Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

Инвариантность формулировки физического закона не требует инвариантности величин, входящих в эту формулировку, словесную или математическую. Так что, вообще говоря, каждая из величин

(/и, а, F), входящих во второй закон Ньютона, может иметь раз­ личные числовые значения в разных системах отсчета (конечно, при единой системе единиц). И если в формуле

ma = F

величины т, а, F относить к одной из инерциальных систем от­ счета, то в другой инерциальной системе отсчета этот же закон должен быть записан в общем случае в виде

m 'a'— F',

причем величины m', a', F' отнесены к другой (штрихованной) системе отсчета.

можно было использовать в любой из равноправных инерциальных систем отсчета, следует знать числовые значения всех величии, входящих в закон, во всех системах отсчета. Для этого нужно

знать: 1) значения величин m ,a,F в какой-нибудь одной системе отсчета, 2) правила или формулы пересчета величины из одной системы отсчета в другую, которые называются формулами преоб­ разования.

Пересчет значений величин из одной системы отсчета в другую систему отсчета может потребовать в некоторых случаях громозд­ ких расчетов, но это трудности расчетного, а не принципиального характера.

В частном случае может оказаться, что штрихованные значе­ ния величин равны нештрихованным, т. е. что велйчины, связь между которыми выражает данный закон, являются инвариант­ ными. Тогда задача, конечно, упрощается.

12

Решим теперь конкретную задачу. Если формулировка та — F закона Ньютона одинакова во всех инерциальных системах от­ счета, то как в ньютоновской механике преобразуются масса, уско­ рение и сила при переходе от одной системы отсчета к другой? Начнем с массы.

Ньютоновская механика постулирует инвариантность массы, ее независимость от системы отсчета:

т '= т .

Во времена Ньютона и еще долго после него не было извест­ но опытов, в которых проявлялось бы непостоянство массы; такие опыты появились только в начале нашего века. В опытах Кауф­ мана была обнаружена зависимость удельного заряда электрона

е

—

возрастания массы электрона со скоростью. Иначе обстоит дело с ускорением.

Считая ускорение для простоты постоянным, напишем выраже­ ние для него в нештрихованной системе отсчета К'

-* ІІ2— Ui

где по и U\ — скорости тела в системе К в моменты времени со­ ответственно t2 и U по часам системы К.

Для этого же тела, но относительно «штрихованной» инерци­ альной системы отсчета К' выражение для ускорения запишется так:

t , и 'г ^ и 'і

а — А/ it >

I 2— Гі

где и'2 и и'I — скорости рассматриваемого тела относительно си­ стемы отсчета К' в моменты времени Ѵ2 и t\ по часам системы отсчета К'.

Чтобы узнать, как выражается а' через а, нужно знать, как связаны между собой скорости и промежутки времени в системах

Ки К'.

Вньютоновской механике.постулируется, что промежутки вре­

мени между двумя событиями одинаковы во всех инерциальных системах отсчета:

Это утверждение является следствием представления Ньютона об абсолютном характере времени, о èro одинаковости во всех си­ стемах отсчета.

Соотношение между скоростями и' и и данного тела в различных

[3

Пусть для простоты относительное движение систем отсчета про­ исходит вдоль общего для них направления осей абсцисс.

Скорость системы К' относительно К для случая, представлен­

Скорость системы К' положительна, так как она движется в по­ ложительном направлении оси абсцисс системы К.

Скорость же системы К относительно К' равна:

Эта скорость отрицательна, так как система К движется относи­ тельно К' в отрицательном направлении оси абсцисс системы К'.

Время будем отсчитывать от того момента, когда обе системы

и, следовательно, разность абсцисс точки М в системах К и К' будет равна vt:

x= x'-\-vt.

Соотношения (1.1) и (1.3) называются преобразованиями Га­ лилея; они играют очень важную роль в ньютоновской физике. Из них, в частности, вытекает так называемый классический за­ кон сложения скоростей.

Действительно, напишем соотношение (1.3) между координа­ тами движущейся точки Х\ и х \, х2 и х' 2 для двух достаточно близ­ ких моментов времени U и t2:

Хі = Х'і-\-vt,

Хі— х'г+ѵіг,

Вычтем почленно верхнее равенство из нижнего и разделим по­ лучившееся соотношение на промежуток времени t2 — 1\\

14

где ux и u'x — соответственно скорости одной и той же точки в на­ правлении оси абсцисс систем К и /('. Относительная скорость систем К и К' направлена тоже по оси абсцисс, поэтому соотноше­ ние (1.4) можно записать в следующем виде:

Наиболее общим является случай, когда относительное движение инерциальных систем К и К' происходит не по направлению осей абсцисс, а в произвольном направлении, но поступательно. Теперь относительная скорость систем отсчета имеет не одну составляю­ щую ѵх, а три: • Öre, Vy, vz. Тогда закон преобразования скоростей запишется так:

их= и 'х-\-ѵх,

в пространстве. Оси координат представляют собой просто три произвольных взаимно перпендикулярных направления. Одинако­ вость свойств пространства по всевозможным направлениям, рав­ ноправие в нем всех направлений выражает изотропность прост­ ранства.

Кроме того, начало координат любой системы отсчета может находиться в любой точке пространства, в нем нет выделенных точек. Другими словами, свойства пространства считаются оди­ наковыми во всех его точках, т. е. пространство является одно­

Формула (1.4'") выражает классический закон векторного сложе­ ния скоростей в ньютоновской механике. Здесь необходимо обра-

1 тить внимание на следующее важное обстоятельство.

В ньютоновской механике все векторы складываются по пра­ вилу параллелограмма. В процессе преподавания это правило должно обосновываться каждый раз ссылкой на опыт: в ньютонов­ ской механике, т. е. при скоростях, много меньших скорости света в вакууме, опыт свидетельствует, что два вектора эквивалентны од­ ному, определяемому по величине и направлению диагональю па­

15

раллелограмма, построенного с помощью двух векторов. При этом следует четко указать, что в ньютоновской механике векторы скла­ дываются по правилу параллелограмма. Полезно здесь же ука­ зать, что в принципе возможен другой закон сложения векторов, отличный от правила параллелограмма.

Теоретический вывод классического закона преобразования ско­ ростей позволяет понять, что сложение скоростей по правилу па­ раллелограмма обусловлено определенными свойствами простран­ ства и времени, используемыми ньютоновской механикой. Как уже указывалось, в ньютоновской механике время считается абсолют­ ным, единым для всех инерциальных систем отсчета, а простран­ ство — однородным и изотропным. Кроме того, принимается, что геометрические свойства пространства выражаются геометрией Ев­ клида — единственной геометрией, известной учащимся. Короче, ньютоновская механика считает пространство евклидовым. В этой связи полезно обратить внимание учащихся на то, что возможны неевклидовы пространства, т. е. пространства, геометрические со­ отношения в которых отличны от соотношений евклидовой геомет­ рии.

Вернемся теперь к вопросу о том, как классический закон преобразования скоростей (1.4"'.) отразится на ускорении при пере­ ходе от одной системы отсчета к другой. По определению ускоре­ ния тела в этих системах равны:

»2— h — t

и!г — и'1 tz —

Таким образом, из преобразований. Галилея вытекает, что уско­ рение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета, или, иными словами, ускорение инвариантно относительно преобразова­ ний Галилея.

Масса, как уже отмечалось, в механике Ньютона принимается величиной инвариантной. Следовательно, во втором законе Нью­ тона левая часть — произведение массы на ускорение — является инвариантной величиной, одинаковой во всех инерциальных си­

16