Файл: Лекция 08.pdf

Скачать файл (0,59Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 8

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Лекция 8. Линейные операторы

8.1. Оператор простого типа

Определение 1. Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, относительно которого его матрица является диагональной.

Определение 2. Линейный оператор, имеющий в некотором базисе диагональную матрицу называется оператором простого типа или оператором простой структуры..

Пусть в линейном пространстве n задан оператор	ˆ	1, 2 , ... , n	- n
	A . Пусть

различных собственных чисел. По теореме 4. 2) (лекция 6), относящиеся к ним собственные векторы u1,u2 , ... ,un - линейно независимы, следовательно, образуют базис в n . Найдем

матрицу оператора		ˆ
матрицу оператора		A в базисе из собственных векторов u1,u2 , ... ,un . Подействуем на
						ˆ
данные базисные векторы оператором A :
ˆ		0u2		... 0un - по определению собственного значения
A(u1 ) 1u1 1u1		0u2		... 0un - по определению собственного значения
ˆ	0u1	2u2 ... 0un
A(u2 ) 2u2	0u1	2u2 ... 0un
…
ˆ	0u1	0u2		... nun
A(un ) nun	0u1	0u2		... nun
			u1	0	...	0

Тогда Au D			0	u2	...	0	- матрица оператора	ˆ
Тогда Au D			...	...	...	...	- матрица оператора	A в базисе из его собственных
			...	...	...	...

				0	...
			0	0	...	un
векторов.

Теорема 1. Линейный оператор ˆ является диагонализируемым (оператором простого

типа) тогда и только тогда, когда в линейном пространстве существует базис, из собственных векторов этого оператора.

		ˆ
Пример 1. Линейный оператор A , действующий в линейном пространстве 2 , задан
1 2	Ae	1	0
1 2
в базисе {e} {e , e } матрицей				.
		2	3

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0 .

		0
A E	1		( 1)( 3) 0

e	2	3

2. Корни уравнения	1		1, алг кратность 1	- собственные значения линейного
			3, алг кратность 1
		2

оператора ˆ .

x1 - главная переменная, а

3. Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению.

3.1. 1 1. Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .

0	0	x	0
		1
2	2		0
2	2	x2	0

Решая однородную систему линейных уравнений, получим: x2 - свободная переменная. Положим x2 С , тогда x1 С .

Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 1 1, имеют вид:

U		С			1
U			C				C 0 ,		базисом пространства решений данной системы
	1					,	C 0 ,		базисом пространства решений данной системы
		С			1
				T				1
				T
является вектор u1 ( 1;1)					, Ф.С.Р.=				, геометрическая кратность равна 1.
								1
								1

3.2. 2		3. Решим матричное уравнение (Ae 3E)X 0 .
2		0	x		0
		1
	2
	2	0	x2		0

Решая однородную систему линейных уравнений, получим: x1 - главная переменная, а x2 - свободная переменная. Положим x2 С , тогда x1 0 .

Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 2 3 , имеют вид:

U		0		0
U	2		C			C 0	базисом пространства решений данной системы
	2				,	C 0	базисом пространства решений данной системы
		С		1

		T	0
является вектор u2		T
является вектор u2		(0;1) , Ф.С.Р.=		, геометрическая кратность равна 1.
			1
			1

Векторы u1 и u2 - линейно независимы, т.к. относятся к различным собственным
значениям (теорема 3.2) лк 6), т.к. dim 2 2 , то u1 и u2 образуют базис в					2 , тогда по
теореме 1 оператор		ˆ			ˆ
теореме 1 оператор		A является диагонализируемым. Матрица оператора			A в базисе из
собственных векторов имеет вид:
	1	0
A D
u
	0	3

Сделаем проверку с помощью матрицы перехода. Обратимся к лекции 5, теорема 3.

Матрица перехода – матрица, составленная из координат новых базисных векторов ( u1 и u2 ),

выписанных по столбцам:

		1 0			С 1	1	1		0	1 0
С			, detC	1 0 ,
		1 1				1		1		1 1
	e u		e u		e u				1

A С 1		A С	1	0	1	0	1	0	1	0	1 0	1	0
A С 1		A С
u	e u	e e u
			1	1	2	3	1	1	3	3	1 1	0	3
			8.2. Примеры заданий по теме линейные операторы
		8.1. Линейные операторы в пространстве геометрических векторов
	Пример 2. Пусть задан линейный оператор, действующий в каноническом базисе
									ˆ
{i , j, k} пространства геометрических векторов V3 .									ˆ
{i , j, k} пространства геометрических векторов V3 .									A - проекция на ось Ox.

1.	Найти матрицу оператора.
		(5; 1;2) .
2.	Найти образ вектора x	(5; 1;2) .

3.Найти ядро и образ оператора.

4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.

5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.

Решение.

1.Найдем матрицу оператора, для этого подействуем оператором на базисные векторы:

	z							ˆ						;	ˆ			ˆ	(0;0;0)
								A(i ) (1;0;0)						;	A( j ) (0;0;0)			; A(k )	(0;0;0)
								Составим матрицу оператора, выписав координаты
								образов базисных векторов по столбцам:
		k								1	0	0

					y			A		0	0	0
		O						A		0	0	0
		O	j
			j							0	0	0
										0	0	0
	i							det A 0 , следовательно,									ˆ
																	ˆ
	x																A - вырожденный.
	x
																	5	y1
	2. Пусть			ˆ			-	образ	вектора,			пусть
	2. Пусть			y A(x)			-	образ	вектора,			пусть				X	1 ,	Y y2	, тогда верно

																	2	y3
						1		0 0		5		5

соотношение: Y A X							0	0 0		1			0		.
							0	0 0		2			0
							0	0 0		2			0

3.1.Пусть Ker

уравнение Ae X , где

ˆ	(x1, x2 , x3 ), x			3	ˆ
A {x	(x1, x2 , x3 ), x				: A(x) }. Решим матричное
x1		0

X x2	,	0	.
		0
x3		0

1		0	0 x			0
					1
Ae X	0	0	0		x2	0	, откуда x		0
								1
	0	0	0			0
	0	0	0	x3		0
rang Ae 1,		значит,			система	имеет бесконечно много решений. Пусть x2 С1
x3 C2 - свободная переменная, тогда						x1 - базисная,			x1 0 .

0			0		0

Общее решение X	С1	С1	1	С2	0	,
	С2		0		1
	С2		0		1

ˆ	(0,0,1),С1,С2	ˆ	ˆ
Ker A {С1(0,1,0) С2	(0,0,1),С1,С2	}, Ker A ,	dim( KerA) 2
3.2. Для нахождения образа воспользуемся алгоритмом подробно описанным в лекции
6. Найдем образы базисных	векторов:	ˆ	ˆ
6. Найдем образы базисных	векторов:	v1 A(i ) (1;0;0) ,	v2 A( j ) (0;0;0) ,

v3 A(k ) (0;0;0) . Исследуем систему

Координаты образов образуют матрицу Ae

ˆ ˆ ˆ на линейную независимость.

{A(i ), A( j ), A(k )}

, ранг которой равен 1. Базисом является вектор

ˆ												ˆ						ˆ	ˆ
v1 A(i ) (1;0;0) .								rang A dim(Im A) 1.											Im A { (1,0,0), }.
			ˆ						ˆ		2 1 3 dim .
dim( KerA) dim(Im A)											2 1 3 dim .
	4.		ˆ
	4.		A необратим, так как det A 0
	5.1. Составим характеристическое уравнение данного преобразования:																				Ae E		0 .
																					Ae E		0 .
							1				0		0
							1				0		0
		A E					0			0					2 (1 ) 0
		A E					0			0					2 (1 ) 0
		e
							0				0
													0, алг кратность 2
	5.2. Корни уравнения													1						- собственные значения линейного
																1, алг кратность 1
														2
			ˆ
оператора A .
	5.3. Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению.
	5.3.1. 1				0 . Решим матричное уравнение (Ae 0 E)X 0 .
					1 0					0 x							0
													1
		Ae	X			0		0		0			x2				0	, как	было показано выше, решением			является
						0 0				0							0
						0 0				0		x3					0
			0						0					0

вектор		U	1	С1		С1				1		С2		0	,	C1 , C2 0 , базисом пространства решений							данной
				С2						0				1
				С2						0				1

			0	0
T
T	u2 (0;0;1)T		1 ,	0
системы является вектор u1 (0;1;0) ,	u2 (0;0;1)T	Ф.С.Р.=	1 ,	0	, геометрическая
				1
			0	1

кратность равна 2. Из геометрических соображений понятно, что собственными векторами, относящимися к собственному значению 1 0 , являются ненулевые векторы, которые при проектировании обращаются в нулевой вектор.

5.3.2. 1 1. Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .

0 0			0 x			0
					1
( Ae 1 E) X	0	1	0		x2	0	,	x C	- свободная переменная,	x	2	0	,
								1			2
	0	0	1			0
	0	0	1	x3		0

		С		1
x3 0	- базисные переменные. Решением является вектор U 2
x3 0	- базисные переменные. Решением является вектор U 2	0	С	0	, C 0 , базисом
		0		0
		0		0

	1

T
T	0
пространства решений данной системы является вектор u3 (1;0;0) , Ф.С.Р.=	0	,
	0
	0

геометрическая кратность равна 1. Из геометрических соображений понятно, что собственными векторами, относящимися к собственному значению 2 1 , являются ненулевые векторы, которые принадлежат оси Ox.

	Пример 3. Пусть задан линейный оператор, действующий в каноническом базисе
		ˆ
{i , j, k}		ˆ
{i , j, k}		пространства геометрических векторов V3 . A	- поворот вокруг оси Oy на 90	по
часовой стрелке.
	1.	Найти матрицу оператора.

	2.	Найти образ вектора x (2; 1; 2) .

3.Найти ядро и образ оператора.

4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.

5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.

Решение.

1.Найдем матрицу оператора, для этого подействуем оператором на базисные векторы:

B(i )

k ˆ

B(k )

O		y
i	j
i
x

2. Пусть ˆ(x)

ˆ		(0;0;1) ;		ˆ	ˆ
A(i )				A( j ) (0;1;0) ;	A(k ) (1;0;0)
Составим матрицу оператора, выписав координаты
образов базисных векторов по столбцам:
	0	0	1
A	0	1	0

	1	0	0

	ˆ
det A 0 , следовательно, A - невырожденный.
	2		y1

- образ вектора, пусть X	1	,	Y y2	, тогда верно
	2
	2		y3

		0	0	1	2	2


соотношение:	Y A X	0	1	0	1	1 .
		1	0	0	2	2
		1	0	0	2	2

Смотрите также файлы

Министерство науки и высшего образования российской федерации обнинский институт атомной энергетики филиал.docx

Отчет по практике вид практики производственная Тип практики практика по получению профессиональных умений и опыта профессиональной деятельности.docx

Контрольная работа по дисциплине Администрирование логистических систем.docx

Разграничение государственной собственности на землю является процессом.docx

Семинар 13.pdf

Файл: Лекция 08.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно