преобразованного тела равна |
ц,ѵ, |
|
где |
\ |
|
|
|
|
' |
К ^ = (КуКг)Т . |
(11.26) |
Такие задачи, связанные с анизотропными насыщенными мате риалами, не вызывают особых затруднений.
Благодаря симметричности системы иногда может упроститься даже уравнение Лапласа. Например, далее мы будем рассматривать задачу о поддержании уровня грунтовых вод с помощью системы параллельных дрен, расстояние между которыми мало по сравнению с их длиной. В этом случае поток, если не говорить о зоне вблизи концов линий дрен, практически перпендикулярен направлению дрен, и потому можно ограничиться анализом движения воды в пло скости, содержащей оси у и z (х — направление дрен). Тогда урав нение (1 1 .22) примет двухмерную форму ’
|
|
д2Ф/ду2-f д2ф/дг2 —0. |
(11.27) - |
1 |
Последнее верно только при условии, что р/у = const и v/z = |
const’. — |
|
Прим. |
ред. |
4 |
|
Глава 12 будет посвящена таким явлениям, при которых движе ние воды в почве ограничено одним направлением, обычно вер тикальным, например случаем, когда на обширную плоскую поверх ность почвы выпали осадки, которые просачиваются вглубь, или случаем, когда после впитывания вода движется вверх к равно мерно испаряющей поверхности. Для движения влаги в горизон тальном направлении х уравнения (11.19) и (11.20) принимают вид
dc/dt = d[Kx{dH/âx))/dx |
(11.28) |
и |
(11.29) |
dc/dt = д [Dx(dc/dx)]/dx. |
|
Для вертикального движения в направлении z имеем |
|
dc/dt = д [Кг {dHjdz) -f Kz]/dz |
(11.30) |
и |
(11.31) |
dc/dt — d \Dz{dc/dz) + Kz]/dz. |
Даже когда поток влаги направлен вертикально, может слу читься, что член Kz очень мал в сравнении с Dz {de]dz), например когда поток движется в относительно сухой почве, где и К, и D малы, но могут существовать высокие локальные градиенты влажности dc]dz. Когда благодаря этому можно пренебречь гравитационным членом, уравнение (11.31) сводится к более простому уравнению (11.29).
Уравнения (11.28)—(11.31) показывают, что влажность в некото рой точке изменяется с течением времени. Скорость этого изменения является функцией формы профиля влажности, т. е. кривой распре деления с по X или г. Решения этих уравнений позволяют получить кривые зависимости с от і или z для любого момента времени. В от дельных случаях удобнее следить за изменением профиля влажности во времени, если задаться некоторой влажностью и проследить за движением точки, в которой наблюдается эта влажность. Например, за развитием профиля влажности можно наблюдать, прослеживая нисходящее движение фронта смачивания. В этом случае отыски вается не {dc]dt)x или (dc/dt)z, а (dx/dt)c или {dz]dt)c. Для этого исходят из уравнения, выражающего с как функцию z u t , когда обе эти величины — переменные. Если z изменилось на небольшую вели чину ôz, a t увеличилось на 8t, то общее увеличение влажности со ставит
8с = {dc/dt) 8t + {de/dz) ôz. |
(11.32) |
Если же рассматривать точку, в которой влажность с остается постоянной, то при движении этой точки на расстояние Ôz за время ôt, т. е. при скорости ôz/ô£, изменение влажности будет равно нулю, так что из уравнения (11.32) для этого случая получаем
{dc/dt) 8t + {de/dz) ôz = 0 .
Следовательно, когда приращения z и t достаточно малы, чтобы
среднюю скорость перемещения d z j d t можно было |
считать равной |
мгновенной скорости d z j d t , имеем |
|
dz/dt —— (dzjdc)(dcjdt). |
(11.33) |
Подставляя в уравнение (11.33) значение dcjdt, например из
уравнения (11.30), получаем |
|
— (de/dz) (dz/dt) = d [Kz (dHjdz)-\- K z\/dz, |
|
или |
(11.34) |
- dz/dt = а [Kz (dH/dz) + Kz]jdc. |
Это форма уравнения неразрывности, определяющая dz]dt. Ис пользуя значение dcjdt из уравнения (11.31), получим эквивалентное выражение
—dzjdt — d [Dz (dcjdz) -{-Kz]jdc. |
(11.35) |
Таким же путем с помощью уравнения (11.28) и (11.29) можно написать
— dxjdt —d [Кх (dHldx)\ldc, |
(11.36) |
—âx/dt — â[Dx(dc/dx)]/dc. |
(11.37) |
Д О П О Л Н Е Н И Я
Дополнение 24. Переход от градиента давления в ненасыщенном пористом материале к градиенту влажности.
Когда ненасыщенный пористый материал находится в переходном состоянии, различие давления воздуха в разных точках порового пространства не позволяет однозначно связать влажность с гидростатическим давлением. Приходится рас сматривать две различные потенциальные функции: Фш для воды, движущейся по увлажненным порам, и Фа для движущегося воздуха. В этом случае выгодно принять определение потенциала, основанное на единичном объеме флюида [уравнение (9.1а)]. Таким образом,
Фш= -ри« + гРш^
Фa= P a+gPa*-
Поскольку плотность воздуха р„ в данном случае ничтожно мала, гравита ционной составляющей Фа можно пренебречь, так что
Фо= Ра-
Применяя к каждому флюиду в отдельности закон Дарси, получим
vw = —K w grad Фш= —if ц, (grad P w+gPwk), |
(Д24-1) |
va = — K a grad Фа = — К а grad Ра. |
(Д24.2) |
Межфазное давление Р с, от которого зависит влажность, определяется выра |
|
жением |
|
Рс — Р w Ра- |
(Д24.3) |
Из уравнений (Д24.1) и (Д24.3) имеем |
|
vw = - K w (grad Рс+ grad Ра + gpwk). |
(Д24.4) |
vw— K w (grad P c-j- SPwk) ~\~vaK w! K a' |
(Д24.5) |
Если поровый воздух свободно сообщается с атмосферой, то стационарный режим потока означает постоянство влажности, а потому и постоянство воздухосодержания во всех точках; скорость потока воздуха равна нулю, последний член правой части уравнения (Д24.5) можно опустить. Если же свободный объем пор сравним с объемом пор, содержащих воду, то вследствие ничтожной вяз кости воздуха Ка намного превышает Kw, а потому последним членом правой
части уравнения (Д24.5) опять-таки можно пренебречь даже для нестационарного потока. Когда же пористое пространство почти полностью насыщено водой и дви жение воздуха сильно ограничено, отношением K w/K a нельзя пренебречь,
несмотря на ничтожную вязкость воздуха, и анализ, который следует далее, применять нельзя.
Когда движение воздуха либо пренебрежимо мало, либо почти ничем не ограничено вследствие высокого значения Ка в достаточно ненасыщенных порах,
различия давления воздуха в разных зонах материала невелики. Почвенный воздух связан с атмосферой. Следовательно, Ра всюду равно внешнему атмо
сферному давлению, которое принимается за условный нуль. В этом случае уравнение (Д24.3) обнаруживает идентичность Рс и Pw. В случае, когда отноше ние проводимостей K wjK a пренебрежимо мало, уравнение (Д24.5) идентично уравнению (Д24.1). Следовательно, давление Рс, которое связано с влажностью с, то же, что и давление Рт градиент которого входит в уравнение Дарси, а dPjdc идентично dPw/dc. Поэтому подстрочные индексы несущественны, и в дальней
шем их можно опустить.
Градиент влажности определяется через те же величины, которые использо вались для определения градиента потенциала в параграфе 9.1, т. е. его соста
вляющие в направлениях х, у и z есть соответственно дс/дх |
dc/dy и dc/dz. |
Поэтому |
(Д24.6) |
grad c= i дс/дх-)-j дс/ду-)-k delâz. |
Однако различные точки профиля влажности лишь в частных случаях имеют одинаковые истории смен сушки и увлажнения. Следовательно, действующее отри цательное гидростатическое давление будет зависеть не только от существующей влажности с, ной от относящейся к данным условиям кривой развертки, а эта последняя определяется последовательными значениями влажности при переходе от увлажнения к сушке или обратно. Если обозначить влажность при г-ом переходе, общее число которых п, как гс^, можно записать, переходя от давлений
Р к напорам Н, |
|
|
H ~ f (с, 1cL, 2Cl , . . |
rcL, . . ., ncL), |
|
где / в данном случае означает «функция». Далее, |
|
|
г=п |
|
(Д24.7) |
дН/дх=(дН/дс) (dc/dz)+ 2 |
(дН/ дгсі ) (дгсь / дх)- |
|
Дифференцируя по у и z, получаем |
|
|
дН/ду=(дН/дс) (дс/ду) + £ |
(ЗЯ/d ^ ) ( д ^ / д у ) |
|
1 |
|
(Д24.7а) |
П |
|
|
|
|
|
дН/ dz — (дН/дс) (dc/dz) + 2 |
(dK/d^c^) (d^Cj /dz) |
|
X