Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Следовательно, высота уровня грунтовых вод в медиальной пло­ скости, как сумма уравнений (16.61) и (16.64), определяется соотно­ шением

Если разность Zm—Z 0 пренебрежимо мала по сравнению с глуби­ ной залегания водоупора р, которую достаточно хорошо выражает

само Z0, то среднюю высоту уровня грунтовых вод Z в уравнении (16.65) можно заменить на р, после чего получаем

Z m- Z 0 = А + В + - ^ { L - Р І Ѵ 2)2.

Когда такое приближение недостаточно обосновано, Z нельзя определить до тех пор, пока неизвестно Zm, так что, на первый взгляд, мы попадаем в порочный круг. Однако применяя ряд приближений

с пробными значениями Z, можно вычислить правильное Zm, при ко­ тором будет существовать согласие между предполагаемыми и полу­

чающимися величинами Z.

Рассматривая эту задачу, Эрнст [62] использовал метод, весьма близкий к методу Коллис-Джорджа и Янгса, т. е. получил решение для некоторого диапазона условий не с помощью аналогий, а спосо­ бом релаксации. Интервал q/K в его работе шире, чем тот, который представлен на рис. 16.21, и заключен между 0,14 и 0,001. Кривые, с которыми он ознакомил автора, показывают, что приближение Дюпюи — Форхаймера в форме уравнения (15.15) является доста­ точно хорошим для значений p]L менее 0,05 при q]K больших, чем 0,01. Полученная им формула, которая напоминает рассмотренную выше, но несколько упрощенную формулу Хугудта, оказалась вполне удовлетворительной. Согласно ей, до расстояний, равных 0,6р от дрены, потенциал в соответствии с уравнением (16.57) увеличивается по простому логарифмическому закону, а при более далеких расстоя­ ниях возрастает по формуле Дюпюи — Форхаймера [уравнение (15.14)]. Таким образом, из уравнения (15.14) следует:

n - 2 0%p = - |( Z - 0 ,6 p ) 2.

Допущение об осевой симметрии течения относительно центра дрены в непосредственной близости к ней требует, чтобы расход Lq равнялся четверти суммарного цилиндрического потока Q, так что

2Lq jn 0,6p

Zo,ep Z 0— nK

Ради большей точности мы приняли Z 0 равным не просто р, а сумме р и гш, т. е. предположили, что цилиндрический канал заполнен точно вровень с кровлей. Взятые вместе, эти уравнения и составляют решение, подобное уравнению (16.65). Радиус дрены был принят при­ близительно равным тому, который следует из теории годографа

для оптимальных условий. Такое приближение в общем случае ока­ зывается удовлетворительным для значений pJL до 0,2. При более высоких значениях p]L пригодно решение теории годографа из пара­ графа 16.3, относящееся к бесконечно большой глубине залегания водоупора.

Кривые, полученные Эрнстом, были использованы Баумэнсом [12] для номограмм, с которых можно снять расстояние L для лю­ бых qJK, р и допустимых Zm. Эти номограммы приведены у Висеера [165] и воспроизведены ван Шильфгаарде [136].

Вкратце можно упомянуть другие приближенные решения, не касаясь их деталей, которые содержатся в оригинальных работах. С помощью теории ван Деемтера можно строго рассчитать гидродина­ мическую сетку для случая сочетания осадков и артезианских вод при бесконечно глубокой толще почвы. Из рис. 16.4 следует, что на высоте z0 в медиальной плоскости между дренами существует застой­ ная точка О, от которой исходит линия тока, отделяющая артезиан­ ские воды от грунтовых вод атмосферного происхождения. О том же говорит анализ, приведенный в параграфе 16.3 и основанный на урав­ нении (16.45). Эта линия тока эквивалентна водоупору, не явля­ ющемуся, однако, плоским. Высоту z0 можно вычислить с помощью отношения ѵ/Я, определяемого уравнениями (16.23а) и (16.25а). Это отношение равно величине £0, которую надо поставить в уравнение (16.45). Чайлдс [35], рассматривая влияние водоупора на капилляр­ ную кайму, приближенно принял z0 за глубину залегания водоупора.

Лист [101], моделируя практически плоский водоупор, развил этот прием, введя вторую, лежащую ниже дренажную систему для перехвата артезианских вод. Эта система дрен располагается вниз по вертикали под дренами, перехватывающими осадки. Выбирая глу­ бину заложения этой вспомогательной системы дрен, а также соот­ ношение интенсивностей артезианского потока и осадков, можно подбирать форму и глубину моделируемого водоупора. Другие при­ ближенные решения читатель найдет в обзоре Керкема [95].

16.6. Дренирование грунтовых вод под плоской поверхностью их уровня

Когда уровень грунтовых вод является плоским и ровным, он должен представлять собой эквипотенциаль, поскольку и давление, и высота во всех его точках одинаковы. Единственный случай, при котором такие условия встречаются в природе, имеет место, когда грунтовые воды поднимаются к дневной поверхности и затопляют ее. При этом скорость впитывания уже не задается как граничное усло­ вие, а сама имеет некоторое распределение на поверхности. Это рас­ пределение зависит от хода потенциала на границе. Отыскание его ііредставляет важную составную часть решения. На практике такое положение наблюдается только тогда, когда дренажная система не способна выполнять основную свою функцию — удерживать грунто­ вые воды на определенной глубине. Однако иногда главной целью является не регулирование уровня грунтовых вод, а, например, уда­

ление избытка солей при мелиорации засоленных почв. В этом случае скорость промывки максимальна при наибольшей высоте уровня грунтовых вод и затопление поверхности не вызывает возражений. Однако наиболее интенсивно промывка происходит вблизи линий дрен, где она бывает наиболее полной, чего нельзя сказать о зоне, прилегающей к медиальной плоскости. Поэтому сохранение слоя воды на поверхности после окончания промывки почвы вблизи дрен приводит к неоправданному расходу воды.

В этом случае гидродинамическую сетку рассчитывают с помощью радиальной логарифмической формулы для потенциала в окрест­ ностях одной цилиндрической дрены, как это делалось в предыдущем параграфе. Для этого строят систему зеркальных отражений в приле­ гающем пространстве, удовлетворяющую известным граничным усло­ виям. Например, плоский эквипотенциальный уровень грунтовых вод можно получить, распространив сечение почвы вертикально вверх до бесконечности и построив в этом продолженном сечении систему дрен, являющихся зеркальным отражением реальных дрен в поверхности затопляющих почву грунтовых вод. Мощность зер­ кальных «дрен» должна иметь знак, обратный мощности реальных дрен, так что если последние удаляют воду со скоростью Q на еди­ ницу длины, то зеркальные «дрены» должны быть источником воды той же мощности.

Легко убедиться, что такая система действительно обеспечивает ровный плоский уровень грунтовых вод, поскольку потенциал в точке

Ф = (Ф/2яК) (ln г1— In г2),

где гг — расстояние точки от оси дрены, обладающей мощностью Q, а г2 — расстояние от дрены мощностью —Q. При зеркальной сим­ метрии гх = г2, поэтому на всей поверхности Ф = 0, и она, таким образом, является нулевой эквипотенциалью.

Влияние водоупора может быть смоделировано путем построения в прилегающем пространстве системы воображаемых дрен, зеркально симметричных по отношению к водоупору. «Поливные» дрены, отра­ жающиеся в поверхности уровня грунтовых вод, должны, конечно, отражаться в водоупоре, а дрены, отражающиеся в водоупоре, должны отражаться в поверхности уровня грунтовых вод, и так до бесконечности. Окончательным результатом является бесконечное число зеркальных систем, которое видит наблюдатель, находящийся между двумя параллельными зеркалами.

Прием, о котором идет речь, не основывается на каких-либо но­ вых принципах, а состоит по существу в суммировании вкладов по­ тенциала в регулярной бесконечной системе дрен, причем каждый вклад подчиняется логарифмическому закону уравнения (14.11). Для этого требуется не столько физический анализ, сколько математи­ ческие навыки, поэтому дальнейших деталей мы касаться не будем. Обзор подобных работ читатель найдет в труде Керкема [93], немало сделавшего в этой области.

Дополнение 381. Преобразование Шварца-Кристофеля.

Предположим, что необходимое нам преобразование известно и что для обозначенных символами р1? р2, р3, . . р„ границ на плоскости р рис. Д38.1 вычисленные величины преобразованной переменной о пересекают действитель­ ную ось плоскости в последовательных соответствующих точках р 2, р 2, Р з , . . рге. Конечно, и обратно, если сг проходит последовательно через рх,

р2, . . ., то и р проходит через вершины рх, р2, . . ., определяющие многоуголь­ ник с п сторонами.

Рис. Д38.1. Кон­ формное преобра­ зование много­ угольника на пло­ скости р на дей­ ствительную ось полуплоскости о.

В процессе перехода движение элемента da вдоль действительной оси о соответствует движению элемента dp вдоль стороны многоугольника, образу­ ющей угол Ѳ с осью X. Таким образом,

где аг — внутренний угол при г-ной вершине многоугольника.

Исследуя действительную ось р, видим, что элемент da есть просто дей­ ствительный элемент dp. Возьмем стадию, при которой а лежит в интервале

между рг и рг+і, так что (о — р) действительно и положительно для р всех вершин вплоть до рг (и включая ее), действительно и отрицательно для всех р

1 Дополнение 37, касающееся сущности конформных преобразований, ис­ ключено ввиду неполного изложения вопроса. — Прим. ред.

являются комплексными числами, что относится и к С1. Однако используя

уравнение (14.3), комплексное число можно представить в форме

где множитель В есть произведение всех тех сомножителей уравнения (Д38.2),

которые являются действительными положительными числами.

Следовательно, правая часть уравнения (Д38.6) характеризует угол наклона элемента dp при преобразовании плоскости р в плоскость а, согласно уравнению (Д38.2). Если это преобразование есть то, которое необходимо, чтобы повернуть границу на плоскости р так, чтобы она совпала с последовательными сторонами многоугольника (в ходе движения характеристической точки на плоскости а

через значения ц последовательных вершин), то оно должно предсказывать уве­

Ѳг+2 Ѳг+1 = ßr+l>

что и требовалось. Другими словами, преобразование, выраженное уравне­ нием (Д38.2), есть действительно то, которое мы хотели получить. В инте­ гральной форме оно имеет вид

Дополнение 39. Годограф уровня грунтовых вод.

Рассмотрим точку О на уровне грунтовых вод, показанном на рис. Д39.1.

Наклон линии тока в этой точке равен Ѳ, а горизонтальная и вертикальная составляющие результирующей скорости течения грунтовых вод равны соответ­ ственно ѵх и ѵг. Скорость потока ѵц в направлении по касательной к уровню

грунтовых вод равна, таким образом,

Из закона Дарси