Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

и потому, дифференцируя уравнение (16.27), мы имели бы

^^действА^ 6.

Следовательно, действительная часть О имела бы одно и то же значение в Р и О, и эти точки на плоскости £2 (рис. 16.10) совпали бы. На деле же эта производная всюду положительна, потому что dO/dz всюду больше —NJK (ее абсолютная величина меньше NJK), так что

*^действ/^---5“ 0.

Следовательно, действительная часть Q в Р больше, чем в О, и по­ следняя на рис. 16.10 находится левее Р, как показано, а не между

Q и Р.

Рис. 16.11. Конформное преобразование границ, показанных на рис. 16.10, на действительную ось полуплоскости т).

Границу на рис. 16.10 следует рассматривать как многоугольник, имеющий только две параллельные стороны, внутренние углы при которых в точках D и R на бесконечности равны нулю. Следовательно, можно снова применить преобразование Шварца — Кристофеля; и на этот раз в бесконечности, на действительной оси полуплоско­ сти г), получающейся при преобразовании, поместить точку D, a R поместить в начале координат. После этого, как показано в Дополне­ нии 406, применяя уравнение (16.4), получаем

В точках Р и Q, которые не подходят в качестве вершин границы на плоскости Q, а значения rj при преобразовании Шварца — Кри­ стофеля равны, как показано в Дополнении 406,

Так они и обозначены на полуплоскости т] (рис. 16.11). Теперь со и W преобразованы соответственно в полуплоскости а и т|, на кото­ рых границы задачи образуют действительные оси, но соответству­ ющие точки не совпадают. Совпадение может быть достигнуто с по­ мощью преобразования

Вывод этого преобразования приведен в Дополнении 40в. Таким образом, наша цель частично достигнута, поскольку урав­

нение (16.31) через промежуточные функции о и ц связывает потен­ циал W со скоростью (о. Прежде чем перейти к связи W с р, полезно вывести из уравнения (16.31) одно чрезвычайно нужное соотноше­ ние. Точка Р не подходит для совмещения плоскостей ц и о и потому может быть использована для независимой проверки. В этой точке а равно нулю, и потому из уравнений (16.30)—(16.31) следует, что

_ e - n b fy / L - n K H f / { L ( M - N )} _ _ ( j t y 2 ç - n c fy / L - Л К Н f H(M-N)}

или, используя уравнение (16.26),

(1 + ß)2= e (cr b/)^ /i

Рис. 16.12. Конформ­ ное преобразование рис. 16.8 в квадрант t.

и выбрано значение Ѳ', можно найти у из уравнения (16.21) и ß из уравнений (16.24), (16.23) и (16.26). Затем из уравнения (16.32) можно найти разность между максимальной и минимальной высотами верхней границы грунтовых вод соответственно в медиальной пло­ скости и в плоскости дрены.

При этом преобразовании отрицательная часть PQ действитель­ ной оси о, которая соответствует границе грунтовых вод, поворачи­ вается на 90° и образует мнимую ось на плоскости t, как показано на рис. 16.12.

Ряд преобразований, соответствующий уравнениям (16.13), (16.22) и (16.33), эквивалентен одному преобразованию

(К + N)/(UÙ—N) = (t2№- 1) (ctg 0*)/(2Xf) - 1 ,

которое сводится к следующему:

В свою очередь, ряд преобразований, выражаемый уравнениями (16.28), (16.31) и (16.33), эквивалентен одному преобразованию

которое сводится к следующему [см. уравнение (16.21)]:

Используя это равенство, можно выразить правую часть уравне­ ния (16.34) через р и W не с помощью со, которое было введено только для использования преимуществ свойств плоскости годографа, а с по­ мощью Q. Таким образом, из уравнений (16.34) и (16.36) имеем

і (1 + NIK) dp =, - dü + (d a /d i){(Ь2*2 - 1 ) (ctg Ѳ')/2Щ dt. (16.37)

Интегрируя уравнение (16.37) с помощью уравнения (16.35), по­ лучим решение задачи. Детальный вывод приведен в Дополнении 40г. Результат заключен в двух уравнениях:

W = Ф + гф = Hf + ct + iML/K + (L/пК) [(Ai—N )ln ( г - 1 ) -

—М ln (t —- 1 — ß) + TV ln (t + 1 + ß) +

откуда, переписывая уравнения (16.21) и (16.26), получаем

y = (N + K ) / ( M - N )

1 , R a fl (1+Y) tg9'-j-[l-Kl+V)2 tg2 Ѳ']1/г

^tg6' + (l + tg2 0'),/2

Таким образом, задавшись значениями параметров К, L, М, N, Hf и Ѳ', в уравнение (16.38) подставляют избранное значение t из квадранта рис. 16.12 и, приравнивая его действительную и мнимую части, получают координаты х и z той точки на плоскости р, к которой относится t. Подставляя то же значение t в уравнение (16.39), нахо­

дят величины потенциала Ф и функции тока ф в этой же точке. По­ вторяя эти операции с достаточным числом значений t, относящихся к достаточному числу точек, можно получить всю гидродинамиче­ скую сетку.

Поскольку t обычно комплексное, при вычислениях необходимо оценивать логарифмы комплексных чисел, что выполняется по пра­ вилу

In (А + ІВ) = ln (РегѲ) = ln P -f іѲ,

где

р* = А2-\-В*,

tg Q=B/A.

Кроме того,

ln ( — А + ІВ) = ln {(— 1) {А - ІВ)} = ln ( - 1) -fin (Ре~іѳ).

Таким образом, используя уравнение (14.3), получаем

In ( — А -f іВ) = in -j- ln P — іѲ.

Не вдаваясь в дальнейшие подробности, можно вывести несколько важнейших соотношений для гидродинамической сетки, ограничив применяемые значения t действительной осью плоскости t (рис. 16.12). Так, граница DP между дреной и свободной поверхностью PQ, по­ казанная на плоскости р, соответствует действительным значениям t, заключенным между нулем и единицей на плоскости t, в то же время граница QR на плоскости р соответствует действительным значе­ ниям t, превышающим 1 + ß, на плоскости t. Подставляя эти зна­ чения t в уравнения (16.38)—(16.39), можно, как показано в Допол­ нении 40д, получить следующие результаты.

Во-первых,

Таким образом, высота границы каймы грунтовых вод в медиаль­ ной плоскости найдена. Хотя эта величина фигурирует для р и W в уравнениях (16.38)—(16.39) и в уравнениях для частных случаев, полученных из них, она выражена через заданные параметры и по­ тому позволяет вычислить р и W с помощью этих уравнений.

Далее,

Высоты zDP на границе DP, где потенциал равен Фор, а гидро­ статический напор есть HDP, определяются системой уравнений: