Файл: Егоров Н.И. Физическая океанография.pdf

Рис. 7.10. Схема для вычисления потенциальной энергии волн.

г] может быть найдено на площади OO'NN', которая равна яг2. Так как расстояние 0 0 ' равно X, то

я г2

11 = - X '

Отсюда потенциальная энергия частицы, имеющей массу, рав­ ную единице, ДЕа будет равна

я л2

Л£ п—ё X

Найдем теперь кинетическую энергию частицы с единичной мас­ сой АЕК. Она равна

где v — линейная скорость движения частицы по орбите.

Но о = сог, где со — угловая скорость движения частицы по орбите,

2я

которая связана с периодом волны выражением <о = -----.

т

Всвою очередь, из формул (7.1) и (7.13) имеем

л/ 2яА,

*ё

Следовательно, кинетическая энергия частицы с единичной мас­ сой будет равна

и2 со2г2 4я2г2 An2gr2

К=Т = _ 2 ~ =~ЖГ = ^ 1 ~

или после сокращения

ё ш 2

Л£к =

Таким образом, кинетическая энергия частицы с единичной мас­ сой равна потенциальной. Полная энергия равна сумме -кинетиче­ ской и потенциальной энергии, т. е.

2 g n г 2

А£ = Д£к+ Д £п =—=- .

А

Количество энергии, которым обладает столб воды толщиной d b с основанием, равным единице, и плотностью р, будет

тт г 2

d E = АЕ р d b = 2 g p —— d b .

Л

Для получения полной энергии, заключенной в столбе воды с единичным основанием, т. е. энергии, приходящейся на единицу поверхности волны, необходимо проинтегрировать это выражение по всей толще от нуля до бесконечности

E = ^ 2 g ^ ^ - d b ,

найдем энергию, приходящуюся на единицу поверхности волны, принимая, что на поверхности моря высота волны равна ho,

Это выражение справедливо для двухмерной волны, у которой высота волны не меняется вдоль гребня. Для трехмерной волны со­ отношение будет иным. Если положить, что вдоль гребня волны ее

трохоидой, а частицы движутся по замкнутым круговым орбитам.

226

В действительности, как показывают наблюдения, частицы имеют и поступательное движение, которое называется в о л н о в ы м т е ч е ­ нием. Оно возникает независимо от того, есть ли ветер или нет его, т. е. обусловлено природой самого явления. Волновое течение не следует смешивать с ветровым течением, возникающим одновре­ менно с волнами под действием касательных напряжений. Теория возникновения волнового течения была разработана академиком В. В. Шулейкиным в 1954 году. Для уяснения этого вопроса рас­ смотрим движение частиц по их орбитам, считая их круговыми.

На рис. 7.11 представлены орбиты частиц А и В, находящихся на одной вертикали. Расстояние между их центрами равно у. Выше указывалось, что такие частицы при движе­

жения в верхнее наблюдается «недостаток» частиц.

Скорость поступательного движения частиц, т. е. скорость вол­ нового течения, за период волны изменяется. Осредиеппая за пе­ риод волны скорость волнового течения vB на поверхности выра­

Так как радиус орбит частиц убывает с глубиной по экспонен­ циальному закону (7.8), то скорость волнового течения vBz на глу­

бине г определится формулой

2 (

® „ ж = Г о ( —

С волновым течением связано увеличение фазовой и групповой скорости на величину vBz.

Оно также изменяет орбитальное движение частиц и вызывает отклонение профиля волны от трохоиды.

На рис. 7.12 светлыми кружками показаны фактические орбиты частиц, наблюденных Шулейкиным в штормовом бассейне. Как видно, они имеют петлеобразный характер. Но если исключить вол­ новое течение, орбиты частиц оказываются близкими к окружно-

Рнс. 7.12. Орбитальные движения частиц по наблюдениям в штормовом бассейне.

стям. Такая орбита показана на том же рисунке черными круж­ ками.

Для характеристики профиля волны при петлеобразном движе­ нии можно представить движение частиц по орбите при условии, ко­ гда ее центр перемещается в направлении распространения волны со средней скоростью волнового течения. В последнем случае орби­ тальное движение частиц приобретет характер эллиптического.

Рис. 7.13. Профили волн при круговом орбитальном движении частиц.

а — трохоидальный, б — эллиптический.

На рис. 7.13 представлены профили волн при круговых орбитах (а) — трохоидальный профиль волны и при эллиптических (б). Как видно на рисунке, профиль волны при наличии волнового течения отличается от трохоиды большим заострением гребня и притуплен­ ной впадиной. Уравнения движения частиц при таком профиле мо­

жно записать в виде

x = RQ + a sin 0, z = b cos0,

228

аналогичные уравнениям (7.15). В отличие от последних здесь R =

X

= _ 2 я Г ’ а — большая полуось эллипса, Ь— малая полуось того же

эллипса, характеризующего движение частиц по их орбитам.

§ 36. Физическая картина развития и затухания волн

Рассмотренные выше классические теории морских волн обла­ дают одним существенным недостатком: они не вскрывают про­ цесса развития и затухания волн и механизма передачи энер­ гии от ветра к волне. Между тем решение именно этих вопросов не­ обходимо с целью получения надежных соотношений для расчета элементов волн. Поэтому дальнейшее развитие теории морских воли пошло по пути установления эмпирических, а затем и теоретических связей между ветром и волнением с учетом разнообразия реальных морских ветровых волн и нестационарностн явления.

Зарождение ветровых волн. Качественно зарождение волн мо­ жно объяснить следующим образом. При начале действия ветра на поверхности моря образуются капиллярные волны (рябь). Они на­ блюдаются визуально при скорости ветра порядка 0,7 м/с и харак­ теризуются высотой порядка 3—4 мм и длиной 40—50 мм. Их воз­ никновение можно объяснить следующим образом. При действии ветра на неподвижную водную поверхность в приводном слое воз­ духа создается большой вертикальный градиент скорости ветра. Вследствие этого движение воздуха у самой поверхности воды ста­ новится неустойчивым и распадается на отдельные вихри с гори­ зонтальными осями, перпендикулярными к направлению ветра. Ви-, хри создают пульсационный ход давления над водной поверхностью, что и приводит к образованию первичных капиллярных волн. Даль­ нейшее воздействие ветра приводит к возрастанию амплитуды волны и ее переходу из капиллярной в гравитационную.

Для количественной оценки развития ветровых волн необхо­ димо рассмотреть уравнение баланса энергии волн, выведенное проф. В. М. Маккавеевым в 1937 г. и определяющее в настоящее время физическую сущность развития и затухания волн.

Уравнение баланса энергии волн и методы его решения. Для вывода уравнения баланса энергии ветровых волн глубокого моря примем, что волна является двухмерной, и выделим объем с сече­ нием ABCD, расположенным перпендикулярно направлению рас­ пространения волн. Ось X направим в сторону распространения волны (по ветру —w), а ось Z вертикально вверх. Ось Y положим перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 7.14), а расстояние по оси равным единице. Тогда выделенный объем численно будет равен площади сечения ABCD, что позволяет перейти от трехмер­ ной задачи к двухмерной.

Положим, что нижняя граница выделенного объема располо­ жена на глубине, на которой волнение отсутствует. Расстояние ВС, равное dx, будем считать достаточно малым для изменения средних значений элементов волн. Очевидно, что изменение средней

229

волновой энергии в выбранном объеме за единицу времени будет

дЕ_

dt dx,

где dx = BC, а Е характеризует среднюю волновую энергию, заклю­ ченную в столбе жидкости с единичной площадью основания и вы­ сотой, равной высоте выделенного столба. Это же изменение энер­ гии можно подсчитать и другим способом. Через грань АВ слева в единицу времени поступает энергия в количестве Е • vc, где vc — скорость переноса энергии, равная групповой скорости волн.

Рис. 7.14. К выводу уравнения баланса энергии волн.

Через грань DC энергия уходит в количестве

Через грань AD в единицу времени поступает энергия от ветра в ко­ личестве

МР dx + Mx dx,

где Мр — количество энергии, передаваемое ветром за счет нор­ мального давления ветра, отнесенное к единице площади; Мх— то же за счет касательного напряжения.

Наконец, часть энергии в количестве Epdx рассеивается турбу­ лентной вязкостью и переходит в тепло; Ец — количество рассеивае­ мой энергии, отнесенное к единице площади.

Таким образом, полное изменение средней энергии в выделен­

Приравнивая оба выражения для изменения энергии в единицу времени и сокращая на dx, получим уравнение баланса энергии ветровых воли

дЕ

dt дх (Evc)JrMp-\-Mx— Ер,.

230

Количество энергии Е в столбе жидкости с единичным основа­ нием определяется выведенной ранее формулой

^gpa2

где а — амплитуда волны.

Скорость переноса энергии, равная групповой скорости, опре­

деляется для коротких волн вышеприведенной формулой vc=~^-,

где с — фазовая скорость распространения волн.

Уравнение (7.26) связывает между собой неизвестные элементы волны — высоту h и длину К в любой момент времени t со скоростью ветра, продолжительностью его действия и расстоянием, проходи­ мым волной вдоль оси X и называемым д л и н о й р а з г о н а .

Действительно, энергия волны Е, как показывают соотношения

дЕ

(7.23) и (7.24), связана с высотой волны. Член dt характеризует изменение энергии во времени, а следовательно, и изменение вы-

соты волны. Член уравнения д (vcE) определяет перенос энергии

в направлении распространения волны и связан с расстоянием, проходимым волной вдоль оси X (длиной разгона), с групповой ско­ ростью волны сгр, которая определяет скорость переноса волновой энергии, и с высотой волны, с которой связана энергия волны Е. Члены уравнения Мр и Мх определяются не только скоростью действующего ветра, но и зависят от элементов волн. Количество теряемой энергии Е^ также связано с элементами волны.

Так как уравнение (7.26) включает две неизвестные величины h и К, его решение не может быть осуществлено без дополнитель­ ного соотношения, связывающего между собой эти неизвестные. Классические теории дают связь только между длиной волны л, ее периодом т и скоростью распространения с, а поэтому не могут быть использованы для установления соотношения между h и L Такие соотношения строятся исходя из тех или иных гипотез с уче­ том экспериментальных данных.

Решение уравнения баланса энергии оказывается более простым

дЕ п

для условии установившегося волнения, т. е. когда —^ -= 0 .

Однако даже и в этом случае возникают существенные трудно­ сти. К ним относятся вопросы физического объяснения механизма передачи энергии от ветра к волне (а следовательно, и обоснование методов расчета передаваемой мощности), определение потерь на

231