ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
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5x'2 10 y'2 40 y' 2 0
5
Выделим полные квадраты
5x'2 |
10( y'2 |
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4 y' |
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4 |
) 8 2 0 |
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5x'2 |
10( y' |
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2 |
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)2 |
10 |
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x'2 |
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X x' |
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2 |
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( y' |
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) |
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1 |
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Сделаем замену |
2 |
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Y y' |
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5 |
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Данное преобразование соответствует сдвигу системы координат по оси O
Получаем каноническое уравнение эллипса |
X 2 |
Y 2 |
1 |
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2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 |
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2 |
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x |
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x' |
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y' |
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X |
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(Y |
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) |
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5 |
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5 |
5 |
5 |
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1 |
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2 |
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y |
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x' |
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y' |
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X |
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(Y |
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) |
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5 |
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1 |
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2 |
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x |
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X |
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Y |
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5 |
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5 |
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2 |
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1 |
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2 |
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y |
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X |
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Y |
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5 |
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5 |
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5 |
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||||||||||||||||||
Новый центр системы координат |
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|
). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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X x' |
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4 |
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||||||
Y |
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y' |
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3 |
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|||||||||||
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2 |
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1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Пример 5. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка
4x2 11y2 20xy 64x 16y 32 0
Решение. Рассмотрим уравнение кривой, выделив квадратичную часть:
4x2 11y2 20xy 64x 16y 32 0 |
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квадратичная часть |
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Выпишем матрицу квадратичной части: |
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Матрица квадратичной формы: |
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4 |
10 |
A |
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10 |
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11 |
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0 . |
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Найдем корни характеристического уравнения |
Ae E |
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4 |
10 |
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16 |
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||||
|
Ae |
E |
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10 |
11 |
2 |
7 144 |
( 16)( 9) |
0 1 |
|
- |
|
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2 9 |
|
собственные значения.
Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению:1 16 . Решим матричное уравнение (Ae 16Е)X 0 .
20 |
10 |
x |
|
0 |
20 |
10 |
2 |
1 |
||||||||
|
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|
|
, |
|
|
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10 |
5 |
|
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|
|
0 |
|
|
10 |
5 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Решением |
являются |
|
векторы |
U |
С |
|
1 |
|
C 0 |
, |
|
базисом |
пространства |
|||||||||||||||
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|
|
, |
|
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|||||||||||||||||||||||
|
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1 |
1 |
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2 |
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1 |
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решений является вектор u (1;2)T . Нормируем его: |
h1 ( |
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1 |
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; |
2 |
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) |
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|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
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1 |
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5 |
5 |
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||||||
2 9 . Решим матричное уравнение (Ae 9Е)X 0 . |
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|||||||||||||||||||||
5 |
10 x |
|
0 |
5 |
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10 |
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1 |
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2 |
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|
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, |
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0 |
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10 |
20 y |
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0 |
10 |
|
20 |
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|
|
|
0 |
|
|
|
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|
|
|
|||||
Решением |
являются |
векторы |
U |
|
С |
2 |
, |
C |
|
0 , |
|
базисом |
пространства |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||
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2 |
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1 |
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решений является вектор u2 ( 2;1)T . Нормируем его: h2 ( 52 ; 15 )
H {h1, h2} - собственный ортонормированный базис.
Перейдем к новым координатам (x', y') с помощью матрицы перехода от исходного ортонормированного базиса {i, j} к собственному ортонормированному
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базису {h1, h2} |
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1 |
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2 |
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|||
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|
5 |
5 |
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|||||||
U |
|
|
- матрица перехода |
|||||||||
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2 |
1 |
|
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|||||
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|||
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|
5 |
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
x |
x' |
|
|
|
|
||
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|
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|||||
5 |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
U |
|
|
|||
Искомое преобразование |
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
y' |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
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||
|
|
|
|
|
|
Выпишем преобразование координат:
2 |
|
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|
||
|
|
|
|
x' |
|
5 |
|
||||
|
|
||||
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
. |
|
|
y' |
||||
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x' |
|
|
|
|
|
|
y' x'cos y'sin |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
|
|
x' |
|
y' x'sin y'cos |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол : |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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|
|
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|
|
|
tg |
5 |
|
2 |
против часовой стрелки (т.к. угол положительный): по y 2 единицы, |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
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5 |
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|
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||||
по x - 1 единица |
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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x |
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-3 -2 -1 0 1 2 3 4 |
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Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:
x' 2 y' 2 |
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2x' y' 2 |
x' 2 y' |
2x' y' |
x' 2 y' |
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2x' y' |
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Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
4 |
x'2 4x' y' 4 y'2 |
11 |
4x'2 |
4x' y' y'2 2 |
20 |
2x'2 3x' y' 2 y'2 |
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64x' 128 y' |
32x' 16 y' |
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16(x'2 |
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2 |
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x') 9( y'2 |
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y |
' |
) 32 0 |
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Выделим полные квадраты по переменным x' и y'
16(x' |
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)2 |
9( y' |
8 |
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)2 |
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( y' |
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)2 |
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(x' |
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)2 |
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X x' |
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Сделаем замену |
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Y y' |
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Получаем каноническое уравнение гиперболы |
Y 2 |
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X 2 |
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В системе координат x' y'O’ центр нашей гиперболы находится в точке |
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O' |
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. Действительная полуось равна 4 и параллельна оси y'O’, мнимая полуось |
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равна 3 и параллельна оси x'O’. |
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x' |
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( X |
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) |
2 |
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(Y |
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( X |
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(Y |
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X |
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Y |
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2 |
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X |
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Y 2 |
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Новый центр системы координат |
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X |
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Y |
x' |
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y' |
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1 |
x |
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-3 -2 -1 0 1 2 3 4 |
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Выполнить самостоятельно. Определите вид поверхности второго порядка, |
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заданной уравнением. Выполните чертеж. Запишите линейное преобразование |
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координат. |
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а) 7x2 6y2 5z2 4xy 4yz 6x 24y 18z 30 0 |
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б) x2 5y2 z2 2xy 6xz 2yz 2x 6y 2z 0 |
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