Файл: Лекция 08.pdf

3.1.

ˆ

(x1, x2 , x3 ), x

3

ˆ

Пусть Ker A {x

: A(x) }. Решим матричное

x

0

1

уравнение

Ae

X , где X x2

,

0

.

0

x3

ˆ

ˆ

6. Найдем образы базисных векторов: v1 A(i ) (0;0;1) ,

v2 A( j ) (0;1;0) ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

v3 A(k ) ( 1;0;0)

. Исследуем систему {A(i ), A( j ), A(k )} на линейную независимость.

Координаты образов образуют матрицу

Ae , ранг которой равен 3. Базисом являются векторы

ˆ

ˆ

ˆ

v1 A(i )

(0;0;1) , v2 A( j ) (0;1;0) , v3

A(k ) ( 1;0;0) .

ˆ

ˆ

ˆ

(0,1,0) (0,0, 1), , , } .

rang A dim(Im A)

3 . Im A { (0,0,1)

ˆ

ˆ

dim

.

dim( KerA)

dim(Im A) 0 3 3

ˆ

так как det A 0 . Для нахождения обратного

4. По критерию оператор A обратим,

ˆ

1

, найдем матрицу A

1

.

оператора A

ˆ

1

Таким образом, A

- поворот вокруг оси Oy на 90 против часовой стрелки.

5.

Собственные векторы предлагается найти самостоятельно. Необходимо уметь

объяснять геометрический смысл.

Пример 4. Пусть задан линейный оператор, действующий в каноническом базисе

ˆ

{i , j, k}

пространства геометрических векторов V3 .

A - отражение относительно плоскости

Oxz.

1.

Найти матрицу оператора.

2.

Найти образ вектора x (3;2; 4) .

3.

Найти ядро и образ оператора.

1 0

0

3

3

соотношение: Y Ae

X

0

1

0

2

2

.

0 0

1

4

4

3.1.

Пусть

ˆ

{x

(x1, x2 , x3 ), x

3

ˆ

Ker A

: A(x) }. Решим матричное

x

0

1

уравнение

Ae X

, где X

x2

,

0

.

0

x3

ˆ

ˆ

6. Найдем образы базисных векторов: v1 A(i ) (1;0;0) ,

v2 A( j ) (0; 1;0) ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

v3 A(k ) (0;0;1) . Исследуем систему {A(i ), A( j ), A(k )} на линейную независимость.

Координаты образов образуют матрицу

Ae , ранг которой равен 3. Базисом являются векторы

ˆ

ˆ

ˆ

v1 A(i ) (1;0;0) , v2

A( j ) (0; 1;0) ,

v3 A(k ) (0;0;1) .

ˆ

ˆ

ˆ

(0, 1,0) (0,0,1), , , } .

rang A dim(Im A) 3 . Im A { (1,0,0)

ˆ

ˆ

dim

.

dim( KerA) dim(Im

A) 0 3 3