ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 213
Скачиваний: 5
Участок границы PP'Q, где и не равно нулю, получен после того, как уравнению (16.14) был придан вид
Ь |
(K + N) ( V + N) |
iu(K + N) |
(16.15) |
(D+JV)2+ u2 |
" (V+NP + U* ’ |
где и и г; удовлетворяют условиям, выраженным уравнениями (Д39.6)
и(Д39.7) и уравнениями (16.9)—(16.10):
—и —-{К — n)tg0,
-u = {N-pv)jtgO.
Эти уравнения позволяют выразить и и ѵ через параметр Ѳ:
и — —(Ä"-f-ІѴ) sin Ѳcos Ѳ,
V = К sin2 0 —iVcos20.
Подставив эти величины в уравнение (16.15), получим искомое выражение для границы каймы PP'Q на плоскости £, а именно
£ = —1 + ictgO. |
(16.16) |
Граница в целом показана на рис. 16.7. Та часть ее, которая изо бражает границу каймы, согласно уравнению (16.16), является пря мой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку —I на действительной оси. Она появляется из бесконечности в Р, макси мально сближается с осью и в Р', затем поворачивает обратно и снова уходит в бесконечность в точке Q. В точке Р ’ значение £ равно
£ = — 1 - f г ctg0*. |
|
Выпишем с помощью уравнения (16.13) значения |
£ в точках, |
указанных на рис. 16.7: |
(16.17) |
|
|
ï o = - ( K + N)/N, |
(16.18) |
£р = — |
(16.19) |
£Q = + 00 , |
(16.20) |
t R =(K + N ) /( M - N ) = y. |
(16.21) |
Отношение, входящее в уравнение (16.21), имеет смысл обозначить символом у, поскольку оно будет часто встречаться в дальнейшем.
Три стороны геометрической фигуры, показанной на рис. 16.7, являются прямыми. Следовательно, это треугольник, несмотря на то, что две его вершины находятся в бесконечности. Поэтому рассматри ваемая фигура является частным случаем многоугольника, который можно трансформировать на полуплоскости с помощью преобразова ния Шварца — Кристофеля. Положим каждый из внутренних углов при бесконечно удаленных вершинах Р и Q равным —я/2. Преобра зуя £ на полуплоскость а, на которой граница является действитель ной осью, можно произвольно разместить на действительной оси три
вершины, а их у нас и есть всего три. Удобно, чтобы Q на плоскости а находилось в бесконечности так, чтобы при преобразовании Швар ца — Кристофеля [уравнение (16.4)] его можно было не рассма тривать. Р на плоскости о поместим в начале координат, а Р' прида дим значение —1. После этого, используя обозначения уравнения (16.4), получим
!Н = цР = 0, o-j = - л/2,
ц2= ц р' = —1, а2 —2я,
Цз:=Ие = 00. (о —рг)(“>/"-!)=--■ 1.
Как показано в Дополнении 40а, при этих значениях преобразо вание Шварца — Кристофеля для уравнения (16.4) примет вид
^=i(^X “) ctg0’ — |
|
(16-22) |
Рис. |
16.8. |
Грани |
цы |
фигур, |
пока |
занных на рис. |
||
16.5—16.7, |
преоб- |
|
+СО |
разованные наV* |
р |
действительную |
« |
ось полушюско- |
н |
сти а. |
Получающиеся границы на плоскости ст показаны на рис. 16.8. Величины а в точках D, R и О обозначены соответственно символами X2, ц2 и V2, где, как показано в Дополнении 40а,
Ä ,-lA = 2tgO \ |
(16.23) |
или |
|
_1_ |
(16.23а) |
X = tg0' + (1 + tg26 ')2. |
Форма уравнения (16.23а) более удобна для конкретных числен
ных расчетов. Аналогично, |
|
H - - i - = 2 (l+ Y )tg 0 ' = 2 ( - J t " ) t g 0 ', |
(16.24) |
или |
|
JL_ |
|
И = (1 + Y) tg Ѳ* + {1 + (1 + у)2 tg2 0'} 2 |
; (16.24a) |
и |
|
V —l/v = —2(A /A )tgO\ |
(16.25) |
или |
|
V = - ( K IN) tg Ѳ' + {l + ( 4 - ) 2 tg2 O 'j2 |
(16.25a) |
Относительное взаиморасположение D, R и О действительной оси полуплоскости a можно исследовать, рассмотрев относительные величины X, [I и V. Выполнить это несложно, если вспомнить, что
В параграфах 12.7 (б) и 13.1 было показано, что К является верх ним пределом скорости впитывания, поэтому q по необходимости
меньше К. Обычно оно значительно меньше. Следовательно, |
К ~ р |
> |
-Р |
||
> K]q, так что |
|
|
Ц>Ѵ. |
|
|
Кроме того, K]q > 1 и из уравнений (16.23) и (16.25) |
|
|
ѵ > X. |
|
|
Следовательно, на плоскости а О лежит между D и R, т. е. на гра нице DR плоскости р, что опять согласуется со схемой этого случая на рис. 16.4.
Рис. |
16.9. |
Грани |
|
цы |
|
фигуры, |
|
показанной |
на |
||
рис. |
16.5, |
по |
|
строенные |
W, |
на |
|
плоскости |
где |
||
W = Ф + |
іф. |
||
В дальнейшем удобно выражать ц в долях от X, т. е.
рА = 1 + ß. |
(16.26) |
Величину р не следует путать с вершинами р І5 |
р 2 и р3, упоми |
навшимися ранее. |
легко показать, |
С помощью уравнений (16.23), (16.24) и (16.26) |
что при увеличении Ѳ' от 0 до я/2, соответствующем такому движе нию точки на плоскости ю, когда она описывает полную полуокруж ность границы капиллярной каймы от Р до пересечения К на оси ѵ, tg Ѳ' увеличивается от 0 до со, а ß — от 0 до у. Каждый особый предел Ѳ' в этом интервале отвечает особой границе на плоскости ш и осо бому случаю. В дальнейшем мы увидим, в чем состоят их различия.
Теперь надо преобразовать комплексный потенциал так, чтобы он совпадал с плоскостью а. Сама плоскость W показана на рис. 16.9, который построен с помощью данных, содержащихся в рис. 16.5. Потенциал на уровне R S бесконечно велик, поскольку эта граница удалена в бесконечность. И если ограничивающую линию тока SD принять за нулевую, а ограничивающую линию тока RQ за макси мальную, то суммарный поток, заключенный между ними, будет равен, очевидно, ML, где L — ширина полусечения. Следуя правилу, выражаемому уравнениями (14.13), (14.22), (14.30) и (14.43) пара графа 14.6, найдем, что максимум функции тока равен (МК)/К.