/V. |
Вычисление |
|
интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
|
/ («) |
ds |
|
|
|
(П.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
где /(e) — некоторая |
|
функция, |
такая, |
что интеграл |
сходится. |
|
|
|
Интегралы вида (П.24) встречаются при |
вычислении термодинамических |
функций |
вырожденного |
Ферми-газа. |
Так, |
в |
формулах (VIII.42) |
и |
(VIII.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
_з_ |
|
|
|
|
_і_ |
|
фигурирует |
интеграл |
(П.24) при / (г) = е 2 |
, |
в выражении (VIП.63) |
f |
(Е) = е |
2 . |
Интеграл (П.24) вычислим для случая |
&77|л<1. |
|
|
|
|
Сделаем |
замену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
= х; e = |
p, -f- kTx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = s k |
T |
у |
+ |
|
|
d x |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
е Л |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
оГ І&±*ІЙ. d ,+* г |
Г ІІ!І±*І£І |
|
( П . 25) |
|
|
|
и- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Использовав |
равенство |
l/(e* + |
1) = |
1—l/(e- j r + 1), |
преобразуем |
первый |
из |
интегралов |
в правой |
части (П.24): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
J —?ТГ-** |
|
= } |
f^ |
+ bTx)dx-\ |
— F r - r - d x |
= |
|
|
|
У- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü_ |
|
|
|
|
' АГ |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р. |
|
|
АГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При больших оначениях я подынтегральная функция /(;*—feTx)/(eJC+l), стремит ся к нулю по условию сходимости интеграла (в частности, если де) — степенная функция, например е*Л). При интегрировании указанной функции за верхний предел вместо y-lkt можно взять бесконечность, так как u / é T > l . Учитывая это обстоятельство, после подстановки выражения (П.26) в (П.25) получим
(П. 27)
Функции/((i -f kTx) и /((л—kTx) разложим в ряд по степеням около точки * = О
(Т' е' |
6 |
f i» + kTx) = / (p.) + |
V M kTx |
+ |
|
|
|
|
+ Y |
Г (I*) (*7>)2 |
+ |
- y |
/"' (n) (ЙГ*)3 + |
. . • , |
|
/ |
(fx - |
* r * ) = / ( p . ) - |
/ ' (ix) kTx + |
- j |
f" (p) (kTx)* |
- ~ |
Г (i*) |
+ . . . ; |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*>лл = |
»Ш |
|
|
|
После подстановки разности функций в выражение (П.27) находим
|
|1 |
00 |
xdx |
|
|
С |
С |
|
/ = J |
/ ( E ) ( i E + 2 ( f f ) ' r W |
— т |
|
|
о |
о |
|
|
|
|
со |
|
|
|
1 |
Г xsdx |
|
|
|
+ Y < f e T ) S |
M J ; ^ 7 + • • • |
( П - 2 8 ) |
о
Для вычисления интегралов в правой части (П.28) имеется общая формула [521:
оо
Г |
уі-і |
dx = ( l - 2 » - ' ) Г (О С(0. |
|
J |
е Л + 1 |
|
о |
|
|
где Г (<) — гамма-функция; j
со
С (0 = 2 V С > 1 ) - rt=l
дзета-функция Римана;
|
С (2)=тс*/6; С(3) = я8 /25,794; |
С (4) = тс«/90. |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
xd* |
|
|
|
|
1 |
«* |
я* |
|
|
\ |
е х + |
1 |
=(1 — 2 - ! ) |
Г (2) С (2) = — |
-1- - — = = — ; |
|
|
J |
- |
|
|
2 |
6 |
12 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
x3dx |
|
|
|
|
7 |
it* |
7іс* |
|
|
С |
|
|
|
|
, |
|
J |
е* + |
|
= (1 — 2~3) Г (4) £ (4) = |
— . 6 . — => — |
|
1 |
|
|
8 |
90 |
120' |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и для искомого интеграла |
получаем |
выражение |
|
|
|
|
/ = J |
С |
|
de+ |
тс2 |
f'df.) |
7п* |
|
. |
(П.31) |
М«) |
— |
(kT)*+ —Г(р)(кТ)*+ |
|
о |
|
|
|
|
|
|
_3_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение |
(П.31) для |
случая, когда |
fz—z |
2 |
|
|
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
/'<«) = . ! |
Л ; |
Г ( е |
) |
= _1._і_ |
- т |
r w = _ |
_ |
L |
. - |
l |
. - L - T |
|
2 |
|
' w |
|
2 |
|
2 |
' K ' |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
e 2 |
de -f- |
|
|
u . 2 |
(kT)* — |
• |
u. |
2 |
(kT)* |
+ |
. . . = |
|
J |
|
|
6 |
2 |
r |
v |
' 360 |
8 |
|
|
V / |
-r |
. • |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
** |
4- |
|
7u< |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
V. Некоторые задачи комбинаторики
1. Число способов W, которыми N различимых (допустим, пронумерован ных) объектов могут быть расположены по M местам (ячейкам) так, чтобы на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждом месте |
находился |
только |
один объект, |
равно |
числу |
перестановок |
N\. |
В самом деле, объект, занимающий |
первое место, может выть выбран N способа |
ми. После |
того как первый объект выбран, |
второй объект |
можно выбрать |
из |
оставшихся |
(N—1) способами. Следовательно, |
первые две ячейки можно занять |
N(N—1) способами. Продолжая |
рассуждения |
далее, |
получаем |
|
|
|
W = |
N (N — 1) (N — 2). . . |
3-2-1 = |
N\ |
(П.34) |
2. Число |
способов, |
которыми |
УѴ различимых объектов |
можно разместить |
по двум ячейкам так, что в одной ячейке будет находиться M объектов, а во второй |
ячейке N—М, |
равно числу сочетаний из N элементов по М: |
|
|
Действительно, из общего числа перестановок N элементов (N1) многие не дают нового способа распределения частиц между ячейками. Это все перестановки объектов внутри ячеек. Поместив в первую ячейку M пронумерованных объек
тов, можем переставлять их Ml |
способами; число перестановок N—M объектов |
во второй ячейке равно (N—М)І |
Так как каждая перестановка в первой ячейке |
может комбинировать с каждой |
перестановкой во второй ячейке, то при задан |
ном способе распределения частиц по ячейкам будет Ml (N—Af)! перестановок, не дающих нового состояния. Чтобы получить величину Л/!, надо число различ ных способов распределения объектов между ячейками (искомое число W) умно
жить на число перестановок Ml (N—M)l, |
не |
дающих |
нового распределения, |
в |
результате чего получим формулу (П.35). |
|
|
|
|
|
|
|
Часто используют |
запись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
I |
N\ |
|
|
|
(П.36) |
|
|
|
|
Ml(N |
— M)l |
\М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
\ _ |
/ |
N |
|
|
С% |
=С ІГМ. |
|
|
(П.37) |
|
|
м)~\ |
N — М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Число способов, которыми N различных объектов могут быть размещены |
по |
К |
нумерованным |
ячейкам |
так, |
чтобы |
в первой |
ячейке было |
ті |
объектов, |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
* |
|
|
\ |
|
|
|
во |
второй ячейке тъ объектов |
и т. д. |
I |
^ |
т г = |
N |
I , равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
-z |
. |
|
|
|
|
(П.38) |
|
|
|
|
|
|
|
П |
mt\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
Результат можно получить путем рассуждений, |
аналогичных |
приведенным |
выше для случая двух ячеек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Число способов размещения N различимых объектов по нумерованным |
ячейкам так, что число объектов в ячейке может быть любым, равно |
|
|
|
|
|
|
|
W=KN. |
|
|
|
|
|
(П.39) |
поскольку для каждого объекта существует |
К возможностей, |
независимо |
от |
того, |
как размещены |
остальные объекты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Число способов, |
которыми |
|
различимых |
объектов можно |
разместить |
по К нумерованным ячейкам (N<K) |
так, чтобы ни в одной ячейке не было более |
одного |
объекта, равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= |
|
Kl |
|
. |
|
|
|
(П.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(K — N)l |
|
|
|
|
к |
' |
Действительно, для первого объекта существуют К возможностей выбора ячейки, для второго (К—1) и т. д.; для последнего остается (К—N -f- 1) возможностей. Следовательно,
6. Число способов, которыми N неразличимых объектов могут быть раз мещены по К пронумерованным ячейкам (УѴ</С) так, чтобы ни в одной ячейке
не было более одного объекта, равно |
|
|
W = |
Kl |
|
. |
(П.41) |
Так как частицы неразличимы, число состояний уменьшается по сравне нию с предыдущим случаем в ЛМ раз (перестановки частиц, если с частиц стереть номера, не дадут нового состояния).
7. Число способов, которыми N неразличимых объектов могут быть разме щены по К нумерованным ячейкам, равно
Г - <* + * - ' > ' . |
(П.42) |
m (к— і)! |
|
В силу неразличимости частиц различными будут только такие состояния, ко торым отвечают различные наборы чисел заполнения ячеек Ni NK (#, —
число частиц в і-й ячейке). Чтобы получить искомое число различных состояний W, будем рассуждать следующим образом. Представим, что имеется /V ненуме рованных шаров и К нумерованных ячеек, вытянутых в ряд и разделенных пе регородками:
I № ячеек |
(ЦгЩІЩ |
(к-1)(к) |
|
[оо] |o]oooj<"j |оооо| |
t/" мест |
ігзь5б789ю |
м + к ч |
Число внутренних перегородок между ячейками равно К— 1. Ячейка — область между двумя ближайшими перегородками. На схеме, изображающей
состояние системы, |
каждому |
шару или перегородке отводим одно место, так что |
общее число мест |
равно N + |
К—1, причем каждое место занято либо шаром, |
либо перегородкой |
(при таком способе изображения размеры ячейки, естествен |
но, изменяются, но существенно лишь, сколько частиц в ячейке). Будем пере ставлять шары и перегородки по нумерованным N + К—1 местам; при этом сами шары и перегородки будем считать ненумерованными: объекты одного
рода неразличимы. Перестановка только шаров (число перестановок |
равно JV!) |
или только перегородок (число перестановок (К—1)!) не дает нового |
состояния |
(нового набора чисел заполнения пронумерованных ячеек). При фиксированных номерах мест, на которых расположены шары и перегородки, число переста
новок, не дающих нового распределения, |
равно N1 (К—1)! |
Если W — искомое |
число различных способов распределения |
шаров по ячейкам , то {N + К—1)1 = |
= WN\(K—1)!, |
откуда следует формула |
|
(П.42). |
|
|
|
|
VI. |
Некоторые |
универсальные |
постоянные |
|
|
Число |
Авогадро |
|
|
6,0232- Ю3 3 |
|
моль-1 |
Атомная |
единица массы |
(а. е. м.) |
|
1,6602- 10-а |
<г |
|
Масса электрона |
те |
|
9,1083- lu"2» g |
Отношение масс протона и электрона |
|
1836,1 |
|
см/сек |
Скорость |
света |
с |
|
2,99793-101 0 |
Постоянная |
Планка |
h |
|
6,6252- ІО-^эрг/сек |
Газовая |
постоянная |
R |
|
8,315 дж/град- |
моль |
Постоянная |
Больцмана |
k |
|
1,3804410_ 1 в |
эрг/град |
