Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

либо из уравнения (16.40) или (16.41), либо с помощью одной из приближенных формул (16.53)—(16.55). Отношение (Z/L)p=0 опреде­ ляют по формуле Дюпюи — Форхаймера (15.16). (Z]L)p^ü]{Z]L)co соответствует отношению (Z /Z œ )p_0, входящему в уравнение (16.56). Для прочих значений pJL величину Z /Z œ H axopnT из уравнения (16.56), а зная (ZJL)œ , легко получить Z/L.

Для приближенных расчетов нетрудно запомнить формулу Дютоп — Форхаймера (15.16), приближенный результат теории годо­ графа (16.54) и уравнение (16.56).

t

Рис. 16.22. Кривые рис. 16.21 на полулогари­ фмическом графике.

Другой известный подход к рассматриваемым проблемам, свя­ занный с именем Хугудта [86], основан на допущении о том, что отношение Z/L настолько мало, что уровень грунтовых вод можно считать плоской поверхностью. Отыскивается распределение потока для группы горизонтальных цилиндрических стоков, рассматрива­ емых как откачиваемые скважины. Если величина потока на единицу длины трубы, называемая иногда мощностью, равна 2Q, то, согласно уравнению (14.11), потенциал Ф на расстоянии г от осп одной трубы определяется уравнением

где К — коэффициент фильтрации почвы, а С — произвольная по­ стоянная, позволяющая приписать нулевое значение потенциала лю­ бой желаемой точке, что позволяет удовлетворить какому-либо усло­ вию.

На рис. 16.23 показана группа равноудаленных дренажных труб, расположенных на горизонтальной плоскости в бесконечно глубоком почвенном профиле. Будем считать, что они удаляют воду, посту­ пающую из отдаленного источника. Потенциал в любой точке, свя­ занный с работой группы дрен равной мощности, можно определить

как сумму потенциалов, связанных с работой каждой трубы в отдель­ ности. Элементарный вклад каждой дрены вычисляют по уравнению (16.57), подставляя соответствующее значение г. В частности, можно вычислить распределение потенциала в плоскости дрен. Так, в точке на этой плоскости, отстоящей на расстояние х от оси некоторой дрены, которую мы обозначим индексом 1, потенциал Ф^. подчиняется уравне­ нию

Ф* — {Ç/(JTÂ)} {ln X -f- Ci -j- ln (2L -}-x) -\- C2-f- ln (4L -J-x) -f- Cs ... -f-

- ln(2L - x) C\ -I- ln (4L - x) -1- C'2+ . . . } ,

где Cx, C2 и T. д. обозначают первую, вторую и следующие дрены, находящиеся правее рассматриваемой точки, а С[, С2 и т. д. обозна­ чают дрены, расположенные левее ее. В частности, потенциал Фж

Рис. 16.23. Группа параллельных дрен в плоскости на бесконечной поверхности почвы.

на поверхности рассматриваемой дрены радиуса rœ, когда rw много меньше чем 2L, как обычно и бывает, определяется выражением

Фш = {Ç/itÂT)} r Ci Ч- (2Z/) -J- C2 -}-ln (4L) -f- C3-f-...

ln (2L) -J- Cx -f- ln (4L) —f- C* —f- In (6L) -j- C3 -J- ...}.

Таким образом, потенциал в точке х, отнесенный к потенциалу на поверхности дрены, равен

Ф*— Фш= {<ЖпЩ {ln {x/rw) + ln (1 + x/2L) + ln (1 -f х / Щ - f . ..

. . . + ln (1 — x/2L) + ln (1 — x/4L)+ ...} =

Из симметричности задачи следует, что плоскость заложения дрен является плоскостью линий тока, так как поток не переходит с одной стороны этой плоскости на другую. Если бы рассматривалась задача о течении электрического тока в проводнике, где электроды -соответствовали бы дренам, то электропроводный лист можно было бы разрезать вдоль плоскости «дрен», нисколько не повлияв на распре­ деление потенциалов, поскольку разрез проходил бы вдоль линии, где ток не стремится перетекать с одной стороны на другую. Гидра­ влическая задача имеет свои особенности, поскольку распределение потенциалов вдоль обнажившейся плоскости дрен требует, чтобы в точках, более удаленных от дрены, давление было выше, так как потенциал здесь выше, а высота та же. Следовательно, обнажившаяся

поверхность стала бы поверхностью высачивания, и утечка воды нарушила бы гидродинамическую сетку. На первый взгляд этого можно избежать, сделав разрез не вдоль плоскости дрен, а вдоль линии нулевого давления, однако тогда разрез не будет проходить по линии тока, а это также нарушит гидродинамическую сетку. Од­ нако когда уровень грунтовых вод почти не отличим от плоскости дрен, ошибки, связанные с различием формы этих двух поверхно­ стей, при использовании уравнения (16.58) для нахождения распре­ деления потенциалов вдоль границы пренебрежимо малы, само же распределение потенциалов тождественно распределению высот, так как на уровне грунтовых вод давление всюду равно нулю. В част­ ности, если в уравнении (16.58) приписать переменной х значение L, можно найти высоту Zmуровня грунтовых вод в наивысшей его точке, посредине между дренами:

(16.59)

здесь Z 0 — высота кровли дрены, которую мы считаем заполненной водой без подпора; уровень, от которого измеряется Z, вполне про­ извольный. Таким образом, это как бы уравнение для высоты уровня грунтовых вод, связанной с существованием вертикального потока воды ниже плоскости дрен, причем каждая дрена отсасывает воду со скоростью Q на единицу своей длины. Вторая половина рассматрива­ емого нами потока 2Q относится, очевидно, к течению воды из верхней части воображаемого полного сечения, которую мы мысленно удалили.

Если на эту гидродинамическую сетку накладывается нисходящий вертикальный поток такой величины q, что он в точности компен­ сирует восходящий глубинный артезианский поток, то, хотя гидро­ динамическая сетка во всех точках изменится, распределение потен­ циалов на уровне грунтовых вод останется прежним, поскольку мы предположили, что этот уровень представляет собой практически плоскую поверхность и потому совпадает с эквипотенциалью нало­ женной гидродинамической сетки. В то же время получившаяся гидродинамическая сетка будет соответствовать дренированию осад­ ков, выпадающих с такой интенсивностью q, которая порождает в дре­ нах поток Q на единицу поверхности в условиях, когда водоупор находится на бесконечно большой глубине. При этом остаются спра­ ведливыми уравнение (16.58) для распределения потенциала на уровне грунтовых вод и уравнение (16.59) для высоты уровня грун­ товых вод, в котором Q равно 2Lq.

Теперь в качестве проверки можно сравнить уровень грунтовых вод, описываемый уравнением (16.59) при достаточно малом q]K (например, при 0,001), с уровнем, следующим из строгой теории годографа. Рассматривая дренирование осадков в отсутствие арте­ зианского потока и капиллярной каймы, можно с помощью уравне­ ния (16.51) показать, что

c/L = 0,0046.

G другой стороны, можно использовать уравнение (16.59), задав­ шись некоторой величиной L, скажем 50 м, при которой получится приемлемая величина Z, и подставив произведение 2Lq вместо Q. Обычно значение гш можно принять равным 0,05 м. Подставив эти величины в уравнение (16.59), получим

(Zm~ Z 0)/L = 0,0041.

Подобное удовлетворительное согласие показывает, что вплоть до этой стадии логарифмическая формула является приемлемым при­ ближением. Если почвенный профиль на глубине р ограничен водоупором, можно взять слой толщиной 2р и рассмотреть, что получится, если на нижней границе создать те же условия, что и на верхней.

Благодаря симметрии медиальная плоскость на глубине р стано­ вится линией тока и в этом смысле является эквивалентом водоупора. По условию нижняя граничная поверхность является зеркальным от­ ражением верхней в медиальной плоскости. Теперь в качестве при­ ближения можно вновь рассчитать распределение потенциала, воз­ никающее не только благодаря работе верхних дрен мощностью 2Q, но и за счет нижней группы. Такое приближение является весьма сла­ бым, так как его основа — логарифмическое распределение потен­ циала, выражаемое уравнением (14.11), справедливо только для сто­ ков или источников, находящихся в бесконечной среде, и, строго говоря, не годится для слоя конечной толщины 2р. Ошибка такого приближения тем больше, чем меньше р.

С другой стороны, главный интерес может представлять распре­ деление потенциала на уровне грунтовых вод, которое является сум­ мой потенциалов, наводимых работой реальных дрен согласно урав­ нению (16.58) и «зеркальных» дрен. Вклад последних (Фх—-ФаУ не­ трудно вычислить с помощью уравнения (16.57), аналогичного тому, из которого было выведено уравнение (16.58). Этот вклад равен

Общий потенциал в точке уровня грунтовых вод, находящейся на расстоянии х от дрены, выражается, таким образом, суммой

с отметкой дрен в соответствии с параграфом 16.3. В первом случае Z 0 Ä* р, как и в уравнении (15.17).

Такой подход оказывается плохим приближением, когда р соста­ вляет слишком небольшую долю L. Уравнение (15.15), основанное на теории Дюпюи — Форхаймера, дает большие ошибки, когда р

составляет слишком большую долю L, поскольку в этом случае пред­ полагается, что дрены лежат на водоупоре и дренируют всю толщу почвы.

Анализ, выполненный Хугудтом, показывает, что приближенная формула, представляющая собой сумму уравнений (16.58) и (16.50),

пригодна при значениях х, не превышающих р ] У 2, формула же Дю­ пюи — Форхаймера [уравнение (15.15)] применима при более высо­ ких значениях х. Основываясь на этом, можно предложить комбини­

рованное решение. Вплоть до расстояний р /|/2 используется радиаль­ ная формула. На границе этого интервала

где А определяется уравнением (16.58), а В ~ уравнением (16.60), в которых X = рі]/2. Таким образом,

Для более удаленных точек можно применять формулу Дюпюи — Форхаймера (15.14) с началом координат, смещенным в точку

X = /Д]/2, т. е.

Z2 - Z Î . 707P - - f {2 (L - 0,707p) (X - 0,707р) - ( х ~ 0,707р)2}=

= - |- (2Lx — X2— 1,414р£ + P2/2).

Взяв X = L, получим Z n — максимальную высоту уровня грун­ товых вод в медиальной плоскости:

ѵт- г \ ™ Р = ^ { в - р і Ѵ ъ ) \

что можно представить также в форме

где Z — средняя высота уровня грунтовых вод в интервале значе­ ний X от 0,707р до L. Таким образом,

Z = (Zm А- Z0l707p)/2.