Файл: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский.pdf

0

I

0

I

I

B dB

dl

2 R

0

4 R

2

4 R

2

2R

Рассчитаем теперь поле, создаваемое отрезком прямого проводника с

током, в точке М, отстоящей на расстоянии b от проводника.

Выделим

элемент

проводника

I

M

dl

b

(рис. 4.3).

Пусть элемент dl

виден из точки М

dB

под

малым

углом d . Положение точки М

d

относительно

элемента

определяется

dl

вектором

Из

рисунка

видно,

что

r

r .

rd

выполняются следующие соотношения

r

b

и dl

rd

bd

.

(4.6)

dl

cos

cos

cos2

Рис. 4.3

Используя закон Био-Савара-Лапласа (4.5),

запишем

индукцию

магнитного

поля,

создаваемого элементом тока dl в точке М, как

0

0

dB

Idl sin

Idl cos .

(4.7)

4 r2

4 r2

2

Подставив (4.6) в (4.7), получим

dB

0

I

d .

cos

(4.8)

4

b

Направление вектора dB (перпендикулярно плоскости чертежа) показано

отрезком провода протяженностью, равной расстоянию

от элемента

до

dl

основания перпендикуляра, опущенного из точки М,

нужно найти

сумму

векторов dBi от всех элементов dli. этого отрезка. Так как ориентация векторов

dBi одинакова, векторное суммирование можно

заменить простым

B

1

I

cos d

I

sin .

0

0

4 b

4 b

1

0

35

В случае отрезка, концы которого лежат по обе стороны от основания

перпендикуляра, к последнему выражению, очевидно, надо прибавить

аналогичное, в котором надо заменить 1

на 2 . В результате, получим общее

выражение для индукции магнитного поля, создаваемого прямым проводником

конечной длины

B 0I (sin sin

2

)

(4.9)

4 b

1

В случае бесконечного прямого тока 1

2

2 и, в итоге, получим

B

0 I .

(4.10)

2 b

Силовые линии магнитного поля прямого тока представляют собой

концентрические окружности (см. рис. 4.3).

4.3. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора

магнитной индукции) и его применение

Мы видели, что циркуляция вектора напряженности электростатического

поля по замкнутому контуру равна нулю. Иначе обстоит дело с магнитным по-

лем. Найдем циркуляция вектора В

по како-

му-либо замкнутому контуру. Рассмотрим

простейший случай прямого тока, и пусть вы-

бранный контур L лежит в плоскости, перпен-

I

дикулярной току I (рис. 4.4). Выберем малый

d

элемент контура

dl

и рассмотрим скалярное

r

, где

B

произведение

B, dl

В индукция маг-

dl

нитного поля,

создаваемого током I

в точке,

Рис. 4.4

где расположен вектор dl

. Из рисунка 4.4 и из

(4.10) следует, что

0

I rd 0 I d ,

B, dl B dl

B

2 r

2

где r кратчайшее расстояние от проводника с током до элемента

dl , d

угол, под которым виден элемент dl

из точки пересечения проводника и плос-

кости контура.

Тогда циркуляция вектора B

по замкнутому контуру L будет

равна

0

I d .

B, dl

L

2

L

B 0nI .

(4.14)

Пусть обмотка, содержит N витков, и по ней течет

ток I (на рисунке показана только часть обмотки).

R2

В качестве контура интегрирования L выбе-

r

рем

среднюю линию тороида

радиусом

R1

r=(R1+R2)/2, где R1 и R2 внутренний и внешний

радиусы тороида. В силу симметрии,

вектор В в

каждой точке контура L должен быть направлен по

Рис. 4.6

касательной к этому контуру и быть постоянным

по модулю. Выбранный нами контур охватывает

все N витков. Тогда закон полного тока для тороида будет выглядеть следую-

щим образом

Bdl B 2 r 0 NI ,

L

откуда получим

0 NI

B 2 r .

(4.15)

сформулировал свой закон в виде

dF I dl , B ,

(4.16)

сила Ампера, т.е. сила, действующая на элемент

где dF

dl

проводника с то-

ком I,

находящийся в магнитном поле с индукцией

В . Направление вектора

четыре пальца были вытянуты по направ-

лению тока в проводнике, то отставлен-

ный большой палец укажет направление

I

силы Ампера (рис. 4.7).

Модуль силы Ампера вычисляется

B

по формуле

F

dF = IBdlsinα,

(4.17)

Рис. 4.7

где угол между векторами dl

и В

Закон Ампера позволяет определить

единицу индукции магнитного поля В тесла (Тл):

1 Тл индукция такого

однородного магнитного поля, которое действует с

I1

I2

силой в 1 Н на каждый метр длины прямолинейного

I1

проводника,

расположенного

перпендикулярно

направлению поля, если по этому проводнику течет

B1

ток в 1А (1 Тл = 1 Н/(А м)).

dF1

dF2

Закон Ампера можно использовать для

b

определения

силы

взаимодействия

двух

прямолинейных параллельных проводников с током.