Вероятность |
отказа, |
равная |
1 — P(t), |
для определенного интервала време |
ни определяется следующим образом. |
|
Вероятность |
о,тказа |
в любом |
сечении |
будет характеризоваться разностью |
между верхним и нижним пределами этих кривых. Например, при подналадке
данным методом за |
1000 ч вероятность отказа будет составлять 92 |
— 46 = 46%. |
З а 2000 ч вероятность отказа составляет 82 — 32 = 50% |
• |
|
|
Соответственно |
надежность работы |
электрорелейной |
системы |
при данном |
методе подналадки |
за 1000 ч будет составлять 54%, а за |
2000 ч —50%. |
Таким же образом можно рассчитать |
вероятность |
безотказной |
работы за |
любой другой период времени. При подналадке по одной детали вероятность от казов будет иметь минимальную величину. Это вытекает из того, что при работе
Рис. 150. Кривые вероятности безотказной работы
в указанном режиме электрорелейная система менее нагружена, чем при усред
ненных подналадках. Вместе с тем надежность работы |
может |
быть повышена |
путем использования более качественных элементов. |
|
|
|
|
Надежность системы зависит также от температуры, влажности, вибраций, |
загрязнения и окисления контактов, точности изготовления элементов и т. д. |
|
Частота |
отказов будет наибольшей на среднем |
участке кривой вероятности |
безотказной |
работы Pcp(t) . |
|
|
|
|
Как следует из рис. 150, кривые распределетия |
вероятности |
безотказной |
ра |
боты носят асимметричный характер. |
|
|
|
|
В табл. |
7 приведено также время исправной работы |
Гиспр. роб, которое |
оп |
ределялось по формуле |
|
|
|
|
|
_ 1 _ |
|
|
|
|
|
^исп. раб = |
|
|
(398) |
|
Срок службы системы без ремонта следует определять, исходя из среднего времени ее исправной работы. Так, например, среднее время исправной работы рассмотренной системы составляет примерно 2260 ч.
Таким образом, разработанная система обладает вполне удовлетворительной надежностью. Данная методика расчета надежности является типовой и может
быть использована для определения параметров надежности |
аналогичных |
систем. |
|
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е У С Т Р О Й С Т В А
ДЛ Я М О Д Е Л И Р О В А Н И Я
ИУ П Р А В Л Е Н И Я
Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И М И П Р О Ц Е С С А М И
Г л а в а X. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ Н А Б Л Ю Д Е Н И И
Исходным пунктом синтеза алгоритмов управления технологи ческим процессом является информация о ходе управляемого про цесса. Эта информация имеет вид статистических характеристик, определяемых в результате наблюдения за процессом. Наибольшее распространение получили оценки математического ожидания и дисперсии процесса, меньшее — оценки моды, медианы и корреляци онной функции.
Иногда при анализе хода технологического процесса приходится строить гистограммы распределения. Методы построения этих оце нок и рассматриваются в данной главе.
§47. О Ц Е Н К И МАТЕМАТИЧЕСКОГО О Ж И Д А Н И Я И Д И С П Е Р С И И
Втеории вероятностей случайная величина определяется как функция, аргументом которой служит элементарное случайное со бытие поля испытания [135]. Исчерпывающей характеристикой слу чайной величины X служит функция ее распределения
F (х) = Prob [X <^х], |
(399) |
где Prob{-}—символ вероятности; X — некоторое число.
В теории вероятностей принято различать дискретные и непре рывные случайные величины [135], отличающиеся видом области определения. В реальных технологических процессах, как правило, встречаются непрерывные случайные величины, область изменения которых ограничена некоторым отрезком (а, ß).
Плотностью распределения случайной величины X называется производная функция распределения по верхнему пределу
|
p(x)=—F(x). |
(400) |
|
dx |
|
Математическим ожиданием m случайной величины X называет |
ся интеграл |
з |
|
|
|
m, |
= j хр (x)dx. |
(401) |
|
к |
|
Дисперсия X определяется как интеграл |
|
|
ß |
|
D, = |
j ' (x — mf p (x) dx. |
(402 ) |
a
В реальных условиях закон распределения значений управляе
мого процесса |
в каждый момент времени неизвестен. Поэтому для |
характеристик |
m и О строят некоторые |
эмпирические оценки. По |
строением этих оценок и исследованием |
их свойств мы и будем за |
ниматься в данном параграфе. Излагаемый ниже материал в зна чительной степени опирается на результаты книги [27].
Пусть имеется случайная величина X, и над нею произведено п
независимых опытов, |
в результате чего получены |
значения: Хи х2, |
..., хп. Требуется на основе этих наблюдений приближенно |
опреде |
лить математическое ожидание тх и дисперсию Dx |
случайной вели |
чины X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через Х{ — значение X в первом опыте, |
через Х2 |
—• |
значение X во втором опыте и т. д., и рассмотрим среднее |
арифмети |
ческое этих независимых случайных величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * |
|
|
|
|
(403) |
|
|
Т * |
= 1=1—. |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание величины m * равно |
|
|
|
|
|
M [m* 1 = — У |
M [X,] = |
— = |
rnx. |
|
' |
(404) |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
Дисперсия этой величины |
|
|
|
|
|
|
|
D |
[m* ] =.- — |
V, D [ХЛ |
= |
|
|
|
(405) |
|
|
|
i=\ |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
m * является несмещенной |
и |
асимптотически |
эффективной оценкой неизвестного математического ожидания |
тх. |
Пользуясь вместо тх |
величиной m *, мы будем |
неизбежно |
совер |
шать ошибку, но, по крайней мере, не введем систематической по грешности.
Обозначим через m *п оценку, найденную по результатам наблю дений. Тогда формулу (403) можно переписать в рекуррентном виде
n-l
тп |
= — |
(n-l) |
•'' ' |
* I |
1 / V |
(406) |
|
n |
|
n — 1 |
ш„_і H |
( A , — rnn- |
|
Из формулы (406) следует, что с увеличением п новым наблюде ниям придается все меньший вес. Формула (406) удобна для реали зации алгоритма определения среднего на ЦВМ.
По аналогии с формулой (403) представляется естественным ис кать оценку D* дисперсии Dx в виде
|
D * = Ы |
п |
, |
|
(407> |
|
|
|
|
|
где m * определяется по формуле |
(403). |
|
|
|
Определим свойства оценки (407). Найдем вначале математиче |
ское ожидание D *. Для этого выразим |
D * через второй |
начальный |
момент случайной величины X: |
|
|
|
|
D* = аЪ |
—(т*У |
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
/ |
|
— У, X? |
V X? |
|
Л— 1 |
|
У. Х(Х, = — |
У Хі |
|
|
(=1 |
|
|
<~1 |
|
|
— 2 |
|
|
|
(408> |
Применяя к выражению (408) операцию математического ожи |
дания, находим |
|
|
|
|
|
M [о*] = |
'Lzl 2 м [X?] — |
2 M UjXy]. |
|
Но дисперсия D * не зависит от того, в какой точке выбрать на чало координат при ее вычислении. Выберем его в точке тх. Тогда
M[X?\ = DX; |
jbM[X?\ |
= |
nDx. |
Так как, по предположению, величины Xi, |
XJ, іф\ независимы, то |
при начале координат в точке тх |
|
|
M 1Х,Х,] = 0. |
|
Поэтому окончательно |
|
|
|
M ID* |
n ~ l |
п |
(409) |
Таким образом, оценка D * является смещенной оценкой диспер сии Dx. Для компенсации смещения достаточно величину D * умно-
