Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Коррекция такого рода требуется для каждой неполной стороны. Таким образом, изменение потенциала в узле ячейки на + 6 Ф требует изменения

остатка в этом узле на —0Ф для каждой полной стороны ячейки, исходящей из этого узла, и на —бФ/ге для каждой ее стороны, у которой лишь доля п нахо­

дится в пределах пространства задачи. В каждом окружающем узле, явля­ ющемся узлом сетки, изменение остатка равно + 6 Ф, но на границе потенциал

задан, и потому узел на неполной стороне не релаксирует совсем. Если же потен­ циал на границе не задан, мы имеем дело с особым случаем релаксации граничных точек сетки, который должен рассматриваться отдельно.

б. Релаксация на границе линий тока

Для точки, лежащей на границе задачи, такой, как водоупор, конечно­ разностный эквивалент уравнения Лапласа вывести нельзя, поскольку по одну сторону границы нет проводящей среды, для которой можно было бы рассчитать градиент потенциала. Такая граница служит линией тока, и ключ к решению состоит в том, чтобы построить гипотетическую систему для протяженного и не ограниченного водоупором проводящего тела, которая обладала бы гидродина­ мической сеткой, в точности совпадающей для части проводника, лежащей в реальных границах задачи, с истинной гидродинамической сеткой.

Если построить гидродинамическую сетку, которая являлась бы зеркаль­ ным отражением заданной, а зеркалом служила бы рассматриваемая граничная линия тока, как показано на рис. 15.3, то задачу и ее зеркальное изображение можно было бы сомкнуть по линии зеркала, не нарушив сетку в обеих частях, поскольку распределение потенциала по обе стороны границы было бы после контакта таким же, как до него. Тогда мы получили бы требуемую расширенную гидродинамическую сетку, к которой можно было бы применить процедуру релаксации. Каждой точке сетки со стороны задачи будет соответствовать точка сетки на зеркальном изображении с тем же самым потенциалом, поскольку благодаря симметрии эти точки будут находиться на одной и той же эквипотенциали. Таким образом, каждый раз, когда потенциал в точке сетки, принадле­ жащей задаче, релаксирует на некоторую величину, такое же изменение потен­ циала и соответствующих остатков должно быть произведено и в зеркальном пространстве. Практически достаточно построить один ряд узлов в зеркальном пространстве, поскольку само оно необходимо только для того, чтобы вычислить изменения остатков, вызванных изменениями потенциала в граничных узлах.

в. Релаксация на границе между зонами с различной влагопроводностъю

Когда линия тока, пересекая границу, переходит из зоны с одной влаго­ проводностью в зону с другой влагопроводностью, она претерпевает излом, как показано на рис. 15.6. В этом случае вывод конечно-разностного эквивалента уравнений Лапласа также не так прост.

Пусть угол между нормалью к границе и линией тока в зоне с влагопровод­ ностью К х равен Ѳх, а угол в зоне К 2 равен Ѳ2. Допустим также, что отрезок,

отсекаемый на границе трубкой тока, заключенной между двумя линиями тока, равен I, а поток в этой трубке равен Q. Тогда ширины трубок тока в зонах, обо­

значенных индексами, равны соответственно:

А х = I cos Ѳі,

A 2 = l cos Ѳ2.

Положим, что разность потенциалов между концами элемента I границы есть 0Ф. Тогда, как показано на рис. 15.6, на пути I sin Ѳх, измеренном вдоль линии тока в зоне с влагопроводностью К х, должно происходить увеличение

потенциала, так что градиент потенциала в этой зоне на границе есть

(grad Ф)х = 0Ф/ (I sin Ѳ]).

Подобно этому во второй зоне

(grad Ф)2 = бФ/(/ sin Ѳ2).

имела бы влагопроводность К 2, гидродинамическая сетка не имела бы изломов, а потенциал имел бы величину Ф[ вместо наблюдаемого Фх, так что

Подставив в уравнение (Д35.11) Ф^ из уравнения (Д35.10) и Ф£ из уравне­ ния (Д35.8), после некоторых преобразований получим

Фі [2-йГі / (Кг + 7f2)] + Ф2+ Фз [2К2/( К і -\- К 2)]-\- Фі —4Фо ~ 0.

Находим, как и ранее, что если потенциалы оценены неправильно и не удовлетворяют уравнению Лапласа, возникает остаток Л, определяемый урав­ нением

Л = Фі [2Äj/( К г + Я2)] + Ф2+ Ф3 [2К 2/(К г+ К 2)] + Ф44Ф0- {(ДЗ(і 5.9)

Дополнение 36. Теория Дюпюи—Форхаймера.

а. Дренирование местных осадков.

Благодаря симметрии осадки, выпадающие по одну сторону от плоскости, которая проходит посредине между двумя дренами, изображенными на рис. 15.8, стекают целиком в дрену, лежащую на этой стороне. Следовательно, поток через вертикальную плоскость, находящуюся на расстоянии х от дрены, равен коли­ честву осадков, выпадающих в единицу времени на поверхность между х ж L, где L — расстояние до медиальной плоскости. Следовательно, расход на единицу толщины проводящей среды в плоскости х есть q (L — х), где q — интенсивность

осадков.

Согласно приближению Дюпюи — Форхаймера, вертикальная плоскость х является эквипотенциалью, а градиент потенциала здесь равен dZjdx, где Z —

высота уровня грунтовых вод. Z есть также высота поперечного сечения, а потому и площадь сечения единичной толщины. Следовательно, применяя закон Дарси, найдем

q (L —х) = KZ dZ/dx.

Интегрируя это уравнение от нуля до х или между соответствующими уров­ нями Z0 и Z, получим

(q/K) (L * -*a/2) = (Z S -Z 0)a/2,

где Z0 — одновременно и уровень воды в дрене, и высота уровня грунтовых вод

в этой точке. После небольшой перестановки имеем

6. Линзы Гибена — Герцберга.

Похожая ситуация показана и на рис. 15.9, где благодаря симметрии можно тоже рассматривать только половину сечения между дренами, в данном случае — между вертикальным берегом моря и медиальной плоскостью, находящейся на расстоянии L от него. Однако поскольку в этом случае есть два подземных

водных тела с различными плотностями, а именно морская вода с плотностью ps и пресная вода с плотностью р^, необходимо ввести две разные функции

потенциала отдельно для каждой зоны. Поэтому уравнение (9.3) приходится записать так:

На расстоянии х от морской «дрены» уровень грунтовых вод находится

на высоте Zf, а высота границы раздела между пресной и соленой водой равна Zb. Давление же Рь на границе раздела является общим для обеих сторон. Допуще­ ние Дюпюи — Форхаймера требует, чтобы вертикальная плоскость, проходя­ щая через X, являлась эквипотенциалью в пресноводной зоне и эквипотен-

циалью Ф, в зоне с соленой водой. Поскольку на уровне грунтовых вод давление равно нулю, а на границе раздела оно равно Pf,, можно записать уравнение

(Д36.3) любым из двух способов:

<bf=Zf,

<bf = Zb+ Pbl89f.

Следовательно,

Точно так же вместо уравнения (Д36.2) имеем

Из симметрии следует, что движения морской воды с одной стороны пере­ шейка на другую не происходит, поскольку отметка уровня моря Z 0 одна и та же с обеих сторон. Следовательно, вся соленая грунтовая вода имеет одинаковый потенциал, а поскольку потенциал уреза морской воды равен Z0, потенциал всюду равен Ф5. Поэтому уравнение (Д36.5) принимает вид

(Zf — Zb)l{Z0-Zb)=Ps/pf,

к движению пресной воды (осадков, имеющих интенсивность q) через поперечное сечение х слоя пресной грунтовой воды и получить уравнение

Теперь можно использовать совместно уравнения (Д36.7) и (Д36.10) и полу­ чить дополнительное выражение для (Z0 — Z;,)2, а именно