Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Как отмечалось, движение пресной воды, стекающей в грунтовые воды и дренируемой берегами моря, осуществляется между припод­ нятым уровнем грунтовых вод и границей пресной и соленой воды, которая опущена ниже уровня моря. Требуется найти форму и поло­ жение этих границ в функции от интенсивности осадков q и влаго­ проводности почвы К. Если Zf — высота уровня грунтовых вод, а Zb — высота границы между пресной и соленой водой, измеренные от отметки водоупора, то при условии, что граница не достигает водо­ упора, искомые уравнения имеют вид (Дополнение 36):

Наивысшая точка уровня грунтовых вод mZf находится в среднем сечении, где х = L, так что из уравнения (15.18)

Точно так же наинизшую точку границы между соленой и пресной водой mZb находим из уравнения (15.19) при х = L:

Из уравнений (15.18) и (15.19) следует, что, как показано более подробно в Дополнении 36,

Если принять для ps обычное значение 1,025, то из уравнений >(15.20)—(15.21) получим:

■jr (mZf - Z 0) = (0,025q/KjT,

~j/-(Z0~ mZb) = (39q/K)~^,

a уравнение (15.22) сведется к следующему:

( Z f - Z 0)/(Z0- Z b) = 0,025.

Граница между пресной и соленой водой не может опуститься ниже водоупора, поэтому уравнения (15.20)—(15.21) нельзя при­ менять при таких больших отношениях q/К, при которых, чтобы удовлетворить уравнению (15.21), требуются отрицательные значе­ ния mZb. Но и при таких величинах q/К уравнения (15.18)—(15.19) еще можно применять для всех х, меньших чем хе, при котором Zb = = 0. Это значение хе можно найти из уравнения (15.19), подставив

Для больших значений х, где пресная вода залегает непосред­ ственно на водоупоре, значение Zf можно получить из уравнения

Вместо двух пределов Z и Z 0 уравнения (15.14) имеем в данном случае пределы Zf и JZf. В наивысшей точке, где х = L, Zf имеет максимальную величину mZf, определяемую формулой

Поскольку eZf известно из уравнения (15.23), Zf для значений х, превышающих хе, можно получить из уравнения (15.24), a mZf

всредней точке перешейка — из уравнения (15.25).

15.4.Сравнение приближения Дюпюи—Форхаймера

сточным решением

Когда поток осуществляется между двумя вертикальными плос • кими поверхностями, достигающими водоупора, и распределение потенциалов на них известно, скорость потока можно определить

спомощью точной теории, которая развита Полубариновой-Кочиной

[127]для случая постоянной влагопроводности и распространена Янгсом [180, 181] на случай переменной влагопроводности. Здесь мы рассмотрим только первый случай, поскольку хотим изложить принципы метода без тех математических усложнений, которые воз­ никают в более общей теории.

Если составляющая скорости потока в горизонтальном направле­ нии X есть ѵх = —КдФ/дх, то общий поток через вертикальную секцию единичной ширины от водоупора до уровня грунтовых вод,

dJ/dx — J (дф/дх) dz + Ф2 (dZ/dx).

о

Поскольку на уровне грунтовых вод Ф тождественно Z, это урав­ нение с помощью уравнения (15.26) можно переписать так:

dJ/dx = —Q/K - f Z (dZ/dx),

и после интегрирования от х г до х 2

Х г

А - А = - ( ! / £ ) j Qdx + ( Z l - Z \ ) / 2.

Зіі

Используя уравнение (15.27), этот результат с помощью некото­ рых преобразований можно привести к виду

приточной воды по горизонтальному водоупору к вертикальному от­ косу канала, когда можно допустить, что на достаточном расстоянии вверх по течению от этого откоса эквипотенциали являются верти­ кальными плоскими поверхностями. Данный случай идентичен слу­ чаю течения воды между вертикальными откосами земляной дамбы или плотины.

Используя уравнение (15.28), будем считать, что нижний откос совпадает с эквипотенциалью х 2, а эквипотенциаль верхней точки имеет координату х г, причем эту отметку удобно принять за начало оси X. Пусть высота уровня грунтовых вод в этой точке будет Zm. Если верхняя граница совпадает с вертикальным откосом дамбы, Zm является также высотой уровня воды в верхнем бьефе. Внизу по течению или на вертикальном откосе канала, находящемся на расстоянии L от верхней эквипотенциали, уровень приточной воды примем за Zw, а высоту уровня грунтовых вод в массиве непосред­ ственно у этого откоса — за ZL. Тем самым предполагается нали­ чие поверхности высачивания на нижнем откосе между уровнями Zw и ZL, где вода свободно вытекает при нулевом давлении.

Теперь можно использовать уравнение (15.28). На верхней экви­ потенциали при X = 0 потенциал Фг все время равен Zm или Z x. Таким образом, исчезает первый член в правой части. На отметке L при X = х 2 потенциал Ф2 равен Zwдо высоты Zw, но между Zw и ZL, которое соответствует Z 2, потенциал равен высоте z. Поэтому уравне­ ние (15.28) принимает вид

В нашем случае Q между границами не имеет приращений и по­ тому постоянно, следовательно, в конечном счете

(Q/K) = (Z*m- Z l ) / 2 L .

Именно такой результат получался и в приближении Дюпюи — •форхаймера [уравнение (15.11)], где предполагалось, что эквипо­ тенциали всюду вертикальны и где поэтому мы допускали, что по­ верхность высачивания на нижнем откосе отсутствует. Таким обра­ зом, получается, что ошибки, связанные с двумя упомянутыми до­ пущениями, случайным образом взаимно компенсируются.

Теперь можно применить теорию к дренированию местных осад­ ков системой эквидистантных параллельных каналов, отстоящих друг от друга на расстояние 2L. Благодаря симметрии медиальная плоскость между парой дрен является линией тока, делящей гидро­ динамическую сетку на два водосбора, которые представляют зер­ кальные отражения друг друга. На этой плоскости удобно поместить начало оси х. Таким образом, полный поток, проходящий через се­ чение X , равен количеству осадков, выпадающих на участок водо­ сбора между медиальной плоскостью и вертикальной плоскостью х.. Итак,

Условия для откоса канала, определяющие второй интеграл пра­ вой части уравнения (15.28), те же, что и раньше, но распределениепотенциалов на медиальной плоскости неизвестно. Однако пределы, между которыми заключены эти потенциалы, известны. В одном из предельных случаев величина вертикального потока всюду на этой плоскости должна быть равна нулю, поэтому, как и в случае приточных вод, эта поверхность будет эквипотенциалью. Тогда вся

Снова замечаем, что полученный результат идентичен формуле Дюпюи — Форхаймера для этого случая [уравнение (15.15)], кото­ рое, таким образом, является одним из пределов точного решения.

В другом предельном случае можно допустить, что вертикальная составляющая скорости потока с момента возникновения осадков одинакова во всех точках и равна —q. Применяя закон Дарси к вер­ тикальному потоку в этой плоскости, получаем

— q — —К (dOJdz).

Известно, что потенциал на уровне грунтовых вод равен высоте z его поверхности, т. е. Zm, поэтому путем непосредственного интегри­ рования получим

Первый интеграл в правой части уравнения (15.28) теперь уже не равен нулю, но в остальном решение остается таким же, как уравнение (15.31). Поэтому, подставляя уравнения (15.30) и (15.32) в (15.28) и интегрируя, получаем

Таким образом, из двух предельных случаев, выражаемых урав­ нениями (15.31) и (15.33), очевидно, что истинное значение Zmr

высшей точки уровня грунтовых вод, лежит между пределами, выра­ женными в форме

q/K + Z*w/L*<Z*m/ f J < (q/K + Z% /L*)l(i-q/K ). (15.34)

Следовательно, при qJK, не превышающих 0,1, разность между этими пределами не превышает 10%. Распространив теорию на слу­ чай вертикальной и горизонтальной слоистости почвы, Янге [180, 181] представил типичные кривые, показывающие, что в большинстве случаев разность между пределами невелика. В цитируемом частном случае сравнение с экспериментальными наблюдениями, выполнен­ ное с помощью электроаналогов, свидетельствует, что допущение с постоянстве вертикального потока q по медиальной плоскости дает результаты, более близкие к истинным, чем те, которые следуют из приближения Дюпюи — Форхаймера. Один из важных результатов работы Янгса состоит в доказательстве того, что простая расчетная схема Дюпюи — Форхаймера может применяться даже тогда, когда коэффициент фильтрации разных частей профиля различен.

Ограниченность этой модификации точной теории состоит в том, что она не раскрывает форму поверхности уровня грунтовых вод между граничными плоскостями, однако обычно это не имеет боль­ шого значения. Главный интерес представляет высота уровня в наи­ высшей точке.

Д О П О Л Н Е Н И Я

Дополнение 35. Некоторые релаксационные формулы.

■а. Неполные сетки

Когда границы задачи пересекают линии сетки, образующие релаксацион­ ную ячейку, релаксационная схема становится неполной, как показано на рис. 15.2. В этом примере интервал между каждым из трех узлов ячейки и цен­ тральной точкой равен полной стороне ячейки А, тогда как четвертый узел, потенциал в котором равен Фх, отстоит от центрального узла на расстояние геД, где п — доля единицы.

Если допустить, что потенциал в интервале от Ф0 в центральной точке до Ф4 растет линейно и что он продолжает увеличиваться таким же образом

и на гипотетическом продолжении этой линии, пока не возрастет до Ф( в конце полного интервала А, то получится полная релаксационная схема с потенци­ алом Ф0 в центральной ее точке и потенциалами Ф{, Ф2, Ф3 и Ф4 в четырех окру­

жающих узлах. К такой схеме можно применить уравнение (15.6) и получить

Экстраполируя линейный ход потенциала между Ф0 и Фх на весь интер­

вал А, можно вывести выражение

(Фі —Ф0)/(Ф І-Ф 0) = п.

Подставив значение (Ф£ — Ф0) из этого выражения в уравнение (Д35.1), получим

Следовательно, уравнение для остатка неточно заданных значений потен­ циала имеет вид

Ф і j n -Ь Ф2 -]- Фз-Ь Ф4 —Фо (3 + 1 /n) — R .