жить на. п/(п—1). |
В результате |
образуется |
несмещенная |
оценка, |
которую обозначим символом D: |
|
|
|
|
|
|
^(Хі-т*у- |
|
|
D |
= — |
D* = |
-!=± |
.. |
(410) |
|
/1—1 |
|
n — 1 |
|
|
С увеличением п обе оценки (смещенная D * и несмещенная D) будут различаться на все меньшую величину, и при tt-ѵоо сходиться к одному и тому же действительному значению Dx.
Оценим теперь дисперсию оценки D.
В силу несмещенности D, на основании общих теорем теории ве роятностей, имеем
D[D\ |
= |
D |
_ i _ 2 ( ^ ( _ M . ) . = |
M ID2] — [M [ D ] ) 2 |
= |
|
|
|
|
= M[D*}-D2X. |
|
|
(411) |
Из формулы (410) следует, что |
|
|
|
|
|
М |
[ Б |
2 ] |
= |
— |
У. М[(Х, |
— т*)*(Х,- |
— т*)Ч. |
(41 |
|
|
|
п |
— 1 о. |
/=1 |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
для |
оценки |
точности |
величины |
(410) необходи |
мо знать моменты четвертого порядка случайных величин ХІ — m* .
Предположим, что случайная величина X распределена |
нормально. |
Тогда |
все случайные |
виличны X,-— m * |
|
также |
распределены |
нор |
мально, и, в силу свойств гауссовского распределения, |
справедливы |
формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [(X,. —m*)4 ] = 3 {M [(X; — m*) 2 ]) 2 ; |
|
(413) |
M |
[(X; — m*f{Xj |
— m*)2 ] |
=M[(Xl |
— m*)%\M |
|
l(X,- — m*) 2 ] |
4- |
|
+ |
2 [M [(X,. — m*){Xf |
|
— |
m*))}2. |
|
|
|
(414) |
Последнее слагаемое в формуле (414) |
вычисляется |
по выраже |
нию [27] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [(Х-, —m*) |
(Xj-m*)\ |
|
|
= |
- |
DJ |
п. |
|
(415) |
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
[(Xi |
- |
m*)*] = |
|
|
1 ) 2 |
DL, |
|
|
|
(416) |
потому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [(X. - |
m*)2 |
(Xj — m * ) 2 ] = |
" 2 "rc"+ |
3 D x . |
(417) |
Таким образом, окончательно для дисперсии оценки D получаем |
|
|
D[D]= |
— |
|
Dl. |
|
|
|
|
|
(418) |
|
|
|
|
n — 1 |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интересно отметить, что смещенная оценка D * имеет меньшую дисперсию и, более того, меньший второй начальный момент. С ро стом п обе оценки, однако, перестают различаться.
Зачастую на практике возникает задача не только определения
оценок т* и D * (или D), но и ориентировочной оценки их точности и надежности.
Пусть в результате ряда наблюдений было получено некоторое значение m*. В общем случае это значение отличается от действи
тельной величины тх. Естественно задать вопрос: с какой |
вероятно |
стью допущенная ошибка не превзойдет |
некоторой |
величины е. |
Обозначим эту вероятность у : |
|
|
|
|
т = Prob [\т* — тх\ |
< з | . |
|
(419) |
|
Вероятность у называется доверительной вероятностью, грани |
цы |
т* — 8 , m * + е — доверительными |
границами, |
интервал |
т* |
± е — доверительным интервалом. Доверительный |
интервал ха |
рактеризует точность полученного результата, доверительная веро ятность — его надежность.
Аналогичный вопрос может быть поставлен и относительно зна-
чения о
2 ( Х , - Я ' ) А
-. (420)
Гя - 1
Вэтом случае доверительная вероятность определяется по анало гичной формуле
|
т = Prob{ |
О } , |
(421) |
где |
ах = fDx. |
|
|
В настоящее время решение задачи о нахождении доверитель |
ных |
интервалов при произвольных |
распределениях |
отсутствует. |
Наибольшие результаты получены для случая, когда |
наблюдаемая |
случайная величина распределена по нормальному закону. |
Пусть величина X подчинена нормальному закону с неизвестны |
ми параметрами тх и ах. |
|
интервалах для |
Рассмотрим вначале вопрос о доверительных |
оценки m *. Введем случайную |
величину |
|
Т = |
171 ~т* , |
(422) |
те |
|
|
|
|
(423) |
Случайная величина Т подчиняется закону распределения Стью-
дента |
[27]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
|
|
|
|
|
Sn(t)= |
|
|
|
|
1 |
— f l + — - \ |
, |
|
(424> |
|
|
|
|
п г |
- |
1) г. Г |
п 2— 1 , |
V |
п — 1.' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ(п |
|
|
|
|
|
|
|
где Г (х) —гамма-функция, определяемая |
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (х) |
= |
(' |
t*-[e~'dt, |
|
|
|
|
|
а п — число |
|
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
наблюдений. Распределение |
Стьюдента |
не |
зависит |
от |
параметров |
ох |
и тх |
величины X, а лишь от аргумента |
t |
и числа |
на |
блюдений п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
помощью |
распределения |
Стьюдента |
можно оценить |
вероят |
ность |
(419). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-, и |
|
|
Зададимся |
произвольным |
положительным |
числом |
найдем |
вероятность |
попадания |
величины |
7* на участок |
( — ; |
г т ) : |
|
|
|
Prob ( I T I > |
t,) |
= |
j |
S„ (О Л |
-= 2 |
f S„ (О Л . |
(425) |
Подставим в формулу |
(425) |
выражение (421). Тогда |
|
|
|
|
Prob J I т*—тл. |
|
|
|
*і |
j" S„(t) |
dt. |
|
|
|
|
|
I < f T S * } = |
2 |
|
|
(426) |
Формула |
(426) |
определяет |
|
вероятность |
неравенства |
j m * — |
— тх\ |
< g при любом |
е. Из |
равенства (426) следует, |
что эта веро |
ятность является функцией лишь двух аргументов — предела |
интег |
рирования г*т и объема наблюдений п. Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 = |
2 |
|
ijSn(t)dt |
|
|
|
|
|
|
о
табулирована, и таблица, отвечающая различным значениям n и у» приведена в книге [27].
Перейдем теперь к среднему квадратическому отклонению ст. Введем случайную величину
В книге [27] показано, что случайная величина / подчиняется рас пределению
- 2
Я — 1
Распределение (428) позволяет найти вероятность неравенства
I о — ах I < |
е, так же, как и неравенства \т* |
— тх\ < е. |
Иногда удобнее ошибку е выражать не в абсолютных, а в отно |
сительных |
единицах. Введем величину q = —, |
т. е. относительную |
величину половины доверительного интервала, выраженную в долях
самого среднего |
квадратического |
отклонения. Соответственно, не |
х |
\ < 8 |
можно переписать в виде |
равенство \а — о |
1 — |
(429) |
Вероятность неравенства (429) есть вероятность того, что относи тельная ошибка в среднем квадратическом отклонении не превзой дет величины q. Эта вероятность зависит от числа q и объема на блюдений.
Введем обозначение
Т |
Prob/ 1 |
< < Д = L{q, |
п—\). |
(430) |
Таблица функции L (q, п— 1) приведена в работе [64].
§ 48. ОЦЕНКА К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н О Й Ф У Н К Ц И И
По определению, корреляционной функцией двух случайных процессов X (i), Y (t) называется функция
Клу fax) = M {[X(t)-mx(t)nY(t |
+ x)-my{t+ |
*)]}. |
(431) |
Оценка корреляционной функции по результатам наблюдений сводится практически к оценке отдельных корреляционных момен тов.
Корреляционная функция, как таковая, имеет конструктивный смысл лишь для стационарных процессов. Тогда она становится функцией не двух аргументов t и т одновременно, а их разности
Кху (t-x) |
= |
M{[X(t)-тх{t)] |
[Y |
(t + х) - т у |
(t + х)]} |
и не зависит от конкретного момента |
t. |
|
|
Предположим, |
что рассматриваемые |
процессы |
стационарны, |
и займемся построением оценок для корреляционных моментов. Бу дем искать оценку корреляционного момента в виде
kh = -^j$(Xi-m'x) (Уі-ml), (432)
где
m*x = — У\ХІ; m'y = |
— V I / , . |
I=I |
I=I |
Соотношение (432) определяет смещенную оценку корреляцион ного момента. Для того чтобы убедиться в этом, вычислим матема тическое ожидание случайной величины
К ! У = - 2 ( Х ( |
. - А Г г ) ( У \ - М у ) , |
(433> |
где |
|
|
|
Л1х= |
2 |
Xf, му = ~ 2 К,-. |
|
п |
— |
п —1 |
|
|
(=1 |
(=1 |
|
С учетом свойств математического ожидания линейных функций случайных величин находим [123]
где kxy — действительное значение корреляционного момента. Это смещение устраняется так же, как в формуле (409).
Дисперсию оценки (434) точно удается найти лишь для нормаль ных случайных величин X,, УІ- В книге [123] показано, что она име ет вид
|
я |
1 |
D.D., |
-4- k~,, |
|
D lKxy] = — - |
• |
У |
х у • |
(435) |
§ 49. ОЦЕНКА ЗАКОНА |
Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я |
|
|
НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ |
Д А Н Н Ы Х |
|
|
|
|
Задача оценки закона распределения на основе опытных данных характерна для начальных этапов отладки технологического про цесса. По виду закона распределения определяется вклад отдель ных элементов оборудования, производится подбор соответствую щих характеристик узлов. Кроме того, знание закона распределе ния необходимо для более точной оценки доверительных вероятно стей и доверительных интервалов.
По определению, функция распределения случайной величины X определяется равенством (399). Теоретическим обоснованием воз можности построения эмпирической функции распределения являет ся теорема Бернулли, в соответствии с которой с ростом числа опы тов п при любом X частота события Х^.х сходится (по вероятности) к вероятности P r o b f X ^ x } . Следовательно, с ростом п эмпирическая
функция распределения F* (х) сходится |
по |
вероятности |
при |
лю |
бом X к действительной функции распределения F (х). |
|
|
При большом числе наблюдений (порядка сотен) перед построе |
нием эмпирической функции распределения экспериментальный |
ма |
териал подвергается обработке — строится так |
называемый |
статис |
тический ряд [125]. |
наблюдений Х\, ..., |
хп |
|
Предположим, имеются результаты |
над |
непрерывной случайной величиной X. Разделим весь диапазон полу-
