Файл: Егоров Н.И. Физическая океанография.pdf

жениями и напряжениями, обусловленными молекулярной вяз­ костью, которые выражаются соотношением

где А — некоторый условный (виртуальный) коэффициент турбу­ лентной вязкости, обусловленный не движением (переносом) от­ дельных молекул, а переносом количества движений путем тур­ булентных движений конечных объемов жидкости.

Существенным различием коэффициента турбулентности А от молекулярного р является зависимость его от самих характери­ стик движения. Кроме того, коэффициент А существенным обра­ зом зависит от тина и масштаба осреднения. Для морской турбу­ лентности вопрос о периоде осреднения, как пространственном, так и временном, имеет существенное значение. По наблюдениям, ко­ эффициенты вертикальной турбулентной вязкости колеблются в пределах от 10-1 до 104 см/с2, а коэффициенты горизонтальной турбулентной вязкости превосходят их в 103—108 раз. Так как ко­ эффициент А не физическая константа, а зависит, в свою очередь, от осредненной скорости, были предприняты попытки установить связь коэффициента турбулентной вязкости с осредненной скоро­ стью. Более или менее успешной оказалась попытка Прандтля (1925). Он выдвинул гипотезу о переносе количества движения от­ дельными молями жидкости в направлении, перпендикулярном осредненному потоку (по оси Z) на некоторое расстояние 1и на­ званное им путем смешения. Это расстояние, проходимое молями (объемами) воды без изменения средней скорости до их столк­ новения.

Разность осредненных скоростей на расстоянии h может быть

приближенно представлена в виде /1 - ^ —. Эту разность Прандтль

принимает пропорциональной турбулентным пульсациям, т. е.:

du и' h Ж ’

/du

vh -д— • dz

Тогда для турбулентного напряжения рu'v'

о

| « V |= / 2

du dz

101

где

P = ~ i i T 2.

р

знак, запишем формулу в таком виде:

Сравнивая с формулой Буссинеска, получим

А = 12

Путь смешения / — малоопределимая и трудноизмеримая ве­ личина. Однако в отличие от А он не зависит от средней скорости, а является только функцией положения рассматриваемой точки. Величину / оказывается возможным выразить во многих задачах через характерные величины с размерностью длины. Так, напри­ мер, в задачах о турбулентном течении вблизи твердой стенки I можно принять пропорциональной расстоянию до границ потока.

В морской турбулентности теория Прандтля находит примене­ ние при решении задач, имеющих в качестве определяющих пара­ метров величины с размерностью длины, как это имеет место, на­ пример, в задаче о турбулентном перемешивании в ветровых вол­

где х2 = 0,38—постоянная Кармана. Отсюда

Формула Кармана может быть использована только для верти­ кальной турбулентности, когда имеют место резкие изменения ско­ рости по вертикали (срезывающий поток).

Статистическая теория турбулентности. В статистической теории турбулентности оановное внимание уделяется изучению составляю­

102

щих пульсационной скорости течения и', v', w'. Эти составляю­ щие рассматриваются как случайные величины, для которых и оп­ ределяются основные статистические характеристики.

Так как средние значения и' = v' =w' = 0, то по принятому ус­ ловию в качестве меры амплитуды пульсационных скоростей при­ нимаются корни квадратные из средних значений квадратов пуль­

сационных составляющих У (и')2; ]/ (и')2; У (w')2.

1. Если эти величины разделить па среднюю скорость потока U то получим первую статистическую характеристику турбулентно­ сти, называемую и н т е н с и в н о с т ь ю турбулентности (продоль­ ную, поперечную и вертикальную):

2. Среднее от произведения двух пульсационных скоростей, во обще говоря, отлично от нуля и характеризует некоторым образом связь между данными компонентами скорости в рассматриваемой точке потока. Всего можно составить девять различных комбина­ ций средних произведений компонент скорости, которые образуют симметричный тензор второго ранга, называемый т е н з о р о м м о м е н т о в к о р р е л я ц и и :

и который отличается от тензора турбулентности Рейнольдса лишь постоянным множителем р.

В качестве меры статистической связи между пульсирующими величинами (например, и', v') используется обычно не момент корреляции, а коэффициент корреляции, определяемый из соот­ ношения

U V

R-

Y u , 2 - V v ' 2

Коэффициент корреляции является основной количественной ме­ рой статистической связи между исследуемыми пульсирующими ве­ личинами. Если отсутствует линейная статистическая связь, то, как известно, R = 0, а при линейной функциональной связи R = 1 (по модулю).

3. Кроме корреляции между различными пульсационными ско­ ростями, измеряемыми в одной точке, большой интерес представ­ ляет корреляция между пульсационными скоростями в двух раз­ личных точках потока Mi и Мг, разделенных некоторым расстоя­ нием г. Можно составить девять различных произведений из

103

пульсационных скоростей, образующих в общем случае несиммет­ ричный тензор, называемый тензором моментов связи второго по­ рядка:

средних квадратических отклонений соответствующих пульсаци­ онных скоростей, получим девять коэффициентов корреляции, ко­ торые в данном случае будут зависеть от расстояния между точ­ ками М1 и М2.

Выберем точки Mi и М2 на оси X, тогда для пульсационной скорости и' в точках Mi и М2, находящихся на расстояниях х друг от друга, получим коэффициент корреляции

UIU2

V ?Кг

Очевидно, что если х = 0 (точки Mi и М2 совпадают), то

Ru=l, а при x-voo

Если проинтегрировать теперь функцию Ru(x) от 0 до оо, то по­ лучим еще одну основную статистическую характеристику турбу­ лентности с размерностью длины — продольный масштаб турбу­

лентности

ОО

Lx = \ R u{x)dx.

о

Расположив точки Mi и М2 по оси Y, получим поперечный масштаб турбулентности

ОО

1 у= 5 Я п(У)dy-

о

Кроме рассмотренных коэффициентов корреляции большое значе­ ние имеет корреляция между одной и той же компонентой пульса­ ционной скорости, измеренной в одной точке, но в различные мо­ менты времени, т. е.

Q ( / ) = _____U> U' (^0~М)______

V W W V W W + W '

Этот коэффициент корреляции суть функция времени и называ­ ется коэффициентом автокорреляции. Интегрирование Ru (t)

104

(а также R v(t) или Rw(t)) по времени от нуля до бесконечности дает масштаб с размерностью времени — временной масштаб тур­ булентности.

Если за и ' (t0) и u'(t0 + t) принять значения скорости одной и той же частицы в моменты to и to + t, то получим коэффициент кор­ реляции в форме Лагранжа, имеющий существенное значение при исследовании турбулентной диффузии.

Спектральная теория турбулентности. В спектральной теории турбулентности основной характеристикой турбулентности явля­ ется спектр турбулентности. В данном случае мгновенная скорость u(t) в турбулентном потоке рассматривается как результат нало­ жения большого числа простых синусоидальных колебаний с раз­ личными частотами и определенными амплитудами. Основной ве­ личиной, характеризующей разложение функции u(t), служит спектральная функция F(n), которая определяется следующим равенством:

u’2(t, п, n-\-dn)

F(n)u

и'2 (t)

где u'2(t, n, ti + dri) — средний квадрат доли величины u'2(t), соот­

ветствующий интервалу частот от п до n + dn\ u'2(t) — осредненная составляющая всех частот. Следовательно, F (п) dn определяет часть кинетической энергии пульсаций с частотами от п до n + dn от общей осреднепной энергии пульсационного движения.

Спектральная функция удовлетворяет очевидному условию

со

J F(n)dn = 1.

6

Спектральную функцию F(n) можно связать с рассмотренными выше коэффициентами корреляции (по Тейлору) следующими фор­ мулами:

СО

F ( n)u= 4 I" R u (0 cos 2r.ntdt,

о

где Ru(t) —коэффициент автокорреляции, или автокорреляцион­ ная функция, или

F («)ц= -4 - f R u (х) cos 2т-п -й- dx,

и о и

где Ru(x) — коэффициент продольной корреляции.

В свою очередь, спектральную функцию можно выразить через коэффициенты корреляции Ru(t) и Ru(x), так как они являются

105

парами преобразования Фурье:

со

R u (r)= [ F (я)„ cos 2r.iit dn, 6

Приведенные основные статистические характеристики турбу­ лентности дают достаточно полную статистическую картину потока. Однако определение (измерение) этих характеристик в море свя­ зано с большими трудностями. Для измерения вертикальной тур­ булентности, характеризующейся малыми пространственными и временными масштабами, необходимы малоинерционные и высоко­ точные приборы.

Некоторые успехи в этом направлении достигнуты на кафедре физики вод моря и суши МГУ, где был создан малоинерционный прибор-турбулиметр под руководством А. Г. Колесникова; с по­ мощью этого прибора проведен ряд наблюдений в Атлантическом и Индийском океанах и на Черном море. В результате обработки записей получены интересные данные об интенсивности турбулент­ ности, вертикальном коэффициенте турбулентного обмена и неко­ торых других статистических характеристиках турбулентности в поверхностном слое моря.

Однако полученных данных пока слишком мало для более или менее подробного анализа статистических характеристик турбу­ лентности.

Для горизонтальной турбулентности, имеющей значительные временные и пространственные масштабы, требования к инерцион­ ности и точности приборов значительно ниже. Современные букво­ печатающие вертушки БПВ, дающие осредненные значения ско­ рости за 2—3 минуты, могут быть использованы для изучения статистических характеристик горизонтальной турбулентности. В на­ стоящее время по наблюдениям на буйковых станциях получены корреляционные и спектральные функции для составляющих го­ ризонтальной скорости, оценены масштабы турбулентности, опре­ делены значения горизонтальных градиентов турбулентности.

Тем не менее полученные данные весьма ограниченны. На их основе пока нельзя дать какие-либо теоретические предсказания о функциональном виде и изменчивости во времени и простран­ стве приведенных статистических характеристик турбулентности. Однако, несмотря на отсутствие общей теории, дающей ответ на указанные вопросы, в настоящее время существуют теории упро­ щенных (идеализированных) схем турбулентности — изотропной и локально-изотропной. Рассмотрим сущность этих теорий.

Изотропная и локально-изотропная турбулентности. Турбулент­ ность называется однородной, если ее осредненные статистические характеристики в какой-либо точке потока не зависят от положе­ ния этой точки в пространстве, а двухточечные характеристики

106