Файл: Метода к лабам.pdf

Если , то процесс продолжаем.

Рис. 7.5

52

Метод Зейделя (MZ)

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Суть

Такое усовершенствование позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Кроме того, данный метод может быть реализован на ЭВМ без

привлечения дополнительного массива, т. к. полученное новое xik сразу засыла-

ется на место старого.

Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации (см. рис. 7.5), если x0j заменить на xj и убрать строки x0i=1, x0i=xi.

Для иллюстрации решим систему (7.15) методом Зейделя. При этом относительно (x1, x2 , x3) аналогично (7.16) получаем рекуррентную формулу (7.17)

вида

x32 (6 0.925 1.085) / 4 0.998; x2 (0.925; 1.085; 0.998).

Погрешность после двух итераций x2 x1 0.425 меньше, чем в методе простой итерации.

7.4. Понятие релаксации

Методы простой итерации и Зейделя сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем G . Если норма матрицы G близка к единице, то сходимость очень медленная. Для ускорения сходимости исполь-

53

зуется метод релаксации. Суть его в том, что полученное по методу простой итерации или Зейделя очередное значение xik пересчитывается по формуле

Здесь 0 < 2 – параметр релаксации.

Если < 1 – нижняя релаксация, если > 1 – верхняя релаксация. Пара-

метр подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций.

Схема алгоритма на рис. 7.5 выполнена с использованием релаксации.

7.5. Индивидуальные задания

Составить программу решения СЛАУ порядка n и решить систему линейных уравнений пятого порядка с трехдиагональной симметричной матрицей вида

Значения q и d заданы в табл. 7.1.

Ввариантах, использующих прямые методы, вычислить невязку (см. подразд. 7.1).

Ввариантах, использующих итерационные методы, построить график зависимости количества итераций it, необходимых для достижения заданной точ-

ности, от параметра релаксации и установить, при каком значении число итераций минимально. Параметр релаксации менять от 0.2 до 2 с шагом 0.2.

Таблица 7.1

Индивидуальные задания.

54

7.6.Контрольные вопросы

1.Что понимается под корректностью СЛАУ?

2.Решите по методу Гаусса заданную систему из трех уравнений.

3.В чем суть метода квадратного корня?

4.Когда используются методы прогонки и квадратного корня?

5.Решите заданную систему трех уравнений методом простой итерации и методом Зейделя.

6.Для чего нужна релаксация? Ее суть.

55

Лабораторная работа №8. Аппроксимация функций

Цель работы: изучить алгоритмы аппроксимации функций; освоить методику построения и использования алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона.

8.1.Задачи аппроксимации функций

Вокружающем нас мире все взаимосвязано, поэтому установление характера зависимости между различными величинами позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является функция y=f(x).

Впрактике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных данных, вычислением f(x), разработкой вычислительных методов, встречаются два вопроса:

1. Как установить вид функции y=f(x), если она неизвестна? Предполага-

xi , yi , i 1, m , которая

получена либо из экспериментальных измерений, либо из сложных расчетов.

2. Как упростить вычисление известной функции f(x) или же ее характеристик ( f (x), max f (x)) , если f(x) слишком сложная?

Ответы на эти вопросы даются при помощи теории аппроксимации функций, основная задача которой состоит в нахождении функции y = (x), близкой (т. е. аппроксимирующей) в некотором нормированном пространстве к исходной функции y = f(x). Функцию (x) при этом выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов.

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что (x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров n (n1, n2, ..., nn ) , т. е. y φ(x) φ(x,n1,n2,...,nn ) φ(x,n) , значения которых подбираются из некото-

рого условия близости f(x) и (x).

Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости φ(x, n) и подбора параметров n составляет задачу теории аппрокси-

мации функций.

В зависимости от способа подбора параметров ñ получают различные методы аппроксимации; наибольшее распространение среди них получили

интерполяция и среднеквадратичное приближение, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.

Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время является линейная аппроксимация, при которой выбирают

функцию φ(x, n) , линейно зависящую от параметров n , т. е. в виде обобщенного многочлена:

56