Файл: Метода к лабам.pdf

Здесь { 1(x), ..., n (x)} – известная система линейно независимых (базисных) функций. В качестве k x могут быть выбраны любые элементар-

ные функции, например: тригонометрические, экспоненты, логарифмические или комбинации таких функций. Важно, чтобы система базисных функций была полной, т. е. обеспечивающей аппроксимацию f(x) многочленом (8.1) с заданной точностью при n .

Приведем хорошо известные и часто используемые системы. При интер-

зовании этой системы необходимо предварительно осуществить преобразова-

n

многочлен (8.1) записывается в виде y ck k (x) dk k (x) .

k 1

8.2. Суть интерполяции

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f и должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) x1 x2 ... xn (обозначим x (x1, ..., xn ) ),

число которых равно количеству искомых параметров ñ1, ñ2, ... ,ñn . Далее параметры n подбирают такими, чтобы функция φ(x,n) совпадала с f(x) в этих узлах, φ(xi ,n) f (xi ),i 1, ..., n (рис. 8.1), для чего решают полученную систему из n алгебраических в общем случае нелинейных уравнений.

57

В случае линейной аппроксимации (8.1) система для нахождения коэффициентов n линейна и имеет следующий вид:

Система базисных функцийk x , используемых для интер-

поляции, должна быть чебышевской, т. е. такой, чтобы определитель матрицы системы (8.2) был отличен от нуля и, следовательно, задача интерполяции имела единственное решение.

Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, т. к. они легко обрабатываются.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n – 1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.

Общий вид алгебраического многочлена

и ее определитель (это определитель Вандермонда) отличен от нуля, если точки xi разные. Поэтому задача (8.2) имеет единственное решение, т. е. для заданной системы различных точек существует единственный интерполяционный многочлен.

Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом степени n 1, построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n, по формуле

Из (8.5) следует, что при h 0 порядок погрешности p при интерполяции алгебраическим многочленом равен количеству выбранных узлов p = n. Величина

58

может быть сделана малой как за счет увеличения n, так и уменьшения h. В практических расчетах используют, как правило, многочлены невысокого порядка (n 6), в связи с тем, что с ростом n резко возрастает погрешность вычисления самого многочлена из-за погрешностей округления.

8.3. Виды многочленов и способы интерполяции

Один и тот же многочлен можно записать по-разному, например

няют различные виды представления интерполяционного многочлена и соответственно способы интерполяции.

Наряду с общим представлением (8.3) наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Их особенность в том, что не надо находить параметры с , т. к. многочлены в этой форме прямо записаны через значения таблицы (xi , yi ) i 1, ..., n .

Интерполяционный многочлен Ньютона (PN)

k 1

Здесь xT – текущая точка, в которой надо вычислить значение многочлена; 1k – разделенные разности порядка k, которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам:

Схема расчета многочлена Ньютона представлена на рис. 8.2.

59