В частности, для моделирования случайных процессов, подчи няющихся нормальному закону распределения, в качестве исходной используют последовательность {ѵп} нормально распределенных случайных независимых величин с параметрами [0; 1]
{ѵп} =ѵ0, v l t щ, vn, . . .
Независимость элементов последовательности {ѵѣ} можно прове рить при помощи вычисления коэффициента корреляции по некото рой выборке объема N
N |
N |
|
|
2 |
2 («i — mv) |
(Vj—mv) |
|
где Vi — элементы выборки; |
2=1 |
|
|
|
|
У , - |
mv — математическое ожидание случайной величины |
Если коэффициент г близок к нулю, то элементы последователь ности можно считать некоррелированными. Для определения неза висимости используют критерий %2 [135].
Собственно случайная |
составляющая погрешности {£„} с помо |
щью последовательности |
{ѵп} формируется следующим |
образом: |
|
Си = О; • ѵ„. |
(553) |
( л = 1, 2, . . . N)
Нестационарный процесс с независимыми приращениями (состав ляющая {цп} во второй модели технологического процесса). Мож но получить также используя последовательность {ѵп} :
Рп = 2 |
Ь = °т |
S "Of |
(554) |
( л = |
1, 2, . . . |
ЛП |
|
Перейдем теперь к моделированию стационарных |
коррелирован |
ных случайных процессов^ В литературе описаны некоторые универсальные приемы, позво
ляющие реализовать стационарные случайные процессы с заданны ми вероятностными свойствами на ЦВМ [109, 140]. Наиболее общий из них [109] заключается в том, что заданная система конечномер ных распределений (если она является исходной) преобразуется в систему условных распределений, с помощью которых требуемый процесс строится шаг за шагом по известным правилам преобразо вания случайных величин. Недостатки этого алгоритма связаны с громоздкостью его реализации, трудностью имитации величин со сложными распределениями.
Модель процесса с заданными корреляционными свойствами строится следующим образом. Сначала вырабатывается последова тельность независимых величин, распределенных по нормальному закону. (Без нарушения общности совместные распределения веро-
ятностей последовательности предполагаются распределенными по нормальному закону). Далее эта последовательность подвергается линейному преобразованию, переводящему ее в новую систему, об ладающую желаемыми свойствами. При этом требуется большая емкость оперативного накопителя в ЦВМ, поэтому для моделиро вания процессов большой длительности этот метод практически не пригоден.
Для реализации на ЦВМ наиболее эффективными преобразова ниями являются преобразования рекуррентного типа [96, 140]
хп |
+ ^ Ч - і + |
• • • + 4Л Ч_* |
= Ь\")ѵп + •••+ *і"Ч-/+ і. |
( 5 5 5 > |
где |
+ |
1, / < / г |
(п |
= 1,2, |
N). |
|
|
|
Верхние |
индексы |
у коэффициентов |
показывают, что они |
могут |
зависеть от переменной п. В работах [140, 89] приведены |
рекуррент |
ные соотношения, получаемые при помощи дискретных |
формирую |
щих фильтров. В работе [2] предложена |
методика построения |
рекур |
рентных соотношений типа (555), основанная на канонических пред ставлениях случайных последовательностей [123]. В работах [89, 90] показана справедливость выведенных соотношений (555) для кор реляционных функций вида
Кх |
(*) = |
І |
е ~ |
ѵ |
( A cos ßx + Bt sin p,x). |
|
( 556) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Поэтому в соответствии с работой [2] стационарный |
случайный |
процесс с корреляционной |
функцией |
вида (547) может |
быть |
смоде |
лирован при помощи следующего рекуррентного соотношения: |
хп + |
а^Хп-і |
+ |
агхп_2 |
= |
Ь[")ѵп + |
b<f>vn_x, |
|
(557) |
где |
|
« 1 = |
|
2е-а |
• cos ш; |
|
|
(558) |
|
|
|
а 2 |
|
= г-2 % |
|
|
(559) |
a коэффициенты Ь4 и Ь2 |
связаны |
следующей |
рекуррентной |
зависи |
мостью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&п+і) = |
-J—e-* |
|
. cos«> (е~2 *— 1); |
|
(560) |
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«з, = |
л Л - ^ ' . с о з ' м + г - ^ . с о з г о ц |
|
( 5 6 2 ) |
|
У |
|
|
|
|
1 — e-2cl cos2 со |
|
|
|
ѴІ и ѵ2— последовательности случайных независимых величин, рас пределенные по нормальному закону с параметрами [0; 1].
Начальные значения xt и х2 в выражении (547) в соответствии с работой [2] определяются по формулам:
|
|
|
|
|
х2 — <ve _ t t cos tüfj + <ѵ |
— e~2a cos2 «о • ѵг. |
(563) |
|
При моделировании процесса большой длительности |
(п-^-оо) ве |
личины Ь\п) и |
стремятся к некоторому |
установившемуся зна |
чению, соответственно, Ьі и Ь2. |
и Ь^п) |
|
|
Скорость сходимости величин Ь\п) |
достаточно велика и со |
ставляет не более |
10—20 тактов процесса. Поэтому процессы боль |
шой длительности |
целесообразно моделировать, приняв |
установив |
шиеся значения Ьі и Ьг и отбрасывая начальный участок процесса (порядка 30—50 тактов). При этом существенно сокращается объем необходимых вычислений.
Установившиеся значения величин by и Ь2 можно определить при решении системы уравнений, составленной на основании выраже
ний |
(560) и (561): |
|
|
|
|
|
|
|
|
&2 = |
J - p ( |
r 2 _ 1 ) ; |
|
|
|
|
|
Ь\ |
|
(564) |
|
|
|
Ь\= |
1 — г* —6§, |
|
|
|
где |
г — е—*, р = |
е—а • cosu>. |
В результате |
решения |
системы |
уравнений (564) величины Ь\ |
и Ь2 |
равны: |
|
1 — Г* , Г 2 — 1 I ,г ~,2 - г 1 ) 3 — 4р2 |
|
U |
Л / |
|
К - |
у |
— |
+ -т~Ѵ |
(г |
|
|
|
|
|
|
|
(565) |
Таким образом, случайный процесс с корреляционной функцией вида (547) на ЦВМ моделируется с помощью рекуррентного соот ношения:
Ѵ-п = — 2р(х„_і + |
г Ѵ « - 2 + |
<ѵ (Ь{ип |
-г М л - і ) , |
(566) |
где величины bi и b2 определяются в соответствии |
с |
выражени |
ем (565). |
|
|
|
|
|
Рекуррентное соотношение для моделирования случайного про |
цесса с корреляционной функцией вида (548) |
можно |
получить не- |
лосредственно из выражений |
(565) и |
(566), |
положив со = 0, т. е. |
Q = г. Тогда |
|
|
|
|
|
К = V 1 — г2 |
; |
|
|
(567) |
|
|
|
|
|
ь2 = —гу 1 - г2 .
Подставив выражения (567) в формулу (566) и проведя неслож ные алгебраические преобразования, получим требуемое рекуррент ное соотношение
Рп = гц л _ , + ом Y 1 - г 2 • ѵп. |
(568) |
С учетом выражений (553) и (566) получим алгоритм моделиро вания модели 1 технологического процесса с корреляционной функ цией составляющей {цп } вида (547)
х„ = *о + Ря + * л - Н / Г . 'о
/„ = а • п;
(569)
r = е~а, p = е-% • cos ш.
=2, . . . . Л/).
Коэффициенты Ьі и Ь2 |
в системе |
(569) определяются в |
соответ |
ствии с выражением |
(565). |
|
|
|
|
|
|
Если корреляционная |
функция составляющей {р,п } в модели 1 |
имеет вид, аналогичный выражению |
(547), то алгоритм моделиро |
вания технологического процесса с учетом выражений (567) |
и (568) |
будет иметь следующий вид: |
|
|
|
|
|
хп |
= *о + |
|
+ ln + |
S«; |
|
|
Л:0 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г ( 1 Я _ 1 |
-f- |
Op. ] / " |
1 |
^2«-i; |
(570) |
|
|
*л = |
V, in |
|
|
|
|
|
|
|
[n = |
\, |
2, |
|
A/). |
|
Реализация модели 2 технологического процесса на ЦВМ может |
быть осуществлена с учетом выражений |
(555) и (554). Тогда полу |
чим следующий алгоритм: |
|
|
|
|
|
|
|
х„ = |
ха |
+ |
|І„+ /Я + 6„; |
|
|
*о = |
Ѵо |
°"a |
|
|
|
|
5„ = |
2п • |
e ; |
|
|
|
|
if. |
n |
|
|
|
(571) |
|
Рл |
|
oT |
S |
V2n—Ï, |
|
|
|
|
|
|
/„ = |
a |
|
|
|
|
|
|
|
( " = 1, 2, . . . . N). |
|
При моделировании технологических |
процессов в соответствии |
с выражениями (569) — (571) |
предполагались известными |
все ста |
тистические характеристики |
процессов: дисперсии оф |
<?2 и а2^ |
( 5 7 4 >
вид корреляционной функции (т), а также средняя интенсив ность износа инструмента а. Поэтому при математическом модели ровании технологического процесса первоочередной является зада ча определения его статистических характеристик и составления математического описания процесса. Методика определения стати стических характеристик технологических процессов по результатам наблюдений была рассмотрена в гл. X.
Последовательность отклонений размеров изделий от заданного
уровня в управляемом технологическом процессе {хп} |
на |
каждом |
такте можно представить в виде |
|
|
|
|
хп = хп + |
+ |
и„, |
|
(572) |
где ип — управляющее воздействие |
|
(подналадочный |
импульс) в |
п-ош такте процесса. |
|
|
|
|
Подналадочный импульс ип формируется в зависимости от при |
нятого для данного технологического |
процесса алгоритма |
подна |
ладки.
Подналадка по k деталям подряд. Подналадочный импульс по дается тогда, когда k деталей подряд оказались за пределами сиг нальной границы. Наиболее распространен данный алгоритм подна
ладки |
для |
k — 1. В этом случае |
при симметричном |
расположении |
сигнальных |
границ |
|
|
|
|
|
|
A-ûgnxn-\, |
если |
| x „ _ i l > L ; |
(573; |
|
|
О |
если |
\хп-\\ < |
L , |
|
|
|
где А — амплитуда подналадочного импульса; |
|
|
L |
—- положение сигнальной |
границы |
относительно номинально |
го значения размера изделия, принятого за ноль.
Если расстояние между сигнальными границами свести до нуля и совместить их с серединой поля допуска, то получим метод пуль сирующей подналадки [152]. В этом случае подналадочный импульс подается на каждом такте технологического процесса в соответст вии с выражением
и„ = — А • signx„_i
С » - 1 . 2
Для формирования подналадочного импульса по k деталям под ряд введем вспомогательную функцию i|)„:
j 1 |
, |
если |
| x „ | > L ; |
( О |
, |
если |
| х я | < / . . |
Тогда алгоритм подналадки по k деталям подряд можно пред ставить в виде
А • sign.*;„_!, |
|
k |
|
|
если |
П |
(|»л_у- = |
1; |
О |
если |
''ы |
'!>„_;• = |
<575> |
П |
0. |