Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

него. Тем не менее если уровень грунтовых вод рассматривать как заданную поверхность постоянного нулевого давления, то можно считать заданным и потенциал, и потому этот уровень служит входной поверхностью потока с заданным потенциалом, а дрена является выходной эквипотенциалью. Получающаяся гидродинами­ ческая сетка определяется как этими границами, так и граничными линиями тока, которые заданы условиями симметрии. Тем самым определяется и скорость потока.

В частности, может быть найдено распределение потока, прохо­ дящего через уровень грунтовых вод. Если подобное распределение потока через уровень грунтовых вод поддерживается постоянным за счет определенного притока извне, например осадками, то уровень грунтовых вод остается стационарным. В других случаях он будет смещаться. Если интенсивность осадков меньше той, которая тре­ буется при данном потенциале уровня грунтовых вод, вклад в поток вносят сами грунтовые воды за счет сработки их уровня; если же интенсивность осадков слишком велика, происходит накопление грунтовых вод и их уровень поднимается. В любом случае уровень грунтовых вод наконец установится на такой отметке, что скорость поступления воды в точности скомпенсируется оттоком в дрены в соответствии с потенциалом уровня грунтовых вод, определяемым его формой и положением.

На каждой переходной стадии между начавшимся изменением граничных условий и окончательным стационарным состоянием будет иметь место такое распределение потока, соответствующее положению уровня грунтовых вод, которое отвечало бы и величине притока, если бы данная фаза была стационарной. Каждая такая переходная фаза может рассматриваться как мгновенное стационар­ ное состояние, соответствующее данному распределению потока, проходящего через уровень грунтовых вод. fc

Следующие четыре главы касаются стационарных состояний, которые мы рассмотрим перед тем, как проследить ход изменений нестационарного процесса во времени.

1 Дополнение 33 исключено, так как оно посвящено выводу известной фор­ мулы Эйлера (14.1) — Прим. ред.

Следовательно, суммируя уравнения (Д34.4) и (Д34.6), получаем d%W / ÔÆ2 -f Ö2Wjd z 2 = 0.

Это так называемое уравнение Лапласа, которому, таким образом, удо­ влетворяет функция W (р), являющаяся поэтому его решением. W (р) есть любая

функция р, поэтому вывод будет общим. Далее, из уравнения (Д34.2)

d*W/âx2 + d^Wjdz^ = d m j d x ï -f d m jdz2 + i (d^/âx^ + dH}jdz*) = 0 .

Следовательно, действительная и мнимая части уравнения порознь равны нулю, благодаря чему можно получить два уравнения:

d m j d x ’i + ô2(D/dz2 = о,

+ 02ф/дг2 = 0.

Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, получаем:

Далее, дФ/дх есть составляющая градиента Ф в направлении х, так что

ЗФ/Зж = cos Ѳgrad Ф,

а также

dФ/dz = sin Ѳgrad Ф,

где Ѳ — угол, образуемый направлением grad Ф с осью х. ~ Точно так же можно показать, что

ôty/dx = cos Ѳ' grad ф,

Зф/Зг = sin Ѳ' grad ф,

где Ѳ' — угол между осью х и направлением градиента ф. Подставив эти зна­

чения в уравнения (Д34.9) и (Д34.10), получим

Разделив уравнение (Д34.12) на уравнение (Д34.11), найдем

tg 0 = — ctg 0 ' = tg (0 ' — я /2 ).

Следовательно,

0 ' — 0 = я /2 .

Это показывает, что в точке пересечения градиент Ф находится под прямым углом к градиенту ф. А поскольку градиент каждой из функций находится под прямым углом к изолиниям данной функции, следует, что изолинии Ф в точке пересечения находятся под прямым углом к изолиниям ф.

Поскольку Ф удовлетворяет уравнению Лапласа, оно представляет собой решение для функции потенциала. В таком случае изолинии Ф представляют собой эквипотенциали, и тогда изолинии ф должны быть линиями тока, а само ф — функцией тока. Однако в равной мере и ф может изобразить функ­ цию потенциала, поскольку оно также удовлетворяет уравнению Лапласа; при этом Ф становится функцией тока.

ГЛАВА 15

Движение грунтовых вод: приближенные решения

15Л. Численные решения уравнения Лапласа методом последовательных приближений

Идею о том, чтобы проверить, соответствует ли полученное любым путем распределение потенциала уравнению Лапласа, можно считать разумной, поскольку из распределения можно получить его вторые производные и убедиться, выполняется ли равенство

удовлетворяет уравнению Лапласа, требует дальнейшего обсужде­ ния. Хотя есть методы, применимые и к трехмерным задачам, осо­ бенно с помощью современных вычислительных машин, обычно огра­ ничиваются двухмерными задачами, о которых здесь и пойдет речь.

Распределение потенциала можно изобразить в форме геометри­ ческой сетки квадратов, прямоугольников или равносторонних тре­ угольников, построенной в границах пространства, изображающего данную задачу. Пересечения сетки помечены соответствующими зна­ чениями потенциала. Уравнение Лапласа записывают в форме конеч­ ных разностей потенциала между смежными узлами сетки. Для этого допускают, что между такими узлами градиент потенциала постоя­ нен, и потому расстояние между ними не должно быть велико. По­ скольку в некоторых частях системы потенциал может изменяться сильнее, чем в других, сетка в первых должна быть гуще, чем во вто­ рых. Существуют способы размещения этой более густой сетки в ячей­ ках редкой сетки.

На рис. 15.1 показан участок сетки, состоящей из прямоуголь­ ных ячеек, а также изображена точка с потенциалом Ф0, окружен­ ная четырьмя другими точками, потенциалы которых равны соответственно Фх, Ф2, Ф3 и Ф4. Обозначим символом А шаг по вертикали, т. е. расстояние между точками с потенциалами Ф3 и Ф0 или Ф0 и Фх; шаг по горизонтали пусть будет равен N А, где N — постоянный численный коэффициент. Тогда частные производ­ ные можно заменить следующими приближениями:

точкам которой предположительно приписывают некоторые значения потенциала, руководствуясь только значениями потенциала на гра­ ницах. Например, в такой точке, как 0 (рис. 15.1), предполагаемое значение потенциала будет Ф0 вместо истинного Ф0 и так же для остальных точек. Поскольку выбранные таким образом значения потенциалов в узлах сетки могут не удовлетворять уравнению Ла­ пласа, в общем случае мы найдем для сетки с квадратными ячейками

где R называется остатком. Цель метода состоит в том, чтобы путем систематического подбора потенциалов свести все остатки к нулю. Для этого, опустив все штрихи и обозначив предполагаемые значения по­ тенциала через Ф, записывают

потенциала в данном узле сетки на некоторую величину увеличивает на ту же величину остаток во всех соседних узлах, поскольку Ф! является общим для всех четырех со­ седних ячеек.

Метод состоит в следующем. Вычисляют остатки для каждого из узлов ячейки и начинают с исключения наибольшего остатка. Это можно сделать, увеличив потенциал в этом узле на одну четверть остатка, если последний положителен, или уменьшив его на такую же величину, если остаток отрицателен. Поскольку избранный узел сетки является в то же время центральной точкой релаксационной схемы и периферической точкой каждой из четырех окружающих единичных схем, остатки в каждом из четырех окружающих узлов следует в первом случае увеличить, а во втором уменьшить на вели­ чину, равную указанному изменению потенциала. В результате этих изменений остатки в окружающих узлах могут стать меньше или больше, но в любом случае изменения будут сравнительно малы, так что в целом произойдет улучшение распределения потенциалов. За­ тем обращаются к наибольшему из оставшихся остатков и так далее. В конце концов после таких операций все остатки уменьшаются до