Файл: Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Курс лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 53
Скачиваний: 0
Токи, текущие от нас, обозначаются как Ä, текущие на нас – как ʘ.
r r
Поскольку òBdl ¹ 0 , то магнитное поле не является потенциальным, оно
L
называется вихревым или соленоидальным.
r
Теорему о циркуляции вектора B (15) называют также законом полного тока для магнитного поля в вакууме.
Применив теорему о циркуляции (15), можно рассчитать индукцию магнитного поля соленоида и тороида(задание для семинарских занятий/самостоятельной работы). Соленоидом называется цилиндрическая катушка, на которую вплотную намотано большое число витков провода. Тороид представляет собой тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора.
Поле соленоида:
|
|
I |
|
|
|
B= m0 IN / l = m0nI , |
(16) |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
dl |
3 |
|
где N - число |
витков, l - длина |
|
|
|
|
|
|
соленоида, n=N / l. |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Рис. 2 |
|
||
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|||||
L
Рис.7
Поле тороида: |
|
B= m0 IN / 2pR , |
(17) |
где N- число |
витков, R – радиус |
средней линии тороида, n=N / l.
Поле тороида неоднородно: но уменьшается с увеличениемr. Поле вне тороида равно нулю.
Рис.8
5.5. Магнитный поток. Теорема Гаусса
Магнитный поток через малую поверхность площадьюdS, которую можно считать плоской и в пределах которой магнитное поле можно считать однородным,
r |
dФ = B d S = BdS cosa = B n dS |
(18) |
r |
|
|
где S = S n , n - нормаль к поверхности. |
|
|
34
Магнитный поток сквозь произвольную поверхность
Ф = òdF = òBd S = òBndS .
|
S |
S |
Магнитный поток в СИ измеряется в веберах - (Вб): 1Вб = 1 Тл×1 м2. |
||
природе нет магнитных зарядов(монополей) и поэтому теорема Гаусса для |
||
магнитного потока имеет вид |
|
|
Ф = òBd S = òBndS = 0 , |
(19) |
|
S |
S |
|
т.е. магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.
5.6. Работа перемещения проводника и рамки с током в магнитном поле
|
Согласно |
|
закону |
|
Ампера |
на |
||
|
проводник |
с |
током |
в |
|
магнитном |
|
|
|
поле, направленном «на |
|
нас», |
|
||||
|
действует |
сила F = IlВ, |
которая |
|
||||
|
направлена |
|
вправо. |
Если |
под |
|
||
|
действием |
этой |
силы |
|
проводник |
|
||
|
переместится |
на dx, |
то dA = Fdx = |
|
||||
|
IBldx = IBdS = IdФ, где dФ=Ф2–Ф1 |
|
||||||
Рис.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- это изменение |
магнитного потока, пронизывающего контур. |
|
|
|
|
|
||
Итак, работа, совершаемая магнитным полем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA=IdФ. |
|
|
|
|
|
(20) |
|
Заметим, что работа совершается за счет энергии источника , токане за счет магнитного поля.
5.7. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца
r
На элемент тока Id l в магнитном поле с индукцией B действует сила Ампера
r d F = Id l ´ B .
Появление этой силы связано с действием силы со стороны магнитного поля на носители тока в проводнике. Покажем это. Пусть заряд носителя тока q, скорость его направленного движения v, концентрация n, тогда
I = |
dQ |
= |
qdN |
= |
qndV |
= qnS |
dl |
= qnSv , |
(21) |
dt |
dt |
dt |
|
||||||
|
|
|
|
dt |
|
||||
где dQ = qdN - заряд в объеме проводника dV = Sdl; ndV=dN - число носителей тока в
r
проводнике длиной dl; d l - направлено по току и совпадает со скорост положительных зарядов. Окончательно
r |
r |
´ B |
d F |
= qdN v |
Отсюда сила, действующая на один заряд, называемая силой Лоренца,
35
r |
r |
´ B |
F L = q v |
||
При наличии электрического поля сила
r |
r |
r |
r |
FL |
= qE + qv ´ B . |
||
Это выражение называют формулой Лоренца.
Модуль магнитной составляющей силы Лоренца (22) равен :
FL=qvBsina,
r v
здесь a - угол между направлениями векторов v и B .
(22)
(23)
(24)
5.8. Магнитные моменты атомов
Если несущие ток провода находятся в какой-либо среде, то магнитное поле изменяется. Объясним это явление.
Опыт |
показывает, что |
все вещества, |
||
помешенные |
в |
магнитное , |
поле |
|
намагничиваются. |
Классическая |
|
||
физика |
это |
объясняет |
сушествованием |
|
в |
|
веществе микротоков, |
||
обусловленных движением электронов
в атомах и молекулах. |
|
|
|
Действительно, |
|
электрон, |
|
движущийся |
по |
круговой |
орбите |
вокруг ядра своего атома, эквивалентен |
|
||
круговому току, (см.рис.10), поэтому |
|
||
Рис.10 |
|
|
|
он обладает орбитальным магнитным моментом |
|
|
|
pm = I S = IS n , |
|
(25) |
|
который по модулю равен |
|
(26) |
|
pm = eS / T = eSv , |
|
|
|
где T - период вращения, v = 1 / T - частота вращения электрона на орбите.
r
Кроме того, электрон обладает собственным или спиновым магнитным моментом pms (spin - верчение; квантовомеханическая характеристика, аналога которой в классической механике не существует).
Общий магнитный момент атома равен сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов, входящих в атом электронов:
pa = å pm + å pms .
Магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше и ими обычно пренебрегают.
36
5.9. Намагниченность и напряженность магнитного поля
Всякое вещество является магнетиком, оно способно под действием внешнего магнитного поля приобретать магнитный момент, . . намагничиваться. Для количественного описания намагничивания вводят вектор намагниченности, равный магнитному моменту единицы объема магнетика, т. е.
|
r |
P |
|
n |
r |
|
|
|
|
å pia |
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
J = |
m |
= |
i =1 |
|
, |
(27) |
|
|
|
|
||||
|
|
DV |
|
DV |
r |
||
где п - число атомов (молекул), содержащихся в объеме D V , |
Pm - магнитный момент |
||||||
атомов в объеме D V , |
r |
|
|
|
|
|
|
pia - магнитный момент i - того атома. |
|
||||||
Намагниченность, как следует из (4), в СИ измеряется в А/м. Оказывается, для |
|||||||
несильных полей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = c H , |
(28) |
||||
здесь c - безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества; для вакуума и, практически, для воздуха c= 0; Н - напряженность магнитного поля, его силовая характеристика, которая описывает магнитное поле макротоков, или токов проводимости. Макротоки ранее мы называли просто токи. Для вакуума
|
|
|
|
r v |
|
|
|
|
|
(29) |
|
|
|
|
H = B0 / m0 , |
|
|
|
|
||
она измеряется в СИ в А / м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вектор магнитной индукции в веществе |
характеризует |
результирующ |
|||||||
магнитное поле в веществе, создаваемое всеми макротоками и микротоками: |
||||||||||
|
|
r |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
(30) |
|
|
B = B0 + B' = m0 Н + m0 J . |
|
|
|
|||||
С учетом (28) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B = m0 H + m0 c H = m0 (1 + c)H = m0 mH , |
|
(31) |
||||||
где |
m = 1 + c |
называется магнитной |
проницаемостью |
m |
- безразмерная |
|||||
вещества, |
||||||||||
величина. Она показывает, во сколько раз усиливается магнитное поле в веществе. |
||||||||||
Напомним, что |
e - диэлектрическая |
проницаемость |
показывает, во |
сколько раз |
||||||
электрическое поле ослабляется в веществе. |
|
|
|
|
|
|||||
5.10. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
r r |
n |
|
|
|
Ранее было показано, что для поля в вакууме |
òBdl = m0 åI k . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
L |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
В случае поля в веществе эта теорема о циркуляции B запишется так |
|
||||||||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò Bdl |
= m0 (I + I '), |
|
|
(32) |
|
|||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
I и I’ |
соответственно |
|
алгебраические |
суммы |
макротоков |
и микротоко, |
|||
охватываемых контуром L. Можно показать, что |
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
r |
= I '. |
|
|
|
(33) |
|
|
|
|
ò Jdl |
|
|
|
|
||||
L
37
С учетом этого (32) перепишется в виде
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
(34) |
|
|
|||
|
ò( |
- J )dl = I , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
r r |
n |
||
или, принимая |
во внимание(31), |
найдем |
- J = H |
|
и |
òHdl = I , где I= åIk - |
|||||||||
|
|||||||||||||||
алгебраическая сумма макротоков. |
|
|
m0 |
|
|
|
L |
|
k =1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В итоге имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r r |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
òHdl = åIk |
|
|
|
|
|
|
(35) |
|
|
|||||
Выражение (35) |
L |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
r |
и гласит: |
|||
представляет |
собой теорему о циркуляции |
вектораH |
|||||||||||||
Циркуляция вектора напряженности |
магнитного |
|
r |
по |
любому |
замкнутому |
|||||||||
полHя |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контуру L равна алгебраической сумме макротоков, охватываемых контуром. Вектор r
напряженности магнитного поля H , являясь аналогом электрического смещения D , определяется только макротоками. Из (35) следует, что Н измеряется в А/ м.
5.11. Виды магнетиков
В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики подразделяются на три группы:
1) ДИАМАГНЕТИКИ, у которых c отрицательна и мала(10 -5 ¸10 -6 ); для них m =1 + c несколько меньше единицы; диамагнетиками являются Zn, Au, Hg, Si, P, С (графит), Bi (висмут)... Диамагнетики незначительно ослабляют внешнее магнитное поле.
2) ПАРАМАГНЕТИКИ, у которых c положительна и |
мала(10 -3 ¸10 -5 ); с ростом |
температуры c уменьшается по закону Кюри: c ~ 1/T, |
для них m несколько больше |
единицы; парамагнетиками являются щелочные металлы, кислород... Парамагнетики незначительно усиливают внешнее магнитное поле.
3) ФЕРРОМАГНЕТИКИ, у которых c положительна и очень велика: может достигать, например, у супермалоя 800000; для Fe магнитная проницаемость m = 5000. Таким образом, ферромагнетики являются сильномагнитными веществами.
Рис.11 |
Рис.12 |
Магнитная проницаемость m для них зависит |
Hот (рис. 11), и для каждого |
ферромагнетика имеется определенная температура, |
называемая точкой Кюри, при |
38
