Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf

ляться источником возникновения как функциональных, так и соб­ ственно случайных погрешностей. Поэтому погрешности, вызывае­ мые износом режущего инструмента, не следует относить только к систематическим.

Собственно случайные погрешности размеров чащего всего под­ чиняются закону нормального распределения (закону Гаусса). Как известно, условием формирования закона Гаусса является наличие достаточно большого числа случайно действующих и незначитель­ ных по величине факторов. Если число определяющих факторов больше четырех и они примерно одинаковы по величине, то резуль­ тирующим практически будет являться закон Гаусса.

Случайные погрешности обработки и измерения возникают обычно под влиянием большого количества определяющих факто­ ров, вследствие чего они, как правило, подчиняются закону Гаусса.

Условием возникновения закона Гаусса является отсутствие среди определяющих факторов доминирующих. Последние при-

Рис. 5. Искажение кривых Гаусса под влиянием сильно действую­ щих факторов

водят к искажению кривой нормального распределения. Этим свой­ ством кривой Гаусса пользуются при анализе точности технологи­ ческих процессов. Путем сравнения эмпирических кривых распреде­ ления с теоретическими устанавливают наличие в процессах обра­ ботки и измерения сильно действующих факторов, приводящих к увеличению полей рассеивания размеров деталей или результатов измерения.

На рис. 5 условно изображены некоторые эмпирические кривые распределения, представляющие собой кривые Гаусса, искаженные под влиянием доминирующих факторов. Двухмодальная кривая распределения (рис. 5, а) может возникнуть в том случае, если при обработке или измерении резко изменяется (смещается) настройка станка или прибора (условие двухмодальности кривой распре­ деления: 2 М > 2 а ) . Кривая распределения, изображенная на рис. 5, б, может являться следствием сочетания функциональных и соб­ ственно случайных погрешностей, вызванных, например, износом режущего инструмента или измерительных наконечников прибора или изменением величин тепловых и силовых деформаций техноло­ гических и измерительных систем (при условии равномерности из­ менения этих факторов).

32

Кривая распределения, показанная на рис. 5,в, была получена при исследовании точности операции расточки отверстий под порш­ невой палец во время отладки автоматической линии по обработке поршней. Как показали исследования, «карманы» К, возникавшие при построении кривых распределения размеров отверстий, явля­ лись следствием неодинаковой твердости заготовок поршней, чтоприводило к изменению величины отжатия резцов при расточке ими отверстий.

На рис. 6 приведены кривые распределения существенно поло­ жительных случайных погрешностей. На рис. 6,а сплошной линией' показана кривая распределения погрешностей в том случае, когда их центр группирования совпадает с номинальным значением рас­

ем температурных погрешностей). Предположим, например, что на станке у партии деталей нарезается резьба. Цепь подач станка на­ страивается при этом на номинальное значение шага резьбы. Однако вследствие того, что при нарезании резьбы детали нагреваются, пос­ ле их охлаждения за счет температурной усадки центр группирова­

приобретает асимметричный характер (погрешности шага являются

§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРА Г Р У П П И Р О В А Н И Я СЛУЧАЙНЫХ

ПО Г Р Е Ш Н О С Т Е Й

Как известно, влияние па результаты измерения собственно слу­ чайных погрешностей можно свести к минимуму многократным из­

мерением одной и той же величины с последующим вычислением среднего арифметического из результатов измерения. Это обуслов­ лено тем, что с увеличением числа измерений алгебраическая сум­ ма случайных отклонений стремится к нулю и, следовательно, сред­ нее арифметическое из результатов измерения приближается к дей­

Параметр os представляет собой среднее квадратическое откло­ нение ряда значений средних арифметических.

С точки зрения точности активного контроля размеров одной из важных характеристик центра группирования собственно случай­ ных погрешностей является медиана.

М е д и а н о й называется такое значение случайной величины, при котором вероятности отклонений, лежащих по одну и по дру­ гую сторону от медианы, являются одинаковыми, т. е. одинаково ве­ роятно, окажется ли случайная величина меньше или больше ме­ дианы. Перпендикуляр к оси абсцисс, восстановленный в точке, со­ ответствующей медиане, делит площадь, ограниченную кривой рас­ пределения, на две равные части. Таким образом, медиана пред­ ставляет собой квантиль, равную значению Р = — .

У непрерывных случайных величин, кривые распределения ко­ торых симметричны, медиана совпадает с математическим ожида­ нием. У асимметричных кривых распределения и дискретных слу­ чайных величин указанные параметры, как правило, не совпадают. Д л я приближенного определения положения точки, соответствую-

34

ристикой положения центра группирования по сравнению со сред­ ним арифметическим.

Среднюю квадратическую ошибку эмпирической медианы мож­ но определить следующим образом. Известно, что если функция распределения имеет плотность, не равную нулю в точке £, то эмпи­

36

Таким образом, медиана эмпирической функции распределения асимптотически нормальна и имеет параметры

N

У 2л s

т. е.

(16)

Следовательно, среднее квадратическое отклонение эмпирической медианы при нормальном законе распределения равно

УVN

Параметр ат характеризует собой среднее квадратическое от­ клонение ряда значений медиан. Таким образом, при использова­ нии медианы в качестве характеристики центра группирования на результат измерения в большей степени влияют собственно случай­ ные погрешности, чем при использовании средних арифметических (для одного и того же значения N). Однако при законах распре­ деления, отличающихся от нормального, эффективность медианы может оказаться равной или даже большей эффективности средне­ го арифметического. Так, например, для закона распределения вида

справедливо равенство

Определим среднее квадратическое отклонение медианы для закона равной вероятности, а также для композиции законов нор­ мального и равномерного распределения.

Из предыдущего следует, что эмпирическая медиана выборки для закона распределения с плотностью / (х) и интегральной функ­ цией F (х) асимптотически нормальна и имеет параметры

Асимптотическое распределение медианы для закона равной вероятности в интервале (—/, + / ) характеризуется следующими зависимостями:

37