Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

ГЛАВА 16

Конформное преобразование и годограф. Роль глубины залегания водоупора

16.1. Сущность конформного преобразования

Если одну величину, например X, называемую зависимой перемен­ ной, можно выразить с помощью уравнения в виде функции другой величины, например р, называемой независимой переменной, то ее можно также выразить как функцию третьей величины ѵ, если из­ вестна зависимость между ц и ѵ. Переход от уравнения, выража­ ющего связь между X и ц, к уравнению, выражающему связь между X и V, называется преобразованием. Цель подобных преобразований всегда состоит в том, чтобы получить уравнение, поддающееся реше­ нию. С рядом таких примеров мы уже встречались, в частности в пара­ графе 12.6 [уравнение (12.26)].

Как было показано в главе 14, основным уравнением теории дви­ жения грунтовых вод является уравнение Лапласа, а его решением

Мы видели, что когда W определено, это решение позволяет по­ строить на диаграмме в координатах х и z эквипотенциали и линии тока. Такую диаграмму обычно называют плоскостью р. На примерах, приведенных в главе 14, было показано, как отыскать граничные условия данной задачи, когда определено решение, и отмечалось, что обычно требуется найти решение для заданных граничных усло­ вий. Иначе говоря, мы можем сначала построить в плоскости р гра­ ницы, а затем пытаться найти решение в виде сетки эквипотенциалей и линий тока. Границы могут быть сложными и не полностью извест­ ными. Например, в случае задачи с дренажем форма поверхности уровня грунтовых вод вначале неизвестна.

Переход от одной комплексной переменной р к другой комплекс­ ной переменной, скажем а, где

приводит к другой диаграмме с осями £ и |, которую можно рассчи­ тать, если задано р, т. е. х и г, так что для каждой точки на плоскости

р есть соответственная тонка на плоскости а. Таким образом, гра­ ницы задачи можно изобразить и на плоскости сг, причем обычно они значительно отличаются от изображения на плоскости р. Преобразо­ вание будет полезным, если преобразованные границы окажутся проще, чем границы на плоскости р. Цель подобных преобразований состоит в том, чтобы в конце концов найти такие граничные условия, при которых задачу можно решить.

Преобразование, выраженное уравнением (16.3), имеет то свой­ ство, что форма любого малого элемента границы остается неизмен­ ной, меняются только его размер и ориентация1. Таким образом,

намическая сетка также примет совершенно иную форму. В связи с тем что малые элементы исходной и преобразованной плоскостей согласуются по форме, подобное преобразование называется конформ­ ным. В качестве примера можно рассмотреть преобразование из плоскостир в плоскость W по уравнениям (16.1)—(16.2). Ход эквипотенциалей и линий тока на плоскости р может образовать гидродина­ мическую сетку, показанную на рис. 16.1 и соответствующую рас­ пределению эквипотенциалей и линий тока на границах, которые определяют данную задачу. В плоскости W эквипотенциаль, изобра­

1 Для сохранения формы элемента преобразование должно быть конформ­ ным, а это накладывает некоторые ограничения на функцию / (р). — Прим,

ред.

щей через начало координат. Если граничная линия тока есть пря­ мая с наклоном Ѳ, ее годографом является параллельная прямая, проходящая через начало координат.

Если границей служит эквипотенциаль с наклоном Ѳ, то во всех точках линии тока пересекают ее под прямыми углами и потому имеют наклон я/2 + Ѳ. Таким образом, составляющие скорости по­ тока удовлетворяют уравнению

Из этого уравнения следует, что годограф представляет собой окружность радиуса (К + N)J2, центр которой находится на оси ѵг, на расстоянии (К — 7Ѵ)/2 ниже начала координат. Как показано на рис. 16.3, эта окружность пересекает ось ѵг в точках +ІѴ и —К. На той же диаграмме показана линия, проведенная от пересечения в точке (О, —К) к точке (ѵх, vz) на окружности, которая соответ­ ствует точке на уровне грунтовых вод, где наклон равен Ѳ. Сама эта линия также образует угол Ѳ с осью ѵг.

В Дополнении 39 показано также, что уравнение (16.5) равным образом представляет собой годограф верхней границы капилляр­ ной каймы, если не уровень грунтовых вод, а эта поверхность служит границей между верхней ненасыщенной зоной и нижней зоной грун­ товых вод.