Файл: Егоров Н.И. Физическая океанография.pdf

I

I

I

У

Рис. 7.6. Орбиты частиц и профили волн на различных глубинах.

Суммарная фаза 0 частицы

0= 0'+ 6"

или

Обозначая для краткости

Рассмотрим теперь, от каких переменных зависит радиус орбиты частицы г. Из сделанных допущений следует, что радиус орбиты частицы есть функция ординаты центра орбиты Ь и не зависит от абсциссы а и времени t. Для определения этой функции используем

214

Тогда выражение, стоящее в скобках в уравнении неразрывно­ сти (7.3), примет вид

Согласно условию неразрывности (7.3), производная по времени от этого выражения должна равняться нулю, а значит, в уравнении должны отсутствовать члены, содержащие время t. Единственный член, зависящий от времени, это cos0.

Следовательно, для выполнения условия неразрывности множи­ тель при cos0 должен быть равен нулю, т. е.

дг

kr + дЬ = 0.

Так как г зависит от Ь, частные производные можно заменить полными и записать

г

После интегрирования получим

In г = —£b + const.

Постоянную интегрирования найдем из условия, что при 6 = 0, т. е. на поверхности моря, г= г0 и, следовательно, const = ln r0.

Подставляя найденное значение для const, получим

In г = —kb + In г0,

или

In— = —kb,

Го

откуда

Итак, по мере удаления от поверхности моря радиусы орбит ча­ стиц уменьшаются по экспоненциальному закону и тем быстрей, чем короче волна.

На рис. 7.1 видно, что радиус орбиты частиц равен полувысоте

215

где h0— высота волны на поверхности моря. Из формулы следует,

длине волны (b =Л) — в 535 раз

Полученная связь позволяет оценить глубину, на которой волне­ ние практически исчезает. Эта глубина может быть принята равной половине длины волны. В океане, где встречаются ветровые волны, имеющие обычно длину не более 100 м, на глубине 50 м волнение практически отсутствует.

Для выяснения характера изменения давления при волнении воспользуемся уравнениями движения (7.2), в которые подставим частные производные от х и z по а, b и t из выражения (7.4) с уче­ том соотношений (7.6) и (7.8).

После некоторых преобразований и интегрирования получим

Так как в трохоидальной теории рассматривается свободное вол­ нение, когда силы, вызвавшие волнение, в том числе и ветер, отсут­ ствуют, можно считать, что во всех точках взволнованной поверх­ ности давление р0 должно быть постоянным и независимым от фа­ зового угла 0. Для этого необходимо, чтобы член, содержащий cos 0, отсутствовал, что может быть при условии, когда

п2 — k g = 0,

или

Разделив обе части последнего равенства на k2, с учетом приня-' тых ранее обозначений получим

Следовательно, скорость распространения волны с в бесконечно глубоком море зависит только от длины волны.

Согласно принятым ранее обозначениям, с = — , поэтому выра-

R>

жение (7.6) можно записать в виде

0=& (а — ^ t\ = k (a —ct).

216

Тогда уравнения (7.4), определяющие движение частиц при вол­ нении, с учетом (7.8) можно записать в таком виде:

Эти уравнения справедливы для любой частицы жидкости. По­ этому если в какой-то момент времени t мы найдем геометрическое место частиц, находившихся в начальный момент на горизонте Ь, то тем самым получим профиль волны на этом горизонте. На рис. 7.1 такой профиль показан на глубине b от поверхности моря, а на рис. 7.6 для различных глубин. Эти профили перемещаются со скоростью с вдоль оси X.

Преобразуем уравнение (7.14) так, чтобы можно было устано­ вить форму профиля волны, описываемого этими уравнениями. Для

Найдем отсюда а и подставим его значение в (7.15):

Уравнения (7.16) описывают профиль поверхности волны. Кри­ вая, описываемая этими уравнениями (при / = 0), представляет со­ бой трохоиду. Трохоидальные профили волн, лежащие на различ­ ных глубинах b (7.14), различаются между собой высотой волны, так как высота волн убывает с глубиной по закону, выражаемому формулой (7.9). Длина волн, их период и скорость с глубиной не изменяются.

Выше мы приняли, что на поверхности моря давление р0 по­ стоянно и не зависит от фазы волны, т. е. поверхность волны яв­ ляется изобарической поверхностью. Обращаясь к выражениям (7.10) и (7.12), видим, что поскольку для поверхности n2 — kg = 0, то и для любой глубины Ь волновая поверхность является изобари­ ческой. Поэтому пределы изменения давления на любой глубине соответствуют высоте волны на той же глубине и уменьшаются с глубиной. Практически можно считать, что на глубине, большей, чем длина волны, давление при прохождении волны не изменяется. Следовательно, для измерения (записи) поверхностных волн при­ борами, основанными на регистрации изменения давления, прибор должен быть установлен на небольшом углублении, а для того

217

чтобы перейти от измеренной высоты волны на глубине b к высоте волны на поверхности, необходимо учитывать закон изменения вы­ соты волны с глубиной.

Так как волновые поверхности изобарические, то при принятом постоянстве плотности они должны были бы быть параллельными. В действительности расстояние по вертикали между волновыми профилями в различных точках оказывается неодинаковым (рис. 7.6). Это объясняется тем, что при движении частиц по орби­ там возникает центробежная сила, которая изменяет их вес. Изо­ барические поверхности расположены дальше друг от друга под гребнем, где вес частиц меньше, и ближе под подошвой, где он

•больше. Объяснение этого явления детально освещено в «Океано­ графии» Ю. М. Шокальского.

Итак, рассмотренная трохоидальная теория волн в бесконечно глубоком море позволяет сделать следующие выводы:

1) при волнении частицы движутся по круговым орбитам, р диусы которых убывают с глубиной по экспоненциальному закону

г = г 0е

Соответственно убыванию радиусов орбит частиц убывает и вы­ сота волны

h= h0e

2) скорость распространения волны зависит только от ее длины

С глубиной она не меняется, так же как не меняются период и длина волны;

3)профиль волны представляет трохоиду;

4)пределы изменения давления при прохождении волны с глу­ биной уменьшаются пропорционально уменьшению высоты волны. На глубине, равной длине волны, изменения давления исчезающе малы (высота волны уменьшается в 535 раз).

Выводы трохоидальной теории волн находят свое практическое

приложение при исследовании зыби в океане, которая близка к двухмерной свободной волне. Для реальных ветровых волн, ко­ торые являются вынужденными и трехмерными, применимость этих выводов ограничена. Оказывается возможным пользоваться фор­ мулой (7.9), использовать формулу (7.13) для средних характери­ стик ветровых волн, применять в качестве приближения соотноше­ ния (7.16), описывающие форму профиля волны в тех случаях, ко­

гда глубина моря больше длины волны.

Выводы из теории волн для мелководного моря. В рассмотрен­ ной трохоидальной теории влияние глубины моря на волны не учи­ тывается. Вместе с тем трение о дно существенно изменяет геомет-

218