Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 202

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где I — расстояние, измеренное в направлении касательной. Поскольку в этом

направлении давление не изменяется с расстоянием, а равно нулю во всех точках уровнях грунтовых вод, имеем

ѵв = — К d Z / d l = — К sin Ѳ,

(Д39-2)

где Z есть значение z на уровне грунтовых вод. Следовательно, из уравнений (Д39.1) и (Д39.2) имеем

vx cos Q-\- vz sin Ѳ= —К sin Ѳ.

(Д39-3)

Так же находим скорость ѵт в направлении, нормальном к уровню грунто­ вых вод:

v r = — v*sin0 + ѵг cos Ѳ.

(Д39.4)

Рис. Д39.1. Компоненты скорости течения на уровне грунтовых вод (1) по обе

стороны от этого уровня.

Если результирующий поток над уровнем грунтовых вод имеет вертикаль­ ную составляющую N , то, поскольку ѵт должна продолжаться через уровень,

vT = N соэѲ.

(Д39.5)

Из уравнения (Д39.3) следует, что

tg0 = —гх /(ѵг + К ) ,

(Д39.6)

а из уравнений (Д39.4)—(Д39.5)

tg Q ^ ( v g - N ) J v x ,

(Д39.7)

откуда, исключая tg Ѳ, найдем

v* + v * + v z ( K ~ N ) — N K = 0,

что можно выразить также в форме

 

 

V% + [ VZ + (K -N )/2 ]2 = [(K + N)/2]Z.

{

(Д(5 ^ 5

Это

уравнение

окружности

радиуса ( К

+ N )/2 с

центром в

точке

[О, — ( К

— іѴ)/2]. Как показано

на рис. 16.3,

окружность пересекает

ось ѵъ

в точках N и —К .

Прямая, проведенная из этой последней точки к точке на

окружности, соответствующей составляющим скорости у* и и2, образует с осью ѵг

угол а, такой, что

tg a = — vx / ( v z i К ) .

(Д39.9)

Минус появляется в связи с тем, что по отношению к оси vz а возникает

при движении по часовой стрелке и является поэтому отрицательным углом. Сравнивая уравнения (Д39.9) и (Д39.6), видим, что а и Ѳ идентичны. Таким

образом, когда точка на рис. Д39.1 движется вдоль уровня грунтовых вод, проходя пункты с возрастающим наклоном Ѳ, соответственная точка на годо­ графе (рис. 16.3) движется по окружности так, что проведенная к ней хорда образует при своем движении тот же угол Ѳ с осью ѵ2.

Если бы граница, показанная на рис. Д39.1, представляла не уровень грунтовых вод, а верхнюю границу капиллярной каймы, где сосущая сила постоянна и приблизительно равна давлению входа воздуха, вывод уравнений проходил бы тем же самым образом, поскольку на единственном этапе, где уча­ ствует это граничное условие, а именно при формулировке уравнения (Д39.2), мы имели бы

Ф = z f \ H f,

где H f — постоянный отрицательный напор на границе каймы, так что

( і Ф/ d l = d z f f d l = sin Ѳ

и, как в уравнении (Д39.2),

v$ = — K sin Ѳ.

Следовательно, все последующие уравнения остаются справедливыми. Поверхность высачивания, как и уровень грунтовых вод, есть поверхность

постоянного нулевого давления, однако ничего полезного о скорости вытекания воды на этой поверхности сказать нельзя. К этой поверхности, как и к уровню грунтовых вод, применимы уравнения (Д39.1)—(Д39.2) и последующее уравне­ ние (Д39.3). Однако в этом случае угол Ѳопределяется наклоном поверхности. Если последний постоянен, из уравнения (Д39.3) следует, что

ѵг — — vx vXgQ — К ,

или

vz = vx tg (Ѳ + я /2 ) —Ä.

Это уравнение прямой с наклоном Ѳ+ я/2, т. е. перпендикуляра к поверх­ ности на плоскости р, угол наклона которой равен Ѳ. На оси ѵг эта прямая делает отсечку в точке —К , той самой, где годограф уровня грунтовых вод пересекает

эту же ось.

Дополнение 40. Детали теории ван Деемтера.

а. Преобразование с плоскости Ç на плоскость о.

Уравнение преобразования Шварца — Кристофеля (16.4) с учетом сказан­ ного перед выводом уравнения (16.22) принимает вид

C= C1 J o -, /*(«H-l)«to + Cf = 2Сі (а- 1 )/а і/, + С2.

(Д40.1 )

Путем подстановки легко убедиться, что при любых значениях С г и С2 это уравнение дает правильные значения £ в точках Р и Q. Эти константы можно

оценить благодаря тому, что в Р' а

= 1, а £, согласно уравнению (16.16), равно

—1 + і ctg Ѳ'. Подставляя эти значения в уравнение (Д40.1), получаем

■—1 -j- i

ctg Ѳ' —

С 2.

Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, находим:

С1= ctg0'/4,

С, = - 1.

Таким образом, окончательной формой уравнения (Д40.1) является сле­ дующая:

_ (0 - 1) ctg 6 '

 

 

(Д40.2)

2о 2

1

(16.22)

В точке D £ = 0, поэтому, согласно уравнению (Д40.2’І, а = X2, где

12 __-I

°= - ^ — c ig e '- i,

ИЛИ

Значение о записано в форме X2, а не X, потому что позже нам нужна будет

величина о 2 . Рассматривая как квадратное уравнение (Д40.3), находим решение:

JL

/

(Д40.4)

X = tg6' + ( 1 + tg20') 2 .

I

(16.23а)

Точно так же в точке В величину о обозначим р2, а £ равно у, определя­

емому уравнением (16.21). Подставив эти величины в уравнение (Д40.2), получим

ц - 1 / ц= 2(1+ ѵ И 8Ѳ '.

{

((16°24)

Решение этого уравнения имеет вид

 

 

-L

I

(Д40.6)

Ii = ( l + V) t g 0 '- H+l(1 + Y)*tga0']2 •

I (16.24а)

Наконец, в точке О значения о и £ равны соответственно ѵ2 и — (К

+ N)/N;

подставив их в уравнение (Д40.2), получим

 

 

V - 1/Ѵ = —2 (Kj N) tg 0'.

{

 

Решение этого уравнения следующее:

 

 

-L

/

(Д40.8)

v = — (K/N) tg0' + [l + ( K/ N) 2 tgs Ѳ'] 2 .

I

(16.25a)

б. Преобразование с плоскости й на плоскость т).

Для точек D и R действуют следующие соотношения: т ]= ± о о ; ctx = 0 ; й = —оо\

т| = 0 ; а2 = 0 ; й = о о .

В этом случае коэффициент при D равен единице, поскольку эта точка

на плоскости г) лежит в бесконечности, а преобразование Шварца — Кристофеля [уравнение (16.4)] имеет вид

й = СД J

-[- С2 = Сц 1ц т| -f- С2,

что можно переписать в форме

т,= в(°-с«)/с..

(Д40.9)

В точке П2 значения й и т) соответственно равны —оо и +оо. Подставив

их в уравнение (Д40.9), получим

оо = е - со/с,

откуда очевидно, что Сг должно быть отрицательным, например —1/С. Таким

образом, уравнение (Д40.9) принимает форму

где

С положительное.

г]= <гс <а - с *>,

 

 

 

(Д40.10)

значение —оо, а

Q

имеет величину

—оо -f-

+

В точке D I т) принимает

і (М — N) Ц К . Следовательно, в этой точке уравнение

(Д40.10) принимает

вид

 

COS C (M — N) L

 

C ( M - N )

L

 

-оо = е

-ІС (M - N ) L j К .

■I sm

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

Этому уравнению удовлетворяет величина

 

 

 

 

 

 

 

С (M — N ) L

я.

 

 

 

(Д40.11)

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя эту величину С и приравнивая С2 нулю, поскольку оно может

быть произвольным, получим из уравнения (Д40.10)

 

 

 

 

 

 

кКЙ

 

 

 

{

(Д40.12)

 

 

 

ц = е~ (M-N)L

 

 

 

1

(16.28)

 

В точке Q значение Й из уравнения (16.27) равно, как это показано на

рис. 16.10,

QQ=Cf (l + N/ K) + H f + i L (M - N ) / K .

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя это значение й непосредственно в уравнение (Д40.12), полу­

чаем

тс КII

■ K C f U C + N )

 

■KKHf

mjy

 

 

 

 

(Д40.13)

 

 

HQ= e-l*e~ ММ-N)

L ( M- N)

 

L ( M- N)

L ~

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.29)

 

Подставив в то же уравнение значение Q в точке Р, найдем

 

 

 

 

ъКНf

 

 

 

J

(Д40.14)

 

 

 

~~L ( M- N)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

(16.30)

в.

Преобразование с плоскости а на плоскость т].

 

 

 

 

 

Точка R на плоскости а находится на отметке р2 действительной оси, а на

плоскости

г) она находится в

начале координат. Поэтому при вычитании р2

из о обе плоскости совмещаются в точке R. Точка D находится на Я2 в плоскости сг и в бесконечности на плоскости г|. Совмещения можно добиться, вычитая Я2 из а, что переводит рассматриваемую точку в начало координат, и беря затем

обратные величины. Таким образом, преобразование

о —- р2

(Д40.15)

и—Я2

 

позволяет получить полуплоскость у, где точки R и D находятся на действитель­ ной оси в тех же пунктах, что и на плоскости г). Однако в точке Q, где о беско­

нечно велико, у равно единице, тогда как Т| имеет значение, определяемое урав­ нением (Д40.13). Поэтому требуется дальнейшее преобразование:

t t K H f

-K C jy

 

т] = - у /

— ш

(Д40.16)

Окончательно из уравнений (Д40.15) и (Д40.16) имеем

я==__ (g—Р2)

icKHt

иуу

(Д40.17)

~ ЦМ-Ю

~

'

(а-Я 2)

е

 

(16.31)

Смотрите также файлы